中学生课外基本练习题

初中部分1.1如图，已知CO⊥AE，BO⊥DO，O为垂足，则分别与∠BOC互余和互补的角的个数是（）（A）l，0；（B）2，0；（C）1，l；（D）2，1．l.2已知：z＝ct，(x2＋y2＋z2）（a2＋b2＋c2)＝（ax＋by＋cz）2．求：a/x和b/y的值（用t表示）．2．2如图，已知正方形ABCD的边长为a，DF＝b，EB＝c，EF＝DF＋EB，设正方形面积为S，求证：S＝ab＋bc＋ca．3.1已知a、b、c分别是△ABC的三条边长，方程4x2－4a2x＋b4＋c4－b2c2＝0有相等的实数根，且sin2A（bcosB－ccosC）＝acosA（sin2B－Sin2C），试判断△ABC的形状．3.2如图，已知…     

数轴及其应用

我们知道，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示．不仅如此，所有的实数也都可以用数轴上的点表示．利用数轴，可以进行数的大小比较，在解方程和不等式时，利用数轴的有关性质往往可以获得简单巧妙的解法．例1比较0、2、－3的大小．解用数轴来表示0、2、－3（图1）．．数轴上右边的数总比左边的数大，故－3＜0＜2．例2若a＜0，b＞0，a＋b＜0，则a、b、－a。－b的大小关系是解利用数轴求解，既直观形象又简单明了．根据已知条件，先在数轴上标出a、b两个数，然后再标出－a、－b（如图2），在数…     

一个优美不等式的简证加强和推广

题目 已知a,b,c∈R＋,求证（a2＋ ab＋b2）（b2＋ bc＋c2）（a2＋ac＋c2）≥（ab＋bc＋ac）3. 文[1][2]用构造三角形中的费尔马点,再利用三角形面积,余弦定理转化为三角形不等式证明．文[3]利用代换和三元均值不等式给出了证明．     

一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

从连分数的计算谈起

连分数（continued fractions）是以特殊的方式将若干分数相结合来表示实数f，形如f=ao＋b1, a1＋b2 a2＋b3/a3＋ … 其中a0、a1、a2、a3、…和b1、b2、b3、…为整数，当b1=b2=b3=…=1时，可得简单的连分数，形如     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

四类平均三角形的一条共性

1．共性的提出 如图1，我们称△ABC为平均三角形，如果它的三边满足下列等式之一： （1）b=a＋c/2 （2）b=√ac;（3）b=√（a^2＋b^2/2;（4）b=2ac/a＋c.     

cr+1=t,ar+1=(t+1)(s-1)序为(s,t)的距离正则图

设Г是序为（s，t）直径为d的距离正则图，讨论了l（c，a，b）表示在交叉阵列t（Г）中列（c，b，c）的个数，记r=r（Г）=l（c1，a1，b1），s’=s’（Г）=l（c（r＋1），a（r＋1），b（r＋1），t’=t’（Г）=l（c（r＋s＇＋1），a（r＋s＇＋1），b（r＋s＇＋1）．所得结论如下：设Г=（X，E）是一个序为（s，t）的直径为d的距离正则图，如果c（r＋1）=t，a（r＋1）=（t＋1）（s-1），则d=r＋t’＋2．     

海伦公式又一初等证法

三角形面积的海伦公式其中k是边长为a、b、c的△ABC的面积，s＝（a＋b＋c）／2（如图1）通常证法是代数证法和三角证法．本文给出它的一个简捷几何证法．如图2，三角形ABC的内切圆圆心是I，半径是r，一个旁切圆圆心是r，半径是r’．由△IAB、△IBC和△IAC面积的和得k＝rs（1）AG和AH是过圆I’外A点的圆的两条切线，AG＝AH.同理，BG＝BJ，CH＝CJ．因为AG＋AH＝（AD＋DB＋BG）＋（AF＋FC＋CH）＝（AD＋DB＋BJ）＋（AF＋FC＋CJ）＝（AD＋DB）十（BJ＋CJ）十（AF＋FC）＝c＋a＋b＝2S所以AG＝AH＝s．又因为AD＝…     

分数ID-消去图的邻域并条件

若删除G中任意一个独立集后得到的图依然是分数（g,f,m）-消去图,则称G为分数ID-（g,f,m）-消去图．将若干个关于分数消去图邻域并条件的结论推广到分数ID-消去图,证明了如下两个结论：1）阶为n的图G满足n≥12k＋6m-11,6（G）≥n/3＋k＋m,且／NG（x）UG（y）/≥2n/3对G中任意一对不相邻的顶点x,y都成立,则G是分数ID-（k,m）-消去图;2）若δ（G）≥（an/2a＋b）＋（b2（i-1）/a＋2m,n〉（（2a＋b）[i（a＋b）＋2m-2]）/a,且/NG（x1）u…uNG（x1）/≥（a＋b）n/2a＋b,对V（G）的所有独立集{x1,……,xi}都成立．则G是分数ID-（g,f,m）-消去图．     

Gerretsen不等式的加强

贵刊文［1］将一道课本练习题改造，加强为：设a、b、c为非负实数.则文［2］将（1）式进一步加强为：设a、b、c为非负数，m＝min(a，b，c），则现在可以利用（2）式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为：这里，a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长，半周长，外接圆半径和内切圆半径，m＝min{1/2（b＋c－a），1/2（c＋a－b），1/2（a＋b－c）｝．证对（2）式作置换a→1/2（b＋c－a)，b→1/2（c＋a－b),c→1/2（a＋b－c）．这里，后者中的a、b、c构成某一三角形三边长．这样，由（2）式经化简整理（具体过程从略）可得依据三角形中恒…     

用均值不等式证高次不等式

1．设a,b,c∈R^＋,求证： （a＋2b/a＋2c）^n＋（b＋2c/b＋2a）^n＋（c＋2a/c＋2b）^n≥3． 证明a＋2b/a＋2c＋b＋2c/b＋2a＋c＋2a/c＋2b≥3 ←→（a＋2b）（b＋2a）（c＋2b）＋（b＋2c）（c＋2b）（a＋2c）     

你会解答吗?

