矩形外接圆周上点的有趣性质在三维空间中的拓展

文[1]证明了矩形外接国周上点的有趣性质：“定理：矩形外接圆周上任一点到矩形各边中点的距离的平方和为定值”。文[2]注意到性质中“各边中点”的特殊性，在二维空间（平面）上作了一般的推广。笔者运用类比的思考方法：把矩形和等对棱四面体（或长方体）类比，把圆周和球面类比，将这一性质拓展到三维空间中而获得颇为有趣的结论：定理等对校四面体外接球面上任一点到该四面体的各面三角形重心的距离的平方和为定值。何谓等对棱四面体，我们称三组对核分别相等的四面体为等对校四面体，过四面体每条校可作唯一平面平行于对棱，六个面围成…     

四面体二面角平分面的性质

类似于三角形内角平分线的性质,四面体（也称三棱锥）二面角平分面也有如下性质: 性质1 四面体二面角平分面上任意一点到形成这个二面角的两个面的距离相等。 证明 如图、设平面ADS是四面体ABCS中二面角B—AS—C的平分面,P为平分面上任意一点。 过P作平面EFG⊥AS,分别交AS、BS、CS于E、F、G,则∠FEG为二面角B—AS—C的平面角,PE为面ADS和面EFG的交线,由二面角平分面定     

高中数学竞赛单元训练题——四面体

一、选择题1.在四面体 ABCD 中,BC=AD,E、F、M、N 分别是 AB、CD、BD、AC 的中点,则直线 EF 与 MN 的夹角为( ).A.30° B.45°C.60° D.90°2.如图1,四面体 ABCD 各棱长均相等,E、F 分别为 AC、AD 的中点,则△BEF 在面 ABC 上的射影是图2(实线)中的( ).     

从一道竞赛压轴题说起

2003年全国高中数学联赛山东赛区预赛的最后一题是：如图1，已知正方体ABCD-A181C1D1的棱长为2，点E是棱CD的中点，求异面直线A1C1和B1E的距离，该题是一类典型求距离，本文想就此题谈谈如何求异面直线间距离，及其转化方法。     

也谈已知四面体各棱长求其体积

在1982年第四期上刊登了李梦樵同志的“已知四面体各棱的长求它的体积的方法”一文,介绍了由四面体各棱长求其体积的一种方法。这里,我再介绍一种方法,供读者参考。予备题一、已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA′的长度为d,在直线a、b上分别取两点E、F,设|A′E|=m,|AF|=n。则 |EF|=(d~2+m~2+n~2-2mncosθ)~(1/2)(E、F在AA′同侧) 证明请参阅通用教材高中课本第二册第35页。若|EF|=x,则上式可表示为 cosθ=(d~2+m~2+n~2-x~2)/2mn 予备题二、已知任意四边形ABCD的四边长分别为a、b、c、d,对角线AC的长为e。求顶点B、D到对角线AC的距离及两垂足问距离。     

四面体与它的外接平行六面体

2003年全国高中数学联赛中有这样一道试题:在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为π3,求四面体ABCD的体积.如果孤立地考察四面体ABCD,很难把已知条件与体积联系起来.注意到四面体每组对棱所在直线都是异面直线,过每组对棱可以作一对平行平面,三对平行平面围成     

关于四面体“宽度”的两个不等式

将四面体的每一组对棱之间的距离(即公垂线的长度)叫做四面体的一个“宽度”。本文主要由一些引理得到了关于四面体“宽度”的两个不等式。命题一设四面体ABCD的三个宽度为d_1,d_2,d_3,体积为V,则有 d_1d_2d_3≤3V, (1)当且仅当四面体的各对对棱相等时,等号成立。为证命题,先看如下两个引理。引理1 若四面体的体积为v,其一组对棱之长分别为a,b,此组对棱间的距离为d,夹角为a,则有 V=1/6abdsina, (2) 引理 2设四面体体积为V,六条棱长的乘积为P,三对对棱成角分     

任意四面体的一个性质

在平面几何中，过平行四边形对角线交点的任一直线必将此平行四边形分成等面积的两部分．本文将给出立体几何中关于任意四面体的一个类似性质．定理在四面体ABCD中，E、F分别为相对棱BC、AD的中点，则过E、F两点的任一个平面必将此四面体分成等体积的两部分．证由于E是CB之中点，所以C、B到平面EPFQ的距离相等．这里EPFQ是过E、F的任一平面，且交CD于P，交AB于Q，交BD延长线于G，如图所示．设四面体ABCD的体积为V，由平几中的梅氏定理得：由①②知：平面EPFQ平分四面体的体积．当平面QEPF与BD平行时结论显然成立．综上…     

推导四面体对棱交角和距离公式的几种方法

本文用三种方法,推导出四面体A一BCD的对棱交角公式,以及三种形式的对棱之间的距离公式。中学立体几何中求异面直线交角和距离问题,都可以通过联结辅助线,构成四面体,运用本文所得二公式加以解决(只要该四面体的六棱长可求),而无需借助坐标法来研究。     

