组合恒等式的证明

一、直接利用组合数公式证明二、利用组合定义证。 [例1] 求证 C_n~(m 1) C_n~(m-1) 2C_n~m=C_(n 2)~(m 1) 证:从n 2个不同元中取m 1个元的组合可分四类:i)含指定元甲、乙的有C_n~(m-1)种,ii)不含甲、乙的有C_n~(m 1)种,iii)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C_n~m种。由加法原理得原式。三、利用组合性质证。如例1原式左=(C_n~(m 1) C_n~m (C_n~(m-1) C_n~m)=C_(n 1)~(m 1) C_(n 1)~m=C_(n 2)~(m 1)。     

关于一类整除性问题的证明

[定理] m个连续整数的连乘积能被m!整除。证:设m个连续整数中最大的一个为n。当n≥m时,C_n~m=(n(n-1)…(n-m+1))/m!是整数,故命题成立。当n相似文献   

原型构造法及其在证明组合数恒等式中的应用

一、什么是原型构造法先来看一简单例子:例1:证明组合性质C_(n 1)~m=C_n~(m 1) C_n~m．常规证法是利用组合数公式验证,现根据组合的意义,构造一个问题原型:考虑从n 1个运动员中选m个参赛,其组合数为C_(n 1)~m．分两种情况:队长上场和队长不上场,分别有C_n~(m-1)和C_n~m种组合,由加法原     

活用等比定理解题

灵活运用等比定理,可使常见题获得新颖解法。 例1 若C_n~m:C_n~(m 1):C_(n 1)~m=3:2:5,求m:n的值。 解 由已知条件易得C_N~m/3=C_n~(m 1)/2=C_(n 1)~m/5,     

公式K·C_n~k=n·C_(n-1)~(k-1)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但是把它和准确、形象、生动的实例联系在一起,困难便消失了。组合数的两个性质就是这样。C_n~m=C_n~(n-m)表示从n个元素里挑m个元素出来和挑n-m个元素留下是一回事。公式C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)表示从n个元素中挑m个元素可以分两种情况。不挑元素A的有C_(n-1)~m种,一定挑元素A的有C_(n-1)~(m-1)种。“无A”、“有A”是这个公式的“题眼”,抓住“题眼”,问题就迎刃而解了。 C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了     

在排列组合复习课中进行逆向再思考

在排列组合中,公式C_(n 1)~m=C_n~m C_n~(m-1)可以由计算证得,也可以逆过来用排列组合的概念来推导.即可将从n 1个不同的元素中每次取出m个的组合数,按其中某个特定元素“取”或“不取”来划分为两种情况.若取,则只须从另n个不同元素中取出m-1个,有     

两个组合公式及其应用

我们知道,有这样两个组合公式: C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1); C_r~r=C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(r+n+1)~r =C_(r+n)~(r+1)现在,我们来考虑组成这两个公式的各个组合数的倒数是否也能组成相应的公式?下面我们分别来讨这两个问题。定理1 设m,n为自然数,且m≥2,m≤n,则     

一个组合恒等式的特点及应用

基本组合恒等式（其证明是容易的．本文从略）有这样的特点：它能把两个都和k有关的组合数的乘积C_n~kC_k~m变成只有一个与k有关而另一个与k无关的两个组合数的乘积C_n~m·C_(n－k)~(k－m)利用这一特点，当我们需要处理形如的组合和式时，可首先把整体上含有动标k的通项a_1C_n~kC_k~m“整容”成只在局部上含有动标k的通项a_kC_n~mC_(n－m)~(k－m)，从而，可把只含定标的局部C_n~m作为各项的常值公因子从和式中提取出来，使和式得以简化，便于处理．下面兹举几例说明其应用．（高中代数第三册第二章复习参考题）证视k为C_k~1，则由基本恒…     

与组合数和等差数列有关的几个恒等式

文[1]探讨了组合恒等式 C_n~k·C_k~m=C_n~m·C_(n-m)~(k-m)(m≤k≤n (*)的特点并给出了它的一些应用。 利用(*)式我们可以给出与组合数和等差数列有关的恒等式。文[1]中的例4就是一例,此处作为:     

自然数方幂迭乘和sum from m=1 to n m~kC_n~m

自然数方幂和S_k(n)=sum from m=1 to n m~k的表达式,伯努利于1713年就已给出,而对自然数方幂迭乘和 sum from m=1 to n m~kC_n~m=1~kC_n~1 2~kC_n~2 … n~kC_n~n ①(其中k,n为任意自然数),我们只见到一些特例,即k=0时,sum from m=1 to n C_n~m=2~n;k=1时,sum from m=1 to n mC_n~m=n·2~(n-1)等等。而当k为任意自然数时,尚未见到一般的直接计算公式。本文记 R_k(n)=sum from m=0 to n m~kC_n~m,可以利用待定系数法,简便地导出它的直接计算公式。     

