浅谈数学中的无限思想

数学把"无限问题"纳入研究范畴是由客观规律决定的,它从根本上改变了数学全貌,使数学的发展进入了一个崭新的阶段,更加有利于数学理论与现实生活结合,推动科学技术转化为生产力.     

数学归纳法浅谈

<正>数学归纳法是一种重要的数学思想方法,利用数学归纳法可以解决一些相对比较复杂的问题。同时,归纳法在数学研究中发挥了重要的作用,它是有着丰富内涵的思想工具,有着其他方法所不能替代的作用。华罗庚先生在《数学归纳法》一书中指出:"数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。"人类为了把握无限到有限的飞跃,离不开数学归纳法。本文从数学归纳法的理论基础着手,阐述了归纳法的原理及其表现形式,继而分析了归纳步骤的证明思路,提出一些粗略的认识,供大家研究探讨。一、数学归纳法的理论基础     

“极限化”策略在选择题中的应用

<正>"极限化"是重要的数学解题策略之一,是"有限与无限思想"在数学解题中的应用.有限与无限相比,有限显得具体,无限显得抽象,对有限的研究往往先于对无限的研究;反之,当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问题来解决.这种无限化有限、有限化无限的解决数学问题的策略就是极限化策略,它可以帮助我们快速探明问题的解决方向,轻松得到问     

简论数学的无穷形态

无限集的性质令人不可思议,只有在无限集的范围内,才能得出无限的本质"部分等于全体"的结论,数学诡辩问题更为数学的无限奥秘增添了神秘色彩.然而无限又是无处不在的,它就渗透在我们的生活中.研究无限问题,探索极限规律,学会用极限思想方法去分析、解决问题是数学教育的重要任务,也是培养学生辩证思维能力的重要途径.     

再谈对中学生数学"无限"观念的教育

数学"无限观"有两种,"实无限"和"潜无限",它涉及到数学基础和数学哲学.在中学数学教学中应当向中学生普及一些数学基础和数学哲学中的有关知识,破除数学确定性的神性观念,重建数学批判性的人文观点.这样也许会使中学生更能深刻理解"无限"一词的博大内涵.     

如何在小学数学教学中渗透“极限思想”

正"极限思想"是微积分的基本思想,用以描述某个无限变化过程的终极状态,是其他相关数学分支(如复变函数、实变函数)的理论基础。极限也是人们从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种数学思想方法;是事物转化的重要环节,可以将某些数学问题化难为易,避免一些复杂运算,探索出解题方向或转化途径。教师在数学教学中应注意适时地渗透极限思想。     

基于核心概念的高中“数学欣赏”教学初探——以校本选修课《欣赏“无限”》的内容设计为例

作为校本选修课,"数学欣赏"的教学可以改变"学生只做数学题,不会欣赏数学的价值与美"的现状。数学概念是"数学欣赏"教学的重要内容。在高中教学中欣赏数学概念就是要选取高中数学的核心概念,并以它们为"纲",将相关概念统整为一个网络系统,从而达成"纲举目张"之效。欣赏"无限",需要统整高中数学中与之相关的知识内容,系统地思考蕴涵在其中的数学思想方法,在透视"无限"的人文意境的同时注重"无限"研究中理性精神的提炼和剖析。     

极限概念的意义与数学发展的语言转向

ε-语言极限概念的核心意义在于摆脱了此前所谓"变量数学"关于数学对象的动态描述方式,并明确界定了无限运算的含义.从而使"变量数学"的思维方式和语言表达逐渐被扬弃,理论数学在更高层面上"回归"为对静态形式对象进行构建和逻辑分析的阶段.那些曾在微积分发展过程中引起过逻辑混乱的概念基本被清除掉了.     

论数学中的有限与无限

美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论;没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,象现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”。可见,无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说,它是整个数学的基础。     

芝诺悖论与秃头悖论比较研究

古希腊时代产生的芝诺悖论和秃头悖论,引发了哲学、逻辑、数学和物理等领域的学者们广泛而持久的讨论.学界对这两个悖论的研究往往是分开进行的,对它们之间的内在关联并未给予充分的关注.芝诺悖论旨在拒斥"动",秃头悖论意在否证"多",两者的共同旨归是要论证本体"being"的"静"和"一"的本质.这两个悖论所涉及的认知对象之潜无限和实无限的问题,至今仍是学界研究的难题.它们还同时涉及数学归纳法的合理性问题,即对认知对象的"质"进行归纳的方法能否适用于对"量"的归纳.以逻辑悖论的语用学性质重新审视这两个古老悖论,并作贯通研究,对于推进当代哲学认识论特别是对潜无限和实无限问题的认识,乃至于推动具体科学理论创新都具有重要的认知价值.     

