一元二次方程根与系数的关系的应用

若x1，x2是方程ax2－bx＋c＝0（a≠0）的＋bC＋C一0（a≠0）的两个根．这就是一元二次方程根与系数的关系，我们利用其可以解决很多与“二次”有关的问题．一、已知一元二次大程的一个根，求另一个根例1（I）已知4X2－11x＋6＝0的一根是Z，求另一根；（2）已知一2是方程Zx’＋mx－2—0的一个根，求m的值及另一根．分析在（1）中虽然可通过解方程求出另一根，但若利用根与系数的关系求另一根则很简便．我们可设另一根为xl，那么根据xl＋211＿＿6．＿＿＿，一千，灭r1·2一二均可乘出。4”———“－4“””———一在（2）中，由于方程中…     

一元二次方程根与系数关系的应用

一元二次方程根与系数的关系是中考中的热门话题，应用十分广泛，本文总结归纳它的一些应用，供同学们学习参考．一、已知一无二次方程和它的一个根，求另一个根及某些参数的值．例1已知方程5x‘＋mx－6—G的一个根是一7，则另一个根是，m一”“q”“””“”’””’．．（1996年常州市中考试题）思路分析已经知道方程的一根，可利用两根之积等于一j求出另一根，再利用两根之和求出m的值二解设方程的另一根为X，由根与系数的、，、，。36。3m夫系得一号·——一号与一；＋l——一号．，—一·、5一q“F～5解得x一2，m—一八方程的另一根…     

一元二次方程根与系数的关系及应用

大家知道,如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1、x2,那么x1＋x1x2是一元二次方程。ax2＋bx＋c＝0的两个根．这就是我们常说的一元二次方程根与系数的关系．下面举例说明它的常见应用．一、已知一元二次方程和它的一个根,成另一个根及参数的值例1解答下列各题：（1）如果是方程个根,求方程的另一根及C的值;（2）已知关于。的方程一2＝0的两个实数根的平方和比两根之积的3信少10,求k的值．（199年济南市中考题）分析（1）设方程的另一个根为X1,那么由根与系数的关系,有显然,利用①可求出另一根;利用②可求得C＝1．2）设方…     

怎样求一元二次方程中参数的值

在关于一元二次方程的问题中，有这样一类问题：已知一元二次方程两实根之间的关系，要求方程中参数的值．求解这类问题的思想方法是：首先根据根与系数的关系和已知条件，建立关于参数的方程或方程组，然后通过解方程或方程组即可求得参数的值．求解这类问题时，必须注意参数应满足的两个隐含条件：一是方程中二次项系数不能为零；二是一元二次方程有两个实根的条件凸＞o．下面举例说明．例I关于X的方程X’＋（Zm－3）x＋m’＋6一0的两根之积是两根之和的2倍，求m的值．（1996年山西省中考题）分析要求m的值，只要根据已知条件和根与系数…     

一元二次方程根与系数关系的六种应用形式

一元二次方程报与系数的关系，它是以一元二次方程的求根公式为基础的。即如果ax~2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x_1，x_2，那么利用它解决问题，在初中阶段一般具有下列六种形式。一、恰当选择根与系数关系，求另一根和系数字母值。由一元二次方程根与系数关系可知存在两个等量关系，解题选用那一个，要看题意，尽量使所选等量关系含一个未知量，进而求另一个未知量。例回、①已知方程SX’＋bX－10一0的一个极为一5，求方程另一个根及b的值。分析：选两个根的积求另一根，进而由两根和求b值。。＿、。、＿＿，＿、，＿。，10。。2＿。‘…     

活用方程根的定义解题

方程的根是指使方程左右两边的值相等的未知数的值，即若X。是一元二次方程＿‘＋bC＋C一0（。羊0）的一个根，则＿g＋bC。＋C一0．下面举例说明根的定义在解题中的应用‘一、求方程的根例1若关于x的方程Zx’－mxwm－1—0有一个根是O，则另一个根是（）（996年山西省中考题）解由条件知m—1—0，·”·m—1·原方程为ZX’－X一0·＿1x，＝0，x，。7＝．。—。一2故另一个根为X一tr．——’、’·—”、一2二、来待定系数的值例2关于X的方程3X‘一ZX＋m一0的一个根是一1，则m一（）．（1996年广东省中考题）解由条件知3＋2＋m—0·m—…     

一元二次方程一个定理的妙用

定理：如果1是一元二次方程。2＋bx＋c＝0（a一0购根,那么十十b＋＋＝0;反过来,如果十十b＋c一队Nua个十hi＋c＝0,所以1是一元二次方程ax’＋bx＊C二0的根．应用一元二次方程axZ＋bx＋c二0的上述正、逆定理解题,常常能收到化繁为简、化难为易的效果．现分三方面介绍其应用如下：一、定理的应用例1已知方程5X2＋h6＝0的一个根是1,求它的另一个报及k的值．解…l是方程SX’＋he－6二0的一个根,…5＋k－6＝0．·k一回．设另一个根为X,则由韦达定理,得k‘l‘．l一5。5““5”例2已知在凸ABC中,a、b‘c为凸ABC的三边,又方程。2x…     

让根回娘家 巧作新方程

数学课上,苏老师叫同学们思考课本P34页“想一想”栏目的题目：已知方程x2＋3X－2＝0,不解出这个方程,怎样利用根与系数的关系,求作一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的各根的2倍？大多数同学的解法如下：设方程x2＋3x－2＝0的两根为x1、x2,由韦达定理得。x1＋x2＝－3,x1·x2＝-2设所求方程为y2＋py＋q＝0,两根为y1y2．由已知条件可知y1＝2x1,y2＝2x2．那么所以,所求的新方程是y2+6y－8＝0．苏老师说,这是一般解法,当然是正确的．但是还有没有更简便的解法呢？李敏同学通过认真思考之后,给出了一种新颖别致的解法．解…     

(六)方程(组)与不等式(组)测试卷(B)卷

一、填空题（每空4分，共40分）：1.方程的解是；2．若（X＋y－1）2＝0，则y一，／；＿＿＿，、＿、20‘，，＿＿3．方程（X’十打）一一一一一一8的解是——”———一H‘＋3H—”“‘”“’4不等式卜一4入＜9的整数解的和是＿＿；5若X；、X。是方程X’－6X＋4—O的响个根，则卜；－X；］一，X；’－X。’、；6．若一个一元二次方程的两个根分别是方程X’一SX＋13一0的两个根的3倍，则这个一元二次方程是；7．若方程x’＋x－6一O和方程x’一sx＋m一0有一个公共根，则m一二、单项选择题（每小题5分，共20分）：1．若方程kX’－4x＋2…     

一元二次方程的公共根问题

如果x0是一元二次方程羊0）的根，那么一卜bC。＋C一0．有一类公共报问题，根据方程报的意义，让根“回娘家”，便可简捷求解．请看以下例题二例1若方程x‘＋。x＋b—0和x’＋bx＋a一0有一个公共报，则（a＋b）‘”‘一．（华罗庚数学学校力。1练题）解由题意知。学b，设两方程有公共根X。，则有：枯十。X。＋b一0，X卜bX。＋。一0．og＋。00＋b—og＋b00＋。x0一一一一一一1，代入方程得一Hb一”“”“”“’“”awb——－1．故（。＋b）”’‘一（一1）””－1例2若方程X’＋bX＋1一0与X‘－X－b一0有一个公共实根，求b的值．（1987…     

用一元二次方程根的定义巧解中考题

由根的定义可知：如果x1是方程的根,那么反之,如果,那么x1是方程bx＋c＝0的根．应用上述定义,能巧妙地解答许多中考题．现以1998年中考题为例,介绍根的定义的若干应用一、化简复杂的代数式例1已知,化简代数（199年锡山市）分析由根的定义可知x是方程ax2+bx＋c＝0的根,把ax2＝-bx－c两边平方后代人待求式得二、已知方程一根成另一根例二已知方程mx2＋4x＋3＝0有一根是1,则另一根是．（1998年天津市中考题）分析把x＝1代入方程得m＝－7,解方程7x2－4x－3＝0,得另一根为三、求方程中字母系数的值例3已知a、b是方程x2＋（k—2）X十1=…     

一对“克隆”方程

同学们,下面是一道看似普通但却能引起我们好奇心的题:已知方程x2 4x 1=0,求作一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数。解:设已知方程的两根为x1,x2,则所求作一元二次方程两根分别为x11、x12,根据一元二次方程根与系数的关系:x1 x2=-4,x1x2=1∴x11 x12=x1x1 x2x2=-4,x11x2=1故所求的一元二次方程是x2 4x 1=0.观察所求的一元二次方程竟然与已知的方程一模一样,真是一对“克隆”方程,是巧合还是有某种内在联系?除了这个方程外,还有其它的一元二次方程具有这种特征吗?同学们,看到这里,你不想自己找一找具有这样特征的方程?那么…     

利用根的代换解题

一、利用根的代换求作一元二次方程例1 已知方程x~2—3x—2=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的各根的2倍. 解设已知方程的根为x,所要求作的方程的根为y. ∵y=2x,∴x=1/2y.     