杨辉三角中四类行列式的简捷计算方法

约定:不言而喻,当m>n时,c_n~m=0。反之,零也可用c_n~m(m>n)表之。 公式1:C_(n+1)~m-C_n~m=C_n~(m-1)。 采用上述约定,公式中组合数的上标可不小于下标。从而,C_n~m     

由08年高考安徽卷中的一道题引起的探究

2008年高考安徽卷中有这样的一道选择题:设(1 x)~8=a_0 a_1x … a_8x~8,则a_0,a_1…,a_8中奇数的个数为____.(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.由于a_0,a_1,…,a_8都是二项式系数,故考生大都是将它们翻译成数学式子后通过计算而获解的,当然若利用组合数性质C_n~m=C_n~(n-m) (m、n∈N_ ,且m≤n)去处理,则会更快一些.笔者认为本题难度不大,但是它容易使我们     

用C_n~m数学思维巧解遗传题

通过两道实例说明从C_n~m数学思维视角出发,利用C_n~m可以解决遗传题中所涉及的多对基因遗传时后代中基因组合的问题,用此方法解题具有高效、快捷、准确的特点,也能培养学生跨学科的能力。     

关于巴拿赫问题

本文分为相互关联的两个部分。第一部分提出一个恒等式并加以证明。第二部分是对巴拿赫问题的一般解法的确切性进行推敲。下面的恒等式是由巴拿赫问题引出的。不妨把它称为巴拿赫恒等式。作为证明方法之一,我们根据组合种数C_n~m的性质用数学归纳法进行证明。巴拿赫恒等式:等式sum from r=0 to n C_(2n-r)~n(1/2)~(2n-r)=1对于任意的自然数n都成立. 证明:设S_n=sum from r=0 to n C_(2n-r)~n(1/2)~(2n-r)     

用组合性质推导(sum from i=1 to m ai)~n(n≥1,m≥1)的项数

在学习过程中,我们遇到求形如(1+2x+3x~2)~5的展开的项数问题,通过分析,我们猜测如下命题。我用已学过的组合性质C_(n+1)~m=C_n~(m-1)+C_n~m及二项式定理证明了这一命题。命题:(sum from i=1 to m a_i)~n(n≥1,m≥1)的展开项数为C_(m+n-1)~n项。证明:我们对自然数m用数学归纳法。①、当m=1、2时,对一切自然数n命题显然成立。②、假设m=k时,对一切自然数n命题成立。当m=k+1时, 据归纳假设,上式右端展开后,其项数分别为:C_k~0项,C_k~1项,C_(k+1)~2项,C_(k+2)~3项,…,C_(k+n-1)~n项。又由于上式右端a_(k+1)的方次不同,它们之间不可能再合并同类项。故有 (sum from i=1 to k+1 a_i)~n展开项数=C_k~0+C_k~1+C_(k+1)~2+C_(k+2)~3     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

数学竞赛问题（5）

89. 设11a=,123(6)nnnaan = (1,n= 2,3,)L. ⑴ 求通项公式na; ⑵ 求出所有的n,使得na能被110整除; ⑶ 问:此数列中是否有无限多个项na,能被2002整除？如果有,请找出无限多个n,使之满足要求,即2002整除na. 90. 设n和m为正整数,求和: 212()niiSmi==-. (答案写成关于n和m的最简     

弃九验算法

一、预备知识 1.若n是一位整数,则 10n=9n n,100n=99n n,1000n=999n n,……依次类推,得 10~m·n=99……9n n(其中m∈n)m个9 2.一个整数各数位上数字之和能被9整除,则这个整数能被9整除。如 2835各数位上数字之和 2 8 5 3=18,能被9整数,则 2835÷9=315,也能被9整除。这是因为     

一道代数题的三种几何解法

题目:设m、n、p为正实数,且m2 n2-p2=0.求m pn的最小值.这道题若用代数方法求解,比较麻烦.如果我们能根据题意构造出几何图形,利用几何图形的性质,可以巧妙地解出这道题.解法1:构造边长为m n的正方形ABCD,E、F、G、H分正方形各边为m、n.显然,EFGH是边长为p的正方形.由图可知EG=     

幂的运算法则灵活运用举例

幂的运算法则是整式运算的重要内容,同学们在解题时若能灵活运用,则可化繁为简,迅速获解,现举例如下:一、化为底数相同的幂例1若3m 5n=4,则8m.32n=____.分析:已知条件等式不能直接代入求解,可将所求代数式化为相同底数的幂相乘,本题中底数8与32都可化为2的幂的形式.解:8m.32n=(