从类比联想的途径和功能看数学能力培养

类比联想是发挥解题灵感的科学向导,是一种重要的解题方法。通过类比,启迪思维,产生联想,既能沟通知识的内在联系,系统深化所学知识,又能培养学生的观察分析能力,数学猜想能力,同时还可激发学生的学习兴趣。本文就类比联想的途径和功能对数学能力的培养谈点看法。 一、对题目的结构进行类比联想,有助于发现问题的最优解法。 例1 求sin~220°+cos~280°+3~(1/2)cos80°sin20°的值。 分析:原式可变为sin~220°+sin~210°-2sin20°sin1O°cosl50°,且10°+20°+150°=180°     

几个三角函数式的值的巧合与必然

1995年全国高考数学试题理科(22)题:求 sin~2 20°+cos~2 50°+sin20°cos50°的值.答案为3/4,又当我们将式中的20°和50°分别换为10°和40°,奇妙地发现 sin~2 10°+cos~2 40°+sin10°cos40°的值仍为3/4,由此引起我们思考:20°,50°,与10°,40°之间有什么关系呢?容易发现等差关系50°-20°=40°-10°=30°.是否有一般性呢?再求 sin~2 19°+cos~2 49°+sin19°cos49°的值.解:原式=1/2(1-cos38°)+1/2(1+cos98°)+sin19°cos49°     

巧用正—余弦定理解题

我们在初中已学过正弦定理和余弦定理:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其外接圆半径为R,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R及 a~2=b~2+c~2-2bccosA. 应用正弦定理把余弦定理中的边都化为角,则有: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA. 可以证明当A+B+C=kπ,k为奇数时此式都成立。我们不妨把上式称为正——余弦定理。下面举例说明这个定理的应用。例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值。     

一个三角恒等式在几何解题中的应用

几何问题的三角解法,早已为大家熟知,并且成为解决许多几何问题的行之有效的方法。不过,对于结果中出现的是线段平方和的等式的证明,一般说来,三角法就显得不够灵活了。本文拟通过三角函数恒等式sin~2θ+sin~2(60°+θ)+sin~2(60°-θ)=cos~2θ+cos~2(60°+θ)+cos~2(60°-θ)=3/2(*),来寻求一种与正三角形有关的几何问题的解法。以下用四个例子来说明解答这类问题的一般途径。     

关于“三倍角公式”的习题

在斯瓦塞诺夫的三角教程中,已导出了三倍角的正弦,余弦公式: sin3α=3sinα-4sin~3α, cos3α=4cos~3α-3cosα。由这二个公式即可推出三倍角的正切公式: tg3α=(3tgα-tg~3α)/(1-3tg~2α)。下面应用这些公式来解一些习题。例1.求证tg~220°,tg~240°,tg~280°是下面方程的根: x~3-33x~2+27x-3=0 证明:显然,只要证明如下三个等式成立即可。 tg~620°-33tg~420°+27tg~220°-3=0, tg~640°-33tg~440°+27tg~240°-3=0,     

绝妙解法

题目求 sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值.解△ABC 中,由余弦定理和正弦定理,有a~2=b~2+c~2-2bccosA, (1)(a/(sina))=(b/(sinB))=(c/(sinC))=k (2)由 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC 代入(1)得sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinC·cosA. (3)     

浅谈三角证题中的反证法

反证法不仅可以用来证明几何命题,还可以用来证明三角命题。有些三角命题用直接证法无从下手,但用反证法证就显得简捷明快、得心应手;同时在三角教学中适当采用反证法将加深学生对其实质的理解,提高解题的能力。 一、证明无理数问题 例1.求证:sin20°是无理数 证明:三倍角公式 sin60°=sin(3×20°)=3sin20°-4sin~320° ∴3sin20°-4sin~320° 假设sin20°是有理数,则①式 左边=有理数,右边=无理数,这是不可能的,     

巧用韦达定理求三角函数值

例1,求值:①A_1=sin20°+sin40°-sin80°; ②A_2=sin20°sin40°-sin40°sin80°-sin80°sin20°; ③A_3= sin20°sin40°sin80°; ④A_4=sin~220°+sin~240°+sin~280°; ⑤A_5=sin~320°+sin~340°-sin~380°。对于上述三角函数的求值问题,常规的方法一般要用到和积互化公式,本文将介绍用韦达定理巧妙求这类三角函数的方法,它可使得其     

一类三角级数求和公式的导出

教师如何巧编三角题或论证题?本文对形如cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7、cosπ/5-cos2π/5、cos~2π/5+cos~22π/5、cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°的计算和cosA+cos(120°-A)+cos(120°+A)=0、cos~2A+cos~2(60°-A)+cos~2(60°+A)=3/2等证明的常见题,都可看作这里导出的一类三角级数求和公式的简单应用实例。     

1999年上海市高中数学竞赛

一、填空题 1.a是第三象限的角,且6sin~2α sin α·cos α-2cos~2α=0,则sin 2α cos 2α的值是____。 2.正四面体ABCD的棱长为1,点G是底面△ABC的重心,点M在线段DG上,且使得∠AMB=90°。则DM的长为____。     

一道习题的巧解及推广

湖北《数学通讯》87年1—3合刊的42页上有这样一道题: 求:cos~2 16°+cos~2 14°-3~(1/2)cos16°·cos14°的值。在《数学通讯》上没给出这道题的解答,下面笔者介绍一种巧妙的解法: 解:构造两个共斜边的     

