一个取值范围问题的三种解法

题目已知△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a,b,c成等比数列,△ABC的周长为6,求b的取值范围．     

对一个猜想的探索

设△ DEF 为锐角△ ABC 的垂足三角形,并设 BC = a,CA = b,AB = c; A EF = a0,FD = b0, DE = c0 . F分别设△ ABC 、△ DEF 、 E△ AEF 、△ BDF、△CDE B的外接圆半径、内切圆半径、     

匹窦定理的推广

设△ABC和△A′B′C′的边长分别是：a、b、c和a′、b′、c′，它们的面积记为△和△′，那么将有不等式     

因式分析解与三角形

一、判断三角形的形状例1已知a、b、c分别是△ABC的三条边,且a~2+ac=b~2+bc,试判断△ABC的形状．解析：由a~2+ac=b~2+bc．得a~2- b~2+ac-bc=0．将此式的左边分解因式,得(a-b)(a+b+c)=0．因为a、b、c是△ABC的三条边．所以a+b+b＞0．故a-b=0．从而a=b,于是△ABC是等腰三角形．     

Weisenbck不等式的三维推广

有一个著名的几何不等式： 　　 a2＋b2＋c2≥43△．① 　　当且仅当a＝b＝c时等号成立． 　　 其中a、b、c及△分别是△ABC的三边长及面积． 　　 式①即Weisenb     

每期一题

题已知a、b、c是△ABC三边,求证: 8/27≥(b+c)(c+a)(a+b)/(a+b+c)~3 >1/4①这是一个著名的几何问题的等价命题。如图所设,a、b、c为△ABC顶点A、B、C的对边,I为内心,延长AI、BI、CI分别交对边于A′、B′、C′。在△ABA′与△ACA′中利用角平分线     

旁心三角形的一个面积公式

定理设△ABC 三边为 a,b,c,a+b+c=2p,外接圆半径为 R.则由三个旁心构成的三角形的面积 S_0=2pR.证明:记△ABC 面积为 S,内切、旁切圆半径分别     

一道中考压轴题的探究与拓展

题目 如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k（k〉1）,且△ABC的三边长分别为a、b、c（a〉b〉c）,△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．     

例析字母研究的策略与方法

2007年春考有这样一道题(20题):通常用a、b、c分别表示△ABC三个内角A、B、C所对边长,R表示△ABC的外接圆半径,给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问a、b、R满足怎样关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的△ABC不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)?在△ABC存在情况下,用a、b、R表示C.     

两个几何不等式猜想的证明

文[1]中,胡如松先生提出了若干猜想,由于多数猜想不难证明或否定,现仅对其中两个猜想予以证明. 设△DEF 为△ ABC 内接三角形(如图).并设△ ABC的三内角为 A、B、C;三边 BC = a、CA = b、AB = c ;EF = a0、FD =b0、DE = c0 .分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△     

欧拉不等式的任意隔离

本文约定△ABC的几何元素如下:以a、b、c表示△ABC的三边;s、r、R、△分别表示△ABC的半周长、内切圆半径、外接圆半径、面积;三条中     

∑1/a2的下界估计

文[1]给出∑1/a2的上界估计,即设a、b、c为△ABC的三边长,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径,则有     

关于三角形中线长的一个不等式的加强及其对偶不等式

文[1]建立了如下关于三角形中线长的一个有趣的不等式:若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,R、r为△ABC外接圆和内切圆半径,则有22222ma mb mc rbc+ca+ab≥+R.研究发现并获得如下加强形式及其对偶不等式.1加强定理1若ma,mb,mc分别是△ABC的三条中线长,则有22294ma mb mcbc+ca+ab≥.(1)为证定理1,先引入以下引理:引理1设a,b,c>0,则有(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)≤abc.(2)(1983年瑞士数学竞赛试题)引理2设a,b,c为三角形的三边长,则有(3a?b?c)(3b?c?a)(3c?a?b)≤(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)(3)与a3+b3+c3+9abc≤2(a2b+b2c+c2a)+2(ab2+bc2+ca2).(4)简…     

一组与三角形有关的向量性质及其几何意义

文（1）给出了如下命题1． 命题1 已知a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,G是△ABC的重心,a·GA＋b·GB＋c·GC=0,则△ABC为正三角形．     

探究三角形形状的九种方法

一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的…     

三角形面积二十式

在求三角形面积时,由于条件不同,求法各异,怎样根据已知条件简捷地去求三角形面积?做为练习,本文进行了初步讨论,得出了以下各式。下文中各式,a、b、c分别表示△ABC三边长,h_a、h_b、h_e分别表示边长为a、b、c的三边上的高,m_a、m_b、m_e分别表示过顶点A、B、C的△ABC的三条中线,r_a、r_b、r_e分别表示与边a、b、c     

一道竞赛题的推广

在2000年全国奥林匹克数学竞赛预赛试题中有这样一道题：设a,b,c分别是△ABC的三边的长且a/b=a+b/a+b+c,则它的内角∠A、∠B的关系是（ ）     

问渠哪得清如许，为有源头活水来——从一道课本题的研究及演变说起

题源:已知△ABC,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,判断△ABC 的形状.(出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》第四册 P.83,练习14)1 证法研究1.1 证明边相等     

三角形重心向量性质的再推广

文[1]提出并证明了三角重心的一个向量性质. 命题,已知a、b、c、分别为△ABC中解A、B、C的对边,G为△ABC重心,且a·GA+b·GB+c·GC=0,则△ABC为正三角形.     

三角形中的余切公式及应用

一、三角形中的余切公式 在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,S为△ABC的面积,则: