有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

一道证明题的再思考

初中几何涉及五个心,即垂心、重心、外心、内心、旁心.各心都有自己的特点和灵活用法.但其中体现各心联系的知识莫过于欧拉线了,欧拉线由大数学家欧拉所创,其具体表述是:“任一三角形中,外心、垂心、重心共线,且垂心到重心的距离二倍于外心到垂心的距离.”其实.同学们如果用心的话.也可从平时所做的习题中轻易地得出结论.     

关于三角形的两个性质的探究及应用

三角形的“五心”（内心、外心、垂心、重心、中心）是三角形知识的重要内容之一,关于它们的定义（形成）和性质已有很多结论及应用,但我在教学中发现的两个新性质：“三角形垂心到角的顶点的距离等于外心到该角对边距离的二倍”和“三角形的外心,重心,垂心三点共线”,将起到对该部分知识填补空白的作用.     

三角形巧合点间的一些性质及应用

三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点 ,三角形的巧合点各自具有不同的有趣性质 ,这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子 .性质 1　三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍 .性质 2　三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交 ,这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线 .性质 3　三角形的内心和任一顶点的连线 ,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角 .性质 4　三角形的外心、垂心、重心三点共线 (欧拉线 ) ,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的…     

三角形“五心”间的距离公式

三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心简称为“五心”。关于“五心”的性质在中学平面几何中作了较多的研究,这里主要研究它们之间的距离问题。本文利用几何的复数形式证明了斯蒂瓦特推广定理,从而给出了可以用三角形边长来表示“五心’间距离的统一公式,为此先证明下面的定理。     

三角形的“心距”计算公式

1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则     

关于费马点与"心"的距离公式

文[1]给出了计算费马点与重心的距离公式,本文给出计算费马点与“心”(重心、内心、外心、垂心、旁心、界心)距离的统一公式.为此,我们先约定:用 a、b、c、p、s 分别表示△ABC 的边长、半周长和面积;F、E、G、O、J、H、I_1、I_2、I_3分别表示△ABC 的费马点、界心、重心、外心、内心、垂心及∠A、∠B、∠C内的旁心;x、y、z 分别表示 FA、FB、FC.于是,我们有:定理1 设 D、E 分别为△ABC 的边AC、AB(所在直线)上的点,BD 与 CE 交于点Q,若(AD)/(DC)=λ,(AE)/(EB)=μ,点 P 为△ABC 所在平     

浅谈立体几何中的“四心”

初中学习三角形时,我们学习过“四心”定义和简单应用,所谓“四心”即垂心、重心、内心、外心,仔细研究立体几何中的“四心”,就会发现隐藏的结论．先来看人教版数学第二册(下B)第23页例4．题目求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等．那么这点在平面内的射影在这     

三角形的“五心”

三角形的“五心”,即重心、垂心、外心、内心和旁心,它们的性质是： （1）三角形的重心（三条中线的交点）到各顶点的距离是它到对边中点距离的两倍． （2）三角形的垂心与三角形的两个顶点所构成的新三角形的垂心（三条高所在的直线的交点）是原三角形的另一顶点．     

谈一个几何定理及其应用

我们知道:三角形的内心,外心,重心,垂心等都有其独特的性质,这里,我们将介绍一个三角形外心与垂心相互联系的等式。即定理:三角形任一顶点至垂心的距离,等于外心至对边距离的二倍。已知H是△ABC的垂心,O是外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F, 求证:AH=2OD,BH=2OE,CH=2OF。证明:分两种情况讨论     

三角形的“点”、“心”转换

三角形的“点”(顶点)、“心”(五心:重心、外心、内心、垂心、旁心),随着图形的变化可以互相转换。了解、研究这方面的知识,对于我们加深对五心概念的理解是大有益处的。本文对它们之间的变换分六种情况作介绍。     

透边三角形的“心”展望高考走势

近几年的高考中，与三角形四“心”——重心、垂心、内心、外心相关的问题频频出现，笔想通过几个典型的改编题，谈谈此类问题的解题方法．     

平面向量定“四心”

向量具有“数”和“形的双重身份,是数学中的一种重要工具．现对利用平面向量判定三角形的“四心”即内心、外心、重心、垂心问题说明如下．[第一段]     

向量应用的拓展教学

文章就向量应用的拓展教学进行讨论.包括:可利用向量法证明一系列平面几何的距离问题、垂直问题;用向量法证明三角形特殊点(重心、垂心、内心、外心)的存在性;向量法在代数问题的应用;给出向量在一些著名数学问题与定理上的应用.     

平面几何综合选讲

第一讲三角形的“五心”外心、内心、重心、垂心、旁心统称为三角形的五心.在各类竞赛中涉及五心的题目比比皆是.这里先复习五心的常用性质,再举例说明性质的应用. 1.外心     

透过三角形的“心”展望高考走势

在近几年的高考中,与三角形四“心”——重心、垂心、内心、外心相关的问题频频出现,笔者主要通过几个典型的例题来阐述此类问题的解题策略,并改编几道此类题,以飨读者．     

三角形“四心”的向量形式及应用

对于三角形“四心”(重心、垂心、外心、内心)的有关向量问题是同学们学习中的一个难点,同时也是高考的一个热点．本文就此介绍三角形“四心”的向量形式的证明及应用,供大家参考．结论1(重心) G是△ABC的重心的充要条件是(?)=0．结论2(垂心) H为△ABC的垂心的充要条件是(?)．     

一道与外心有关的向量题的解法与变式

平面向量是高考考查的重要知识,其中与三三形的重心、垂心、内心、外心综合考查的题目屡见不鲜.本文从多多度探究一道与外心有关的向量题,以期和同行们交流.     

四心与旁心的距离推出正三角形的条件

三角形有四心,内心、外心、重心、垂心．实验发现,四心中任一心与三旁心等距,原三角形是正三角形．现从等腰三角形着手研究此实验的正确性,文中涉及到的三角形记为AABC,内心为,,外心O,垂心日,重心M,两旁心B’和C’,第三旁心为A’．     

本刊2013年第11期(上)中的一个向量问题

正《中学数学研究》2013年第11期(上)P21"一道向量高考题的几种变式"[1]一文,作者从一道向量表示三角形内心的题目,探讨出与此有关的三角形内心、外心、垂心、重心与向量的关系,这是学习数学与研究数学的一篇范例,很值得一读.但本人觉得该文所谈三角形外心应是三角形的旁心,特提出与读者商讨.原文中的变式2:已知O是平面上一定点,A、B、C是平面