使用均值不等式的4个误区

高中数学课本中有如下定理：如果a、b为正数，那么a b/2≥（ab）平方根(当且仅当a=b时取“=”号)，该定理中的不等式通常被称为均值不等式。下面例谈考生在利用它求最大(小)值时，常常陷入的4个误区。     

均值不等式学习三部曲

均值不等式（a＋b）/2≥（ab）~（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时取＂=＂）是一个重要的不等式,其在求解函数最值问题中有着广泛的应用,下面对均值不等式进行深层解析,供读者参考.     

均值定理之巧思妙构

不等式在高考试题中占有重要的地位,特别是对均值不等式内容的命题已成为一个重点．二元均值定理：a＋b≥2√ab（a,b∈R^＋）,当且仅当a=b时取“=”,此时a＋6有最小值;当a,b都为正数,且a＋b为定值时,     

应用均值定理求最值的错解及分析

（a+b）/2≥ab^1/2（a,b∈R⁺,当且仅当a=b时取"="号）,（a+b）/2为a,b的算术平均数,ab^1/2为a,b的几何平均数.此不等式即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的均值定理.应用均值定理时,需满足正（a,b均大于0）、定（a,b的和或积为定值）、等（a=b可以成立）三个条件.但是一些学生在应用解题时,常会出现貌似合理的解法,却造成矛盾或错误的结果等现象,究其原因,往往是对均值不等式中的"="的理解出现误区所致.实际上,均值不等式本身有其双重性.一方面,     

巧用均值不等式妙解物理极值题

定理 如果ab∈R,那么a^2＋b^2≥2ab．（当且仅当a=b时取等号） 推论 如果ab∈R^＋,那么a＋b/2≥√ab．（当且仅当a=b时取等号） 上述内容在数学中称为“均值不等式定理”,是不等式中的一个重要结论．值得注意的是,在高中物理很多涉及到极值的问题中,都有令人惊奇的妙用．     

均值不等式几种几何模型归类解析

均值不等式即√ab≤a＋b/2（a〉0,b〉0,a,b∈R）是必修五第三章内容,是学生必须掌握的一个重点知识,应用广泛。     

例谈应用均值不等式求最值的解法

最值问题是中学数学的重要内容之一,它分布在各个知识板块.学生在学到＂均值不等式的应用＂时,常感觉到＂均值不等式a＋b2≥ab/2/1（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）＂这一知识极易理解,但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中,我整理了均值不等式求最值的解法,以解除学生的学习困惑.     

均值不等式中“1”的活用

均值不等式n＋6≥2√ab（a,b∈R^＋，当且仅当a=b时取“=”），在应用的过程中会经常用来求最小（大）值．同学们也会牢记“一正二定三相等”的七字真经．但应用中却常常会存在这样或那样的错误．     

构造常数1求有条件分式函数的最值

利用均值定理解决形如已知ax＋by=c（a〉0,b〉0,c〉0）求A/x＋B/y（A〉0,B〉0）的二元条件最值问题时,必须满足“一正、二定、三相等”的条件,否则所得到的结果就会出现错误．解决此类条件最值问题时,若能抓住条件中各量的特点构造常数1,再逆向代人所求式中化简变形后可满足平均值不等式的三个条件,最后顺利求得最值．下面举例说明．     

不等式链的几种几何证明

不等式链√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b（a〉0,b〉0）是高中数学重要内容之一，在高考中屡“试”不鲜，下面笔者就2010年湖北省高考理科卷第15题的解题及其反思过程，给出该不等式链的三种几何证明．     

运用基本不等式必备的变形技巧

基本不等式a＋b/2≥√ab（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其他问题中都起到了十分重要的工具性作用。在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面介绍一些常用的变形技巧。     

一个均值不等式链的几何证法

命题 已知a〉0,b〉0,求证：max{a,n}≥√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b≥min{a,b},当且仅当a=b时,等号成立．这是一个4类平均数的重要不等式即均值不等式链,     

浅谈"两边夹不等式"

大家都熟知等比定理：若a/b=c/d，则a/b=（a＋c）/（b＋d）=c/d若将条件中的等式改为不等式，如a/b〈c/d，那么结论如何呢？已知a、b,c,d都是正数，且bc〉ad，则a/b〈（a＋c）/（b＋d）〈c/d．这是课本上的一道练习题（高中数学第二册（上）（人教版）第14页练习第5题），教学中若不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了．笔者在高三复习的后期回归教材的教学时。将此题抛给了学生，收到了意想不到的效果。     

例谈均值不等式中等号成立的条件

在整个高中数学中，求函数的最值是一项重要内容。这类问题常和生活实际联系比较密切。由于应用问题已进入高考，而且具有强烈的时代气息，所以最值问题也是高考的热点和难点问题。求函数最值的方法有很多种，利用均值不等式求最值是一种比较常用的方法。对均值不等式，高考已限制在二元、三元均值不等式的应用。以三元均值不等式为例：若a、b、c∈R＋，则a＋b＋c≥３３abc姨（当且仅当a＝b＝c时等号成立）利用此不等式求最值时应注意以下几个问题：（１）a、b、c∈R＋；（２）a＋b＋c或abc为常数；（３）不等式中等号成立的条件必须具备。…     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

从不同角度思考一道课本习题

题目已知a〉b〉0,求a^2＋16/b（a-b）的最小值． 思路1直接应用二元均值不等式a^2＋16/b（a-b）≥2√a^2·16/b（a-b） 求最值,解题难点在于不等式右端不是定值,或者继续应用均值不等式但不能满足取等条件,     

一道最值问题的多种解法

已知5/a＋3/b=1（a〉0,b〉0）,求a＋b的最小值. 解法一 （1的代换与均值不等式） （5/a＋3/b）（a＋b）=5＋3＋3a/b＋5b/a=8＋3a/b＋5b/a≥8＋2√15, 当且仅当3a/b=5b/a即a=5＋√15,b=3＋√15时,等号成立.     

二元均值不等式链的两个图形证法

当a〉b〉0时,则有均值不等式链：a〉√a^2＋b^2/2〉a＋b/2〉√ab〉2ab/a＋b〉b     

几个新的三角形不等式

最近,笔者在研究三角形的内心及它的性质时,发现以下几个不等式：定理在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是＜A,＜B,＜C的对边,R是△ABC的外接圆半径．则有当且仅当△ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．由柯西不等式,得（AI＋BI＋CI）2两边开方即得不等式（1）．将以上三式相加,并利用均值不等式,得故不等式（3）成立．当且仅当凸ABC为正三角形时,（1）～（3）式等号成立．几个新的三角形不等式@贾玉友$江苏省新沂市教师进修学校!2241001贺才田.不等式“a3 b3 c3≥3abc”的再一次加强.中学教学(苏州),1996,3…     

一个课本习题的证明与引申

高中数学第二册（上）第30页第8题：已知：a〉b〉c,求证：1/a-b＋1/b-c＋1/c-a〉0．这个习题有很多种证明方法,讲透这几种方法对于学生理解和掌握不等式的证明方法有很大的帮助．