关于韦达定理的一点补充

对于一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两根X_1,X_2,确X_1+X_2=-b/a,(1)X_1·X_2=c/a.(2) 这就是著名的韦达定理. 我认为韦达定理的内容尚可补充下列一条,以简便解题过程:     

高等数学指导初等数学偶得(二)——牛顿公式及其应用

本文先给出牛顿公式,并利用求函数的导数与多项式的比较系数法加以证明,再举例说明它在初等代数中的应用.一、公式及其证明当K≤n时,S_k-S_(k-1σ1)+S_(k-2σ2)+…+(-1)~(k-1)S_(1σk-1)+(-1)~k·K_(σk)=0(l)当K>n时,S_k-S_(k-1σl)+S_(k-2σ2)+…+(-1)~nS_(k-nσn)=0(2)其中σ_i(i=1,2,…,n)是初等对称多项式,即σ_i=X_1+X_2+…+X_n,σ_2=x_1X_2+X_2X_3+…+X_(n-1)X_n,…,σ_n=X_1X_2…X_nS_k(K=0,l,2,…)是一类特殊的对称多项式,即S_k=x_1~k+x_2~k+…+X_n~k(S_0=n)证明:令f(x)=(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=x~n-σ_1x~(n-1)+σ_2x~(n-2)+…     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

今年高考数学第八题解题思路分析

题:已知X_1>O,X_1≠1,且X_(1+1)=X,(X~2+3)/3X~2+1(n=1,2,…)试证:数列{X}或者对于任意自然数n都满足XX_(n+1)。这题主要考查数列概念及运用数学归纳法解题的能力。解法要点是证明数列{X}的严格单调性,即证明对于任意自然数u,当O1时有X_n相似文献   

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

求函数值域一例

在高中数学中,求函数的值域是一种较为复杂的问题,往往方法较为灵活.现举一例,给出多种解法,同学们可从中受到启发.例题求函数y=sinx2-cosx的值域.解法一:(利用三角函数的有界性)去分母化为sinx+ycosx=2y,即y2+1sin(x+φ)=2y.因为|sin(x+φ)|≤1,所以|2y|≤y2+1,即3y2≤1.解得值域是[-33,33].解法二:(利用解析几何方法)函数变形为:y=0-(-sinθ)2-cosθ.联想到斜率公式,(如图1)可知y是连结A(2,0)与圆x2+y2=1上的点(cosθ,-sinθ)的斜率.所求值域就是这斜率的取值范围.设AB,AC为两切线,它们的斜率分别是-33,33.所以值域是[-33,33].解法三:(…     

仿射坐标系中有关计算问题的讨论

在右手直角坐标系中,由于有下面的定理1,所以在计算有关长度、角度等问题以及讨论有关垂直问题时显得非常方便。 定理1 在右手直角坐标系{O;(?)}中,若(?)={X_1,Y_1,Z_1},(?)={X_2,y_2,Z_2},则x_2+Y_1Y_2+z_1z_2,(?)= 但是一般仿射坐标系中无上述结论,因而计算问题和垂直问题讨论非常繁琐,一般空间解析几何的教科书都不涉及这方面内容。本文将讨论仿射坐标系中有关计算问题,主要思想是利用线性变换将仿射坐标系中的计算问题转换为右手直角坐标系中的计算。     

客家咸菜发酵工艺研究

目的:研究客家咸菜发酵过程变化,开发发酵新工艺.方法:从客家咸菜中筛选发酵优势菌株并接种发酵,盐酸萘乙二胺法测定接种发酵过程亚硝酸盐含量,平板计数法测定菌含量,结合感官评价考察发酵效果.结果:咸菜样品中分离得到两株发酵优势乳酸菌X_1、X_2,单菌种接种发酵最适接种量为15%,混合发酵最适接种比例X_1+X_2为6%+4%,发酵周期为30d,接种发酵可增加乳酸菌含量,发酵时间比传统发酵缩短25%,亚硝酸盐含量远低于传统发酵,发酵35d时仅为2.6-2.7mg/kg,而传统发酵为4.7mg/kg.结论:客家咸菜发酵新工艺快速安全,可在生产中应用.     

解一个几何问题的函数论方法

一、问题的提出在中学数学教学研究中，曾涉及到以下问题：［问题］在一平面坐标系内，任给三个不在同一直线上的点P_1（X_1，Y_1），P_2（X_2，Y_2），P_3（X_3，Y_2）。求证：至少存在四个不同的点Q_1（X_1，Y_1），Q_2（X_2，Y_2），Q_3（X_3，Y_3），Q_4（X_4，Y_4）使得有     

构造解几模型,探求函数值域

函数值域求法很多,如配方法,导数法,单调性法、不等式法等等.数形结合法就是其中一种,即充分利用图形的几何性质,构造数学模型,使问题得以较快速地解决.1构造斜率模型借助斜率求函数值域就是将问题转化为某曲线上的动点与一定点连线的斜率的范围问题.例1求函数sin3cos1yxx=++的最值.分析原函数可化为sin(3)cos(1)yxx=????,所以函数值表示过圆x2+y2=1上的动点和定点A(?1,?3)的直线的斜率,如上图,过点A的直线与圆O相切时,取得最值.设切线方程y+3=k(x+1),则由点到直线距离公式有2|3|11kk?=+.解得3k=3,所以函数最小值为33,无最大值.点评形如商…     