运用补体法巧解立体几何问题

补体法就是将原已知几何体进行修补,使它成为熟悉的几何体,如正方体、长方体、平行六面体、锥体、台体、球体等等,再利用新图形特有的性质,探求解题途径的思想方法.本文例谈补体法在解立体几何问题中的应用. 一、求距离例1 若一个四面体相对棱长相等,其长分别为a、b、c,试求相对棱间的距离. 解:根据题意,将原四面体补成长方体如图1,则长方体相对面间的距离即为四面体ABCD相对棱间的距离,设AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c,长方体     

设想·论证·转化——计算空间角与空间距离的一种思维模式

处理空间角与空间距离的计算问题,不仅要对有关“角”与“距离”的概念了如指掌,而且还要善于开动思维机器,灵活调遣线面关系,对问题交错进行设想、论证、转化和计算。所谓转化,就是将隐晦的问题转化为明确的问题,将立体几何的问题转化为平面几何问题等。对于空间角与空间距离的计算,通常是通过构造一个三角形(或四面体),转化为计算三角形(四面体)的边、角、高的问题。构造一个什么样的三角形(四面体)?当然,所求的角或距离应纳入该三角形(四面体)之中,可是,仅满足这点要求的三角形(四面体)往往有多种多样,这就存在一个选择的问题,也就是凭直觉和经验进行设想的问题。     

一个截面的性质

定理 过四面体的一组对棱中点的任意截面,总把该四面体分为两个等积体。 为证明该定理,我们先引入两个引理。 引理1 过四面体一组对棱中点的任意截面,把另一组对棱分成同样的比数。 已知 四面体ABCD,E,F分别为AB,CD的中点,任意过EF的截面EHFG把AC分成AG:GC=m:n. 求证 BH:HD=m:n.     

一道直角四面体命题的变式与引申

命题设四面体ABCD的棱AB、AC、AD两两互相垂直,顶点B、C、D到对面的距离依次为a、b、c,P为面BCD上任意一点,PE⊥平面ACD于E,PE⊥平面ABD于F,PG⊥平面ABC于G,令PE=x,PF=y,PG=z,则x/a+y/b+z/c=1.     

四面体中的棱、角关系

文〔1〕介绍了非圆内接平面四边形中的边角关系,本文作进一步推广,给出四面体中一些相应的结论。引进定义:如图1,在四面体中,某一条棱所在的二面角的平面角为a,这条棱在以它为公共边的两个侧面三角形中所对的角分别为β、γ,令     

三棱锥对棱的距离与其交角

三棱锥的对棱是异面直线,求它们之间的距离,实际就是求两异面直线的距离.因为任两条异面直线均可转化为三棱雄的对棱.如图(甲)异面直线SA、BC、只要连结AB、AC、SC、SB,就可构成三棱锥S-ABC,那么SA、BC就成为三棱锥S-ABC的对核.于是求两界面直线的距离,就是求三棱锥S-ABC的对棱BC、SA间的距离.     

求解高考几何题的向量方法

<正> 向量是一个很有用的数学工具,它的应用非常广泛.在高中数学中运用向量知识解题,特别是几何问题,思路清晰、目标明确、易于掌握.本文举例介绍求解高考几何问题的向量方法.例1 (1988年高考题)在棱长都相等的四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、BC的中点,连接AF、CE(如图1),求异面直线AF与CE的所成角.     

直角四面体的性质及应用

所谓直角四面体 ,是指由同一点出发的 ,两两互相垂直的三条棱所构成的四面体 .其中两两垂直的三条棱叫直角棱 ,两两垂直的三个面叫直角面 ,另一个面相对来说叫做斜面 .本文旨在通过对直角四面体的多种性质的挖掘 ,揭示直角四面体的结构特征 ,展示思维过程 .1　直角四面体中有关角的性质定理 1　直角四面体斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于 1.分析　设Ｐ是直角四面体Ｏ -ＡＢＣ的斜面ＡＢＣ上任一点 ,若Ｐ为ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ上的任一点 ,命题显然成立 ;若Ｐ为其他的点 ,则过Ｐ作三个平面分别平行于三个直角…     

超立方体与高维的欧拉公式

我们知道,对于满足一定条件的多面体Ω的棱数、面数和顶点数之间有如下的关系:V+F=E+2 (1)其中V、F、E分别表示多面体Ω的顶点数、面数和棱数。这就是著名的欧拉公式.它是欧拉在1752年得到的结果.这里所要满足的“一定条件”是指多面体Ω要是一个“连通的”和“无洞     

例析求异面直线距离的常用方法

求两条异面直线的距离是高中立体几何重、难点之一,遇到这类问题,许多学生往往感到比较困难,常常无从下手,对寻求异面直线的公垂线段更是感到无所适从．解答此类问题,主要的方法有“定义法”和“转化法”,“转化法”常将两条异面直线的距离转化为直线与平面的距离,或转化为平面与平面的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或转化为用等体积变换的方法等来求解．下面我将求两条异面直线距离的方法作一归纳总结,供大家参考．     

怎样求两条异面直线间的距离

一、应用定义法。例如,求四面体对棱间的距离,连接对棱中点,证明其为公垂线,再计算它的长度就行了。二、转化法。化为线面或面面距离来求。例如,已知长方体AC_1的BB_1=a,A_1B_1=b(图1),求B_1C_1与BD_1的距离。由于B_1C_1∥平面A_1BD_1,作B_1H⊥A_1B于H,则B_1H⊥平面A-1,BD_1,只要求出B_1H就行了。