一道IMO题与一道CMO题的等价性

本文谈谈第26届IMO第5题与1997年CMO第4题的等价性。 题目1 (CMO1997-4)四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F,则P、E、F三点共线。 题目2 (IMO-26-5)⊙O过△ABC顶点A、C,且与AB、BC交于K、N(K与N不同),△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证:     

一道几何题

几何课上,老师在讲台上卖力地演练着:“今天我们来讲一下上次考试的证明题……”我绞尽脑汁、卖力地证明着一道盘旋在脑中,令我寝食不安、食不甘味、百思不得其解的自设几何证明题: 已知:你经常在我身后大声与他人说笑,以引起我的注意;我不经意间看你时,总是造成四目相对的尴尬;别的同学总是在你     

一道统计题

新学期开始了，我又可以和同学们一起上课，一起玩耍了。 一天，爸爸跟我说：“我们来做一道统计题吧。开学已经两星期了，把你这两周的作业完成情况做一个统计。”我说：“怎么统计呢？”“把你两周的作业统计一下，看看一共有几次作业，其中优、良、中、差各几个；95分以上、90分以上、90分以下各几次。”     

一道病题

本刊1993年第1期《短论》中的于志洪文引用的如下例题: (首届希望杯备选题)如图,DE为△ABC中位线,△BOC与△DOE的面积分别为3和2。则△ABC的面积是( )。     

一道语文题

某次的语文试卷有这样一道题用精练的一段话作为推广普通话的广告策划用语。同学们的答案令人惊叹不已,给枯燥的阅卷带来许多快乐。例如: 1.今年过节不说话,要说就说普通话。2.学好普通话,走遍天下都不怕。3.方言诚可贵,外语价更高。若为普通话,二者皆可抛。4.出门要讲普通话,地球人都知道。     

一道假设题

毕业典礼上,老师最后给我们出了一道题：假如银行每天都给你一笔钱,总数是8万元,要求你在一天结束之前花完它,否则银行将追回余款。不过,无论你能否用完这笔钱,当第二天来临的时候,你仍然会再次收到8万元。如此循环往复。只是,银行方面有权在某一天终止这项服务,但你不会知道具体的日期。现在的问题是,在有效期内你会怎样支配这笔钱？     

一道探索题

问题等腰三角形一腰上的高与底边的夹角和顶角之间有何关系?并证明你的结论.(请读者自己先思考)猜想以上的问题是对任意等腰三角形而言的,所以,也适用于等边三角形,可用等边三角形进行探索.如图1,△ABC 是等边三角形,BD 是 AC 上的高,显然∠1=30°,∠A=60°,故∠1=(1/2)∠A.于是可猜想:等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.     

一道妙题

浙江省诸暨市2008年保送重点高中的选拔试卷中,有一道几何探究题（第23题）：     

同一道题

教授收了4个学生，他们分别来自中国、美国、俄罗斯和日本。开学第一天，教授让他们解决一个问题：桌上有一只烧杯，杯内盛有水，比水面低一点儿的杯壁上有一个小孔，水从孔里不断涌出。现在要解决的问题是迅速采取办法制止杯中的水向外流，教授给了4位同学一天的思考时间，要求他们第二天把各自的办法演示一遍。     

一道怪题

我国著名的文学家、史学家陆侃如教授在20世纪30年代曾去巴黎留学。他勤奋好学而且才思敏捷、应变能力极强。1935年在他的博士论文答辩会上,主考老师出了一道怪题:“《孔雀东南飞》为什么不说孔雀西北飞?”旁     

一道非常规题

课本中的题目多数是常规题,它们常常伴随着一套常规的解题思路或方法.例如,解方程组的常规思想方法是“消元”与“降次”.但     

审视一道题

我们来看一道题 :已知a、b、c为两两互不相等的有理数 .求证1(a -b) 2 + 1(b -c) 2 + 1(c -a) 2为有理数 .为了运算的简化 ,我们不妨设a >b>c,且设a=b +m ,c=b-n(m >0 ,n>0 ) ,则a-b=m ,b -c=n ,c-a =-m-n ,∴ 1(a-b) 2 + 1(b-c) 2 + 1(c-a) 2=1m2 + 1n2 + 1(m +n) 2=n2 (m+n) 2 +m2 (m+n) 2 +m2 n2m2 n2 (m+n) 2=(m +n) 2 (m2 +n2 ) +m2 n2[mn(m+n) ]2=(m+n) 2 [(m+n) 2 -2mn]+m2 n2mn(m +n)=(m+n) 4 -2mn(m+n) 2 +m2 n2mn(m+n)=(m +n) 2 -mnmn(m+n) .(因 (m+n) 2 -mn >0 ) ①因为a、b、c为两两互不相等的有理数 ,故(m +n) 2 -mnmn(m +n) …     

一道好题

一道好题河南省渑池县高中上官炳辰题目如图ｌ所示，静水面上停有一小船，船长Ｌ＝３米，质量Ｍ＝１２０千克．一人从船头走到船尾，人的质量ｍ＝６０千克．那么，船移动的距离为多少？（水的阻力可以忽略不计）分析与解当人从船头走至船尾，通过脚与船发生了作用（也可以...     

一道好题

<正> 题不在多而在精,一道好的数学题,往往能起到举一反三、触类旁通的作用. 题目过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证AE:ED=2AF:FB.(人教版初中《几何》第二册P255第17题)     

一道趣题

一九九三年十月,我有幸参加了在中国山东省潍坊市举行的中日美三国数学教育会议。会议期间,日本横滨国立大学的桥本吉彦教授向与会者提出了一道有趣的数学题。 问题:按下图的要求,在方格内分别填写1,2,…,9九个数字,使下述等式成立。     

一道妙题

1993年全国各地中考数学试题中不乏新型试题。浙江省宁波市是义务教育新教材试教区,该市“高中招生统一考试数学试题”中最后一题,就是一道妙题。 A市和B市分别有库存某种机器12台和6台,现决定支援给c市10台,D市8台,已知从A市调运一台机器到c市、D市的运费分别为400元和800元;从B市调运一台机器到c市、D市的运费分别为300元和500元。 (1)设B市运往C市机器x台,求总运费W关于x的函数关系式;     

一道几何题

如图1,已知△ABC中,AH⊥BC,垂足H在线段BC上,G为线段HC内一点,∠BAG=60°,∠HAG=12∠GAC,AB=11,AC=9.求BHHC.这道几何题用到的知识不多,初中同学应当能做(原来是日本小学算学竞赛的试题,但小学知识是不够的).有趣的是,懂得更多知识的高中学生(甚至数学教师),往往做不好(笔者曾给一些人做过).这倒不是说“知识越多越愚蠢”,而是知识多了,可供选择的解法也多了,反倒不知道选择哪一条路为好.所谓做不好,就是解答极其复杂.我们希望的好的解答,应当尽量简单.同学们可以自己先试一试,然后再看下面的解答.首先设∠HAG=α,则∠BAC=60…     

老师的一道题

今天的数学课上杨老师在黑板上给同学们出了一道计算题．     

一道特别的题

周末的时候,小慧、小聪和小灵三个人在一起做作业,他们遇到了这样一道题:有一本故事书,一共有88页,玲玲计划7天看完,前几天尽量看得多一些,并且每天看的页数同样多,最后一天看剩下