一道例题的多解

同一数学问题,从不同的角度去审视,就会有不同的感受,从而产生不同的解题思想与方法,而这些方法的产生又源于对知识的理解与掌握.理解越深刻,想象越丰富,联系越广泛,方法越巧妙.下面就人教版高一数学第一册(下)第38页例3:利用和角公式计算11+-ttaann1155°°的值,介绍几种不同的解法,供大家参考.解法1:因为tan45°=1,所以原式=1-tan15°=1-tan45°tan15°=tan(45°+15°)=tan60°=3.另外,11-+ttaann1155°°=1ta+nt4a5n°4-5°ttaann1155°°=tan45°-1tan15°1+tan45°tan15°=tan130°=3.解法2:因为cos15°≠0,所以2cos215°≠0.1+tan15°…     

三角函数降幂公式应用几例

三角中的降幂公式:sin~2α=(1-cos2α)/2,cos~2α=(1 cos2α)/2由倍角公式变形而得,其应用十分广泛.例1.化简cos~2(120° A) cos~2(240° A) cos~2A.解:原式=(1/2)[1 cos(240° 2A)] (1/2)[1 cos(480° 2A)] (1/2)[1 cos2A]=3/2例2.求sin~4 22.5° sin~4 67.5° sin~4 112.5° sin~4 157.5°的值.解:原式=(sin~2 45°/2)~2 (sin~2 135°/2) (sin~2 225°/2)~2 (sin~2 315°/2)~2     

《两角和与差余弦》的研究性学习设计

一、提出问题教学应在学生已有经验的基础上创设问题情境 ,使学生觉察到问题的存在 ,激发他们的认知冲突.如大家知道45°,30°,60°等是特殊角 ,那么75°=45° +30°是特殊角吗 ?你知道cos75°的值吗 ?联想到分配律 :cos75°=cos45° +cos30° ,想一想 ,你认为这样对吗 ?cos(45° +30°)≠cos45°+cos30°.如何解决这类问题呢 ?解决问题的一种思路是 ,直接探索cos(α + β)的公式 ,问题自然解决了.另一种思路 :能否利用特殊角去求cos75°,再去探究cos(α + β) ?二、建立猜想对学生来说 ,求出一个具体的结果似乎更有吸引力.如图1 ,∠C=90°…     

用“对称扩角”方法推导倍角公式

如下两公式: cos2θ=1-2sin~2θ =cos~2θ-sin~2θ =2cos~2θ-1, ① sin2θ=2sinθcosθ, ② 是高中数学中关于二倍角的正余弦公式,在解决某些初中数学问题时间或用到。若限制角θ:0<θ<90°,在初中数学范围内也能给出一个简明扼要的推证。本文拟介绍“对称扩角”的办法,即从某个含有角     

最值求法中的思维灵活性和严谨性

数学学习中既要加强思维灵活性的培养,也要充分重视推理上的严谨性,如何使两者有机地结合,是数学教学中值得探索的问题。本文从利用不等式求最值方面谈谈解题教学中的一些分析。例1 求凼数y=sinα·cos~2α(α是锐角)的最大值。分析:由于和式sinα-cos~2α不是定值,可以通过平方,创设定值条件,即 y~2=sin~2α·cos~4α     

灵活掌握三角恒等变形——从一道成人高考试题谈起

1987年全国成人高校统一招生数学(文史类)试题的第六题是:证明sin~22x++2cos~2xcos2x=2cos~2x,标准答案为: 左端=(2sinxcosx)~2+2cos~2x(cos~2x--sin~2x)=4sin~2x cos~2x+2cos~4x-2sin~2xcos~2x=2cos~2x(sin~2x+cos~2x)=2cos~2x=右端。 (证法一) 该题证法很多,只要掌握sin2x=2sinxcosx,cos2x=cos~2x-sin~2x=2cos~2x-1=1-2sin~2x及sin~2x+cos~2x=1,则可以从不同角度入手证出,试举几种如下: 证法二     

例说三角变换技巧

由于三角公式比较多,变换灵活多样,解答此类题时,考虑选择恰当的变换就能使复杂问题简单化,收到事半功倍之效果。下面介绍几种常用的三角变换技巧.变换三角函数名称一般地,在一个三角函数式中,若含有多种三角函数,则常把“切割”统一变为“弦”,减少函数种类,易于变形.例1.求tan20°+4sin20°的值.解:原式=sin20°+4sin20°·cos20°cos20°=sin20°+2sin40°cos20°=(sin20°+sin40°)+sin40°cos20°=2sin30°·cos10°+sin40°cos20°=sin80°+sin40°cos20°=2sin60°·cos20°cos20°=2sin60°=3√.点评:本题的解题关键有二:一是把tan2…     

代数与初等函数自测试题(二) 三角函数

(一)填空 1.已知角α的终边过点(7~(1/2),-3),则sin α=____,sosα=____,tgα=____,ctgα=____,seaα=____,cscα=____。 2.3pcos0°+sin30°+(p~2+q~2)cos90°-3pctg225°tg45°的值为____。     

构造模型解三角题

通过构造数学模型来解决三角问题,目的在于培养学生观察、分析、联想的思想方法以及创造性思维能力. 例1 (1991年全国高中联赛题)求cos210°+cos250°-sin40°sin 80°的值. 导析:看到此题,学生自然会联想到课本中的例题:求sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°的值.他们会通过降次、和差化积来解决这个问题.这时,我们可引导学生观察,揭示其本质.注意到sin 40°=cos 50°,sin 80°=cos 10°,且问题关于cos 10°,