一元二次方程根与系数的关系(一)

一、知识要点1．一元二次方程报与系数的关系—韦达定理及其逆定理：若x1、x2是方程的两个根则特殊地，若X1、x2是方程的两个很，则这是韦达定理．反之，若和X2。是方投的两个很．特殊地，若，则X1和x2是方程的两个根．这是韦达定理的逆定理．初中代数课本把这两个定理统称为一元二次方程很与系数的关系．2．韦达定理及其逆定理的应用：韦达定理及其过定理可用来解决下列问题：（又）c知方提，不解方程，求关于它的两个极的某些代放式的值．如求上，1、。；。一。、。；‘＋。。‘、x；、。。＋，；x。‘、（1＋。－l）（1＋x。）等的值，…     

构造方程 巧妙求解(初二、初三)

一元二次方程中有不少求值的问题,这类问题中量与量之间的关系不是十分明显,如果能利用一元二次方程根与系数关系构造方程,就能比较清楚揭示内在关系易于获解． 1．由根的关系求方程例1 已知方程x2 ax b=0的两根分别为x1,x2,且x13 x23=19,x1 x2=-1,求此方程． 解     

一元二次方程中字母系数的求法

纵观近几年各省、市的中考题．求一元二次方程中的字母系数的题目时有出现．本文将其解法归纳总结如下．一、利用方程的定义来解例I（，，x。－nx—2灯“＿。xx＋3—0是关于。的一元二次方程，则IIL的取值范围是（）（A）1／n一一1；（B），11学2；（Ch，I一一1旦I。I＞2；（D＞～切实数．．（1994年贵阳市中考试题）解由一元二次方程的定义知，Ill。一Ill－2一0．即（，。L一2）（，。L＋1）羊0．，，。一2且。一一I．故应选出X二、利用根的判别式来解例2当，。l的取值为时，关于。的一元二次方程h，，＋fo’＋ZIII。＋I。。一3—…     

一元二次方程测试题

一、境空题1．将方程3X’二SX＊2化为一元二次方程的一般形式为．．（吉林省）2．x（x＋l）＝2的根为．（辽宁省）3．解方程／iiq3二X的结果是（武汉市）4．用换元法解方程（x＋Xi）2－3（x十上）＋2＝0，令t＝x＋1，则关于L的方程是x（重庆市）5．方程一一一l的根是．（甘肃省）一’””一八十2一“”“‘“““””””””，6．已知关于x的方程x’＋（Zm＋l）x＋（m－2）’＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．（乌鲁木齐市）7．方程x’＋（Zm＋Ox＋（m－）＝0的根的情况是．（安徽省）8．若m、n是关于x的方程x’＋（p－2）x…     

一元二次方程根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系是中学代数的重要内容之一,也是一个难点。每年全国各省市中考数学试题中,都有与一元二次方程的根与系数的关系有关的试题。因此,本文介绍一元二次方程根与系数的关系的简单应用。 一、已知一根求另一根及待定系数的值 例1 已知方程2x~2+kx-10=0的一个根是-2,求它的另一个根及k的值。 (2000年江西省南昌市中考题)     

怎样求“二次”问题中的参数

根据题没求“二次”问题中的参数，由于此类问题综合了较多的知识点，常使某些同学束手无策或误解．解此类问题常根据报的判别式、根与系数的关系、二次函数图象和其它条件求解．举例分析此类问题的解题思路，仅供同学们参考．例1若关于X的一元二次方程X’－3x＋kWI—0的两根的平方和小于5，求是的取值范围．（1995，成都试题）阑”．”方程有两个实根，．’．西一（－3）’一4（k＋l）＞0．（1）设JI、山是方程的两实根，由题设，得X卜Xks．即（x1＋x2）‘－2x；x2＜巳3’－2（k＋1）＜5．（2）解不等式（）和（2）并求两不等式解集的…     

中考方程综合题归类点评

一、一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等综合问题。例1 已知关于x的一元二次方程x^2＋（2m-3）x＋m^2=0的两上不相等的实数根α、β满足1／α＋1／β=1，求m的值。