“算两次”的思想方法例说

波利亚说：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来。”即将一个量“算两次”。从而建立相等关系,这就是“算两次”的思想方法,下面例说“算两次”的思想方法的应用。     

“算两次”的“偶然”一试

最近仔细阅读了单搏先生编著的《算两次》，书中谈到，算两次是一种重要的数学方法，也称为富比尼（G．Fubini）原理．减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果，都属于“算两次”，为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，这也属于“算两次”，不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法．该书中举了大量精巧的例子来说明算两次确实是一种应用广泛的数学方法．最后，单先生指出：“算两次，即从两个方面来考察．……某些时候用‘转换观点’，‘换一个角度看问题’等说法比‘算两次’稍微确切一些。”     

“算两次”原理：一个重要的数学方法——兼谈我的认识过程

“算两次”原理是一个重要的数学原理，不仅在代数中应用广泛。几何中常用的等积法也是“算两次”的典范。在经历了“不以为然”“有些厌烦”“产生好感”“非常喜爱”这样一个漫长而耐人寻味的过程后，不由地感叹“算两次”原理的功能之强大。     

“算两次”的思想方法及其在高考解题中的应用

1问题提出 波利亚说：“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来．”即将一个量“算两次”,从而建立相等关系,这就是算两次原理,又称富比尼（G．Fubini）原理．文[1]～文[3]结合竞赛数学问题从思想方法的角度介绍了算两次原理;文[4]～文[6]分别介绍了算两次的对象选择、算两次解应用题以及算两次的应用情况．     

"算两次"方法在中学数学中的应用举例

从两个方面去考虑同一个量,然后综合起来得到一个关系式．这种方法称为算两次或Fubini原理．在列方程解应用题时,正是运用这一原理来列出方程的．下面举例说明“算两次”方法在中学数学中的应用．     

高考数学中的数学思维方法

“多考点想的，少考点算的”，“全卷充满思辨性”，“证中有算，算中有证”，“加大对代数推理论证的考查”等命题指导思想足以说明高考对数学思维考查的重视程度．数学的思维方法是指数学思维过程中运用的基本方法，主要包括：观察与实验的方法，比较与分类的方法，分     

例说解析几何试题中的“算两次”思想

<正>“算两次”又称富比尼(G. Fubini)原理，是指将同一个数学对象从两个不同角度进行考察，运用两种不同的方式计算两次，借助殊途同归建立等量关系，达到出奇制胜的效果．“算两次”的思想方法在高考中有着非常广泛的应用，本文以2022年全国高考中的几道解析几何题为例，展示其无穷的魅力．     

用Fubini原理巧求圆锥曲线中的定值(高二、高三)

在组合数学中,往往需要选择一个适当的量,从两个方面去考虑它,然后综合起来得到一个关系式,这种方法称为算两次或Fubini原理.本文就利用“算两次”的方     

逻辑思维能力训练的好方法

逻辑思维能力训练的好方法我们知道，数学中的逻辑思维能力，是指根据正确的思维规律和形式，对数学对象的属性进行比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力。训练学生逻辑思维能力的方式方法很多，而“三算结合”教学不失为一种好方法。例如，在“三算结合”教学...     

"大衍求一术"与"一次不定方程"

在代数中对“一次不定方程”的研究是建立在现代数论基础上的，而中国古代数学家发明的“大衍求一术”已用独特与完整的方法解决了“同余式”的求解问题；在介绍了中国古算中关于“同余”问题求解的成就的同时，对秦九韶的“大衍求一术”做了基本阐述，特别对“大衍求一术”的基本思想与现代数论之间的关系进行了探究，重点给出了大衍求一术“的现代证明；并用证明的结果对《孙子算经》中的“物不知数”与《数书九章》中“粜米推原”两个“同余”问题做了解答。     

一题多“用”

在数学竞赛解题思想方法知识宝库中，经典的思想方法有对偶原理、分类原则、两次算、函数构造法、极端原理、抽屉原理等等．在介绍这些思想方法时，需分门别类地举例说明．每一种思想方法都有自己特意设计的例子．由于解题思想方法的差异大，很难有一题多用的例子，即很难找到一道典型竞赛题适用于多种解题思想方法的介绍．如果能有这样的例子，那么多种解题思想方法在同一个例子上的切入突破点的差异比较，将显得十分有趣，对思路开拓的启发也更具意义．“一题多用”是“一题多解”在更高层次上的跨思路的探讨．本文将用一个例子统领对偶原理、分类原则、两次算、函数构造法以及极端原理的运用．     

一以贯之“算两次”思想——以《几何图形中的一次方程》为例

列方程解应用题主要有两种方法,一种是把两件相同的事情表示出来,另一种是把同一件事情用两种不同的方式表达出来,即“算两次”思想。结合《新思路数学》七年级读本,本文讲解利用“算两次”构造方程来解决几何图形问题的方法。     

