不等式multiply from i=1 to n (xi+1/x_i)≥(n+1/n)~n的推广

关于不等式multiply from i=1 to n(x_i+(1/x_i))≥(n+(1/n))~n(x_i为正数,sum from i=1 to n x_i=1)的正确性,《数学通讯》已有多篇文章给出了证明,本文将这个不等式推广到较一般的情形。从sum from i=1 to n x_i的值上推广有: 定理1 (1)如果x_i∈R+(i=1,2,…,n),     

不等式Пi=1^n（1/xi-xi）≥（n-1/n）^的一般化和初等证明

文[1]提出一个猜想:设xi>0(I=1,2,…,n),n≥3,n∑I=1xi=1,则∏n I=1(1/xi-xi)≥(n-1/n)n①. 文[2]用逐步调整法证明了①式.文[3]细致地探讨了①式的证明策略,用拆项法和磨光变换对①式给出了两种初等证明.     

一个错误的猜想及更正

文[1]提出了如下形式的猜想:设x_i>0(i=1,2,…,n),sum from i=1 to n x_i=1,则multiply from i=1 to n(1/(1-x_i)x_i)≥(n/(n-1) 1/n)~n,当且仅当x_1= x_2=…=1/n时等号成立.当n=2时,这个结论是正确的,易证,不     

限定条件下Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))的最小值

文[1]证明了下述结果:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=1,则Ⅱ_(n=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(n 1/n)~n (1)文[2]在末尾提出了如下猜想:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=k, k≤(2 5~(1/2))~(1/2),则Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(k/n n/k)~n (2)文[4]提出以下的改进:     

一个不等式隔离的初等证明、推广与应用

本刊[1]文中将不等式 1/n sum from i=1 to n a_i~n≥multiply from i=1 to n a_i(a_i∈R~+,i=1,2,…,n) 作了如下隔离 1/n sum from i=1 to n a_i~n≥(1/n sum from i=1 to n a_i)~n≥multiply from i=1 to n a_i (1) 但美中不足的是其证明过程中运用了二阶导数和凸函数的有关知识,不宜中学生阅读和接受。为此,本文给出(1)式的一个简捷的初等证明。证明:由算术—几何平均     

不等式n(∏)i=1(1/xi-xi)≥(n/k-k)n成立的另一限制条件

文[1]用数学归纳法证明了如下不等式:设正整数n≥3,xi＞0(i=1,2,…,n),n∑i=1xi=k≤1,则     

求sum from i=1 to n i~k的简便递推公式

寻找求sum from i=1 to n i~k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n~(k 1)=(k 1)[integral from n=0 to n(S~k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S~k(x)ds)。其中S~k(x)是S_n~k=sum from i=1 to i~k的派生函数。     

再谈一类分式不等式的证明

文[1][2][3]分别从不同角度介绍了一类分式不等式的证明,但显得技巧性强,难以掌握,本文将从此类不等式的题源出发,证明之。 先看以下命题: 对a_i>0,b_i>0,(i=1,2,3,…,n)有 (sum from i=1 to n(a_i~2/b_i))≥(sum from i=1 to n(a_i))~2/(sum from i=1 to n(b_i)) (*)证明∵a_i>0,b_i>0(i=1,2,3,…,     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

谈谈局部调整原理的运用

1984年上海市数学竞赛决赛试卷的最后一题是:设x_1,x_2…,x_n皆为正整数,sum from i=1 to n x_i=qn+r,0≤r相似文献   

一道东南数学奥林匹克试题的进一步推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题)求最小的实数m,使不等式m(a~3 b~3 c~3)≥6(a~2 b~2 c~2) 1对于满足a b c=1的任意实数a,b,c恒成立.文[1]对此题作了以下推广1设a_i>0,i=1,2,…,n,n≥2,sum from i=1 to n a_i=1,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m sum from i=1 to n a_i~3≥A sum from i=1 to n a_i~2 B恒成立.     

组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

不定方程sum from i=1 to k(x_i=n)的非负整数解、正整数解的个数

本文用在集合间建立一一对应的方法、得出了求不定方程sum from i=1 to k(x_i)=n的非负整数解、正整数解的个数的公式.     

一道数学冬令营试题的推广

第四届(1989年)全国中学生数学冬令营试题的第二题是: 设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2),且sum from i=1 to n x_i=1,求证: 二/X。 sum from i=1 to n x_i/1-x_i~(1/2)≥sum from i=1 to n x_i~(1/2)/n-1~(1/2).(1) 本文对这道试题作出如下推广: 设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2),且sum from i=1 to n x_i=A>0,若α≥1,β>0,0<γ<1,     

关于《一个不等式的推广》问题

胡道煊同志在文[1]中曾绐出了如下的不等式:sum from i=1 to n((a_i~m)/(b_i))≥n~(2-m)·((sum from i=1 to n(a_i))~m/sum from i=1 to n(b_3))。(1)其中a_i、b_i>0,(i=1,2,…,n),且|m|≥1。 此处我们说(1)是一个不恒成立的不等式。例如取n=2,b_1=a_1,b_2=a_2,m=3/2,则有     

"放缩法"证明数列不等式

数列不等式是近年来高考与竞赛的热点题型’其中一类形如sum from i=n_0 to n 1/(a_i)相似文献   

一道最值题推广之别证

熊光汉老师将命题:x,y,z>0,且x y 2=1,求1/4 4/y 9/z的最小值推广为:设x_i∈R~ ,i=1,2…,n,且(sum from i=1 to n(x_i))=m,则sum from i=1 to n((i~2)/(x_i))     

求条件和sum from i=1 to n(a_i/X_i)最小值的一个公式

命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2     

柯西不等式的直接证明与指数推广

著名的柯西不等式为 (sum from i=1 to n (a_i~2))(sum from i=1 to n (b_i~2))≥(sum from i=1 to n (a_ib_i))~2. (1) 关于(1)式,一般参考书上是采用构造函数,利用判别式间接进行证明的。本文首先给出(1)式的一个直接的简捷证明,然后利用算术-几何平均值不等式给出(1)式的指数推广。     

用a≥2-1/a证不等式

若a∈R_ ,则有a≥2-1/a (*),等号当且仅当a=1时成立. 不等式(*)不仅结构简单,而且利用它还可以简捷地证明一些较难的不等式.下面举几例说明. 例1 设a_i,b_i∈R_ ,且sum from i=1 to n(a_i)=sum from i=1 to n(b_i),求证sum from i=1 to n(a_i~z)/(a_i b_i)≥1/2 sum from i=1 to n(a_i).(1991年亚太地区数学竞赛题)