三次函数图象切线问题归类分析

正有关三次函数图象的切线问题,涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化,导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式,则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1如图1所示为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,     

关于直线和圆的陷阱题

例1求过点P(5,4)且与圆x2+y2=25相切的直线l的方程.错解设所求过点P(5,4)的直线l的斜率为k,则其方程为y-4=k(x-5),即kx-y-5k+4=0.圆x2+y2=25的圆心O(0,0),半径r=5,由条件｜-5k+4｜!#k2+1=5,解得k=-490,则直线l的方程为9x+40y-115=0.剖析错解忽视了斜率不存在的情况.应对直线斜率的存在性进行分类讨论,还要补上当斜率不存在,即直线l垂直于x轴时直线l的方程x=5,再证明直线l=5与圆x2+y2=25相切.综合得直线l的方程为x=5或9x+40y-115=0.注意解与直线斜率有关的问题时,要分斜率存在与不存在两类.例2若点P(m,n)到A(-2,4)、B(6,8)的距离之和最小,…     

二次函数中的一个结论及应用

<正>在二次函数的综合题中,有一类与X轴上两交点的距离有关的问题,很多同学不知所措,原因是它涉及到|x_1—x_2|的计算,知识点多,容量较大,现向同学们介绍一个结论,它将帮助你简便地解答.命题 设二次函数为y=ax~2+bx+c(a≠0)直线为y=k(k为常数),令△=b~2—4a(c—k),它们的图象相交于A、B且A、B的横坐标分别为X_1·X_2,则AB=|x_1-x_2|=(?)     

关于整体利普希茨（Lipschitz）常数

本文得到任给Xn={X_1,X_2,…,Xn_(+2)}∈(-1,1)都存在f∈(-1,1),以X_n为交错组,且λn(f)≤A_(1≤j≤n+2)~(min){Λ_(n+1)~j}λn(f)、A_(n+1)~j分别为整体利普希茨常数和勒贝格常数。     

有关圆锥曲线弦中点的问题

有关圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的弦的中点问题,大体可分为两类:一是已知斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(也就是直径)的方程;一是以定点(x_0,y_0)为中点的弦所在直线的方程(中点弦的方程)。下面分别作论述。一、斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(直径)方程定理1.二次曲线f(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0的斜率为k的一组平行弦中点的轨迹(即直径)方程是(2A+Bk)x+(B+2Ck)y+(D+Ek)=0①推论二次曲线的直径是一条过斜率为     

函数图像的割线斜率与切线斜率的关系

不少高考题都涉及函数图像的割线斜率,并且我们知道,一般来说,函数图像的割线斜率与切线斜率的取值范围不一样,但究竟有怎样的准确关系呢? 题1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数f(x)=(a+ 1)ln x+ax2+1,a＜-1.如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4 | x1-x2|,求a的取值范围.     

椭圆与双曲线的一个重要性质

已知ABC的3个顶点都在⊙O上,且A,B两点关于圆心O对称.设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则有k1k2=-1.通过类比的分析,易证对椭圆、双曲线亦有类似的结论.命题已知ABC的3个顶点都在椭圆x2m+yn2=1上,且A,B两点关于原点O对称,设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则k1·k2=-mn.证明设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),又设C(x2,y2),则由点A、C在椭圆上得x12m+yn21=1,①x22m+yn22=1.②②-①,得(x2-x1)m(x1+x2)+(y2-y1)n(y1+y2)=0.∴yx22++yx11·xy22--xy11=-mn.又k1=xy22--yx11,k2=xy22++xy11,∴k1·k2=-mn.例设M是椭圆C:1x22+y42=1上的…     

圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点.笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题,并对一般情形进行研究,可以得到一般性结论,与各位共赏.定理1:已知点A(x0,y0)是抛物线y2=2px上的定点,直线l(不过A点)与抛物线交于M、N两点.(1)若kAM+kAN=c(常数),则直线l斜率为定值;(2)若kAM·kAN=c(常数),直线l恒过定点.证明:(1)直线l斜率显然不为0,故设为x=ty+m,M(x,y),N(x,y).     

由一道高考试题引发的思考

<正>题目(2013年全国高考大纲卷数学理科试题)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是().A.[1/2,3/4] B.[3/8,3/4]C.[1/2,1] D.[3/4,1]解析:设P点坐标为(x,y),可得直线PA2的斜率k2=y/x-2,直线PA1的斜率k1=y/x+2.因为P点在椭圆上,可得     

一道习题的探讨

题目.求函数 Sin男u.豆二乞石亏玉两的值域. l“。夕(t)2.问题化为参数方程弓上的任一点与 之t,,j(t)发人深思的一种解法 {u解令下 L口=2一COS劣,,打只明.=万’(u一2)2+vZ“1.过原点O(。,0)的直线与曲线有交点时斜率的取值范围‘-=sin劣.联想到直线的斜率公式.即.是连结原点与圆(u一幻2十.,二1上点的斜率,所求值域就是这斜率的取值范围. 设经过原点O(0,0)的圆(u一2)2+沪,1的切线 __、,一‘_.、_二_,,,护了护了,二_~为OA.OB.它们的斜率分别是二多~,一二矛(如图z;甘‘二,~~二’‘砚”J小’甲刀尹,研~3’3、户曰~(1))借几何直观作出斜率…