“算减想加”是计算20以内退位减法的最好方法吗？

“在计算退位减法的方法中，‘算减想加’是一种很好的计算方法。因为它既能凸显减法的意义，很快算出退位减法的差，又能促进学生更好地掌握进位加法。”有教学参考资料如是说，新课改前的小学数学教科书也是采取“算减想加”的方法教学生计算20以内退位减法的。可是，实际上学生对这种方法的接受情况又是怎样的？“20以内退位减法”是一年级下册（苏教版）第一单元的内容，当学生学完“100以内的不进位加法和不退位减法”后，笔者在两所中心完小的一年级学生中做了一个调查，参加调查的82个学生中能用“算减想加”计算出16-9=7的只有25人，而用“破十法”即10-9=1，1＋6=7计算的有57人，占调查总人数的69．51％。     

“算两次”在数学竞赛中的应用

<正>“算两次”是一种基本的数学方法,其思想就是把同一个量从两个不同角度计算“两次”,进而建立等量关系.单墫教授将“算两次”法的解题形式比喻成“三步舞曲”,即从两个方面考虑一个适当量,“一方面…,另一方面…,综合起来可得…”.“算两次”法蕴含了化归转化和方程思想的运用,在数学问题的诸多方面都有广泛的应用.下面举例说明它在初中数学竞赛中的应用.     

我教“1204-48-352”这道例题

五年制小学数学第五册第39页例3“1204-48-352”一题,讲的是一种速算方法。学习本例不仅是用两种方法解答同类应用题及简算“2234-405”这类题的基础,而且通过练习,还可培养学生思维的灵活性,达到计算“正确、迅速、合理、灵活”的教学目的。我曾先后两次教过这道例题,第一次教学之后,发现学生虽然当时掌握较好,但在以后的学习应用中,存在两个问题:一是不能自觉使用这种方法,仍按“从左往右顺序依次运算”;二是方法使用不当,在添上或去掉括号时。不知改变运算符号。究其原因,是算理理解不深,造成方法掌握不牢的缘故。因此当我再次教学本例之前,我设计了这样一个教学环节,着重解决对算理的理解。     

明确算理 优化算法

一次，我带队到农村小学实习，从中了解到许多青年教师在“两位数乘两位数”教学中，为了突出列竖式运算方法这一重点，对其算理则一笔带过，有的教师干脆不讲。本文运用新课改理念，通过算法多样化引导学生进行自我优化。将列竖式运算的方法及其算理有机结合，既突出让学生掌握列竖式运算方法这一重点，又比较自然地讲清该方法的算理,达到让学生在明白算理、比较分析中进行算法优化。     

允许学生用不同的方法解题

在传统教学中，教师问学生答，是常用的教学形式。教师往往在提出一个问题之后，让学生依照教师所设计的方向来回答，答对了，就算知识掌握了。其实，长此以往，这很容易养成学生一种定向服从、保守自闭的人格特征。所以，我们在教学中要尽量减少这种整齐划一的要求，对同一个问题要注意引导学生“别出心裁”，鼓励学生大胆发表独立的见解，从而促进学生的思维向纵深发展。例如在学习“２０以内的退位减法”时，可先出“１４－７＝？”的题，然后让学生在已有的基础上独立寻求不同的计算方法，如有的用破十法，先算１０－７＝３，再算４＋３…     

也谈“用简便方法计算”

前不久,我校四年级一次数学测验中有这样一道题：“王爷爷清晨沿着体育场400米的跑道慢跑,约以每分125米的速度跑了16分,他大约跑了几圈？”对题目中进行计算的两个数据,只要仔细观察一下就可以发现有简算的特征,但是令人意外的是有些班级竞有20多个学生仍然用列竖式计算的方法算出得数。     

解三角形与平面几何图形结合的解题策略

解三角形与平面几何图形结合是高考的一个考点,也是难点,对于图形所给的条件,考生往往不知从何分析而失分.本文主要探究解三角形与平面几何图形相结合的常见类型及解决方法,具体来说是对正弦定理或余弦定理的运用次数,可以分为“算一次”和“算两次”,从而找到解三角形的一个有效的方法,便于分析计算,化繁为简.     

《二氧化碳→CO2》更简单的方法

拜读了贵刊2003年第11期中的《二氧化碳→CO2》一文，很受启发，但对文中提供的三种方法都感觉不尽人意，尤其是文中讲述的“两次替换法”。该法虽然想到了可以利用替换命令的“格式”功能，但却仍是非常原始的半自动化。以下笔者对“两次替换法”稍加改进，即可实现“二氧化碳→CO2”的全自动化。