初一年级1．若a、b、c都是有理数，且，则的值为2.若a＝x－4和b＝2x－5都是有理数，且数轴上表示a、b两数的点到原点的距离相等，则x的值是3．若｜a｜＝5，｜b｜＝2，且a、b异号，则｜a＋b｜＝4．一个有理数的相反数与这个有理数的绝对值的和（）（A）可能是负数；（B）必为正数；（C）为正数或零；（D）必为零．初二年级1．分解因式：2．已知x＋y＝2，求x3＋6xy＋y3的值．3．已知a＋b＝7，a3＋b3＝133，求ab的值．4已知a、b、c是凸ABC三边的长．求证：a’＋bZ－c’＋Zab＞0你会解答吗?@边冼…     

因式分解在解题中的应用

因式分解是初中代数恒等变形的重要方法，它在数学恒等变形中有着广泛的应用．下面我们举例说明因式分解在解题中的初步应用，供同学们学习时参考．一、用于化简求值例1已知有理数a、b满足a2＋b3＋a2b。ah’＋a＋b一0，求awb的值．解将原式左边因式分解，得（ca＋b）（a’－abchb’）＋cab（a＋b）＋（a＋b）—0．再提公因式，得（a＋b）（a’＋b‘＋1）＝0．a’＋b‘＋1学0，“．a＋b＝0．例2已知x一如一2，求x’－4xs＋4y’一3xWe6ywel的值．解原式一件一Zy）’－3（X一如）＋I一2’－3X2＋1—－1．例3已知a－b—2，b－c—1，求a’＋b’…     

(十三)一元一次不等式和一元一次不等式组测试卷

一、填空题（每小题4分，共16分）；1．若a＞0，根据不等式基本性质．有a＋b．2．若－m＞0．根据不等式基本性质，有0．3.若a＜b，根据不等式基本性质,有－4b．4若2x＋6＜4x，则4x－2x＞二、判断题（正确的在话号内画“√”，不正确的在括号内画“×”,每小题4分‘共12分）：1．若a＞b．则－a＞－b.2．若ab＞0．则a＞0．3．若a＋2＜b．且c＜0，则（a＋2）c＞bc．三、单项选择题（本题4分）：（1）2x＋1＞1－x2（2）（3）x＋y＞1－x；（4）中，为一元一次不等式的是四、用不等式表示（每小题5分，共20分）；1．x的与4的差比3大．2.x与6的和的…     

《因式分解》自测题与自测指导

自测题（时间60分钟，满分120分）一、填空题（每空2分，共36分）：1.把一个多项式化为叫做把这个多项式因式分解．2.将一个多项式因式分解的思考过程是：（1）先考虑是否有可提；（2）考虑是否可用分解因式；（3）考虑是否可用分解因式；（4）考虑是否可用分解因式．3．因式分解与整式乘法的关系是．二、分解因式（每小题5分，共40分）：三、计算（每小题8分，共24分）：14.已知a－b＝2，ab＝3，求a3-b3的值；15．已知圆面积等于47rx’＋12。xy＋9。y’，求表示该圆半径长的代数式；16．已知距形的面积等于a‘＋sab＋6b‘，求表示该矩形两…     

乘法公式的逆用

乘法公式是形式比较特殊的多项式乘法,用式子表示为：1．平万差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b22．完全平方公式（a±b)2＝a2＋2ab＋b23立方和与立方差公式（a±b）（a2±2ab＋b2）＝a3±b3在解题过程中,我们不仅要掌握它们的正向应用,而且要注意它们的逆向应用．下面以竞赛试题为例,分题型说明．一、计算例1（m’＋n2）‘－［（－n）‘－（－m）21’等于（）（A）－4m’n‘;（B）4m‘n’;（C）O;（D）Zm’＋Zn‘（1991年“五羊杯”初中数学邀请赛试题）解逆向应用平方差公式．原式一（m’＋nY－（n’－m＊＝｛（m’＋n‘）＋（n’…     

《代数初步知识》自测题

一、判断题（对的打,错的划X）1．单独的一个数不是代数式．（）2．n是整数时,Zn＋l可表示任何一个奇数．（）3．a（＋c）＝ah＋ac是公式,不是代数式．（）4．代数式一一一二对一切X的数值都有意义．（）’5．方程3x＋9＝24与方程x＋3＝8的解相同．（）二、填史题1．用字母a、b表示加法的交换律是。2．被3一除商m余2的数是．．3．a与b的平方的和是．．－’4．．比数。大25％的数是．5．：的意义是一’ah”””—“———6。如果长方形的长为a,宽为b,那么的和2（a＋b）分别表示、．7．若方程3x＋m＝5的解为义二1,则m二8·当x＝一时,…     

立方和公式的一个变形

对于立方和公式a^3＋b^3=（a＋b）（a^2-ab＋b^2），我们不难把它改写成a^3＋b^3=（a＋b）^3-3ab（a＋b）,     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…