自然数与无限性思想的历史透视

无穷一直是诗人、艺术家、哲学家、神学家、科学家关注的焦点,它有着极为丰富的内涵,在不同的思想领域中有着不同的表现形式.自然数引出的无限多、无穷大等概念,打开了人类认识无限性的大门.对自然数序列"不可穷尽"的不同理解,产生了"实无限"与"潜无限"的数学哲学争论.     

从诗歌里蕴涵的数学无限谈起——初二学生对数学无限认识水平的调查研究

人类在不断地认识无限中获得理性哲理,无限推动着数学的发展,可以说,整个数学的发展就是无限的发展史。但中学阶段对无限的认识隐含在相关数学概念中,并没有明示。学生是怎样认识无限的?笔者从脍炙人口的诗歌出发,将诗歌的意境与数学无限紧密联系,调查分析了初二学生对数学无限认识水平,将数学文化的理念落实到数学课堂教学,倡导培养中学生的无限观。     

数学归纳法的思想精髓——“无限递推思想模式”及其微积分学中的教学实践

科学原理和科学方法必然蕴含着与之相适应的科学思想。通过"归纳思维方法"与"数学归纳法"的分析解读了数学归纳法的思想精髓——"无限递推思想",揭示了无限递推思想模式的教学演绎规律,用生活中的案例和生活化的语言加以直观描述,用图式化的语言加以提炼,再用数学化的符号语言准确表达,促使学生对这一数学思想模式的直观感受、理解、感悟、过程参与、事后升华,形成无限递推的数学思想模式,直到掌握并应用到微积分学的教学实践中。     

巧用两个重要极限求“不定式”的极限

极限理论是微积分学的重要内容,是研究函数的重要工具之一;极限作为一种运算虽然高考要求并不高,但极限作为一种思想,一种从有限认识到无限认识的数学思想,在近几年高考中却时有考查,且有进一步加大力度的趋势。通过例证,论述利用两个重要极限巧解"不定式"的极限问题,为学生提供由静止到运动、由有限到无限的思维途径。     

无限性问题的数学解析

两千多年前古希腊哲学家就围绕着无限的观念展开过激烈的争论.尽管"无限"曾给人们带来过诸多的困惑,但有了极限运算这个数学分析的利器,数学家已经找到了破解无限奥秘的锁钥.经过许多杰出学者的艰苦努力,最终完成了重建微积分基础的工作,结束了数学中因无限性问题造成的混乱局面,同时也标志着"第二次数学危机"的彻底解决.     

略论极限与辩证法

在生产水平低下的古代,数学研究只是有限的数量关系,极限思想的萌芽得不到进一步发展和完善。只有当数学发展到近代高等数学阶段,才有可能出现系统的极限理论。极限概念是过程和结果的统一,潜在无限和实在无限的统一。这是极限概念的辩证法。     

培养小学生问题解决能力的策略

<正>《标准》指出:通过义务教育阶段的数学学习,学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识。可见,培养学生解决问题的能力非常重要。下面我结合平时的教学实践,谈谈培养小学生问题解决能力的体会。一、在课堂教学中,促使学生善于发现问题课堂教学就其认知过程的实质而言,就是学生从有疑到无疑的无限循环的反复转化过程。"学起于思,思源于疑"。有     

让我们的数学教学成为直线——浅谈如何在数学教学形式和内容上有所延伸

"直线可以向两端无限延伸."这是我们在数学教学中特别强调的"直线"区别于其他线的一条重要特性.数学就如同"直线"一样,它延伸到我们的文化、经济、科技、生活等各个方面,如果没有数学,我们可能还停留在"结绳记事"的年代.虽     

基于儿童的思维特点,数学知识应这样教

数学是奇妙的,要让儿童爱上数学,首先要让数学课堂成为他们的向往。在数学课堂上,教师有责任为儿童打造"童年的数学",要让儿童感受数学的无限魅力,拓展他们神奇的想象空间,展现奇妙的数学世界,让他们拥有一片属于自己的数学天空,成就"拥有数学的童年"。     

获得数学思维方法提高自身综合能力

极限揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限,人们可以从微观认识宏观,从有限认识无限,从"不变"认识"变"从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识准确.由于极限具有这样的思维功能,通过学习极限、掌握极限法,就可获取数学思维方法,在用极限法解决问题的过程中不断提高自身综合能力.