简洁而丰富 简约而深刻——对2019年安徽中考第23题的赏析

1原题呈现(安徽23题)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3.     

由一道中考压轴题引发的趣想

1原题再现2019年安徽省中考数学第23题为:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2 PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h 1,h 2,h 3.求证:h 21=h 2·h 3.该题是全卷压轴题,与近几年安徽数学中考压轴题相比,难度不算大,计算量也比较小.该题条件简洁,蕴含的基本模型却很丰富,结论也很多.解法灵活多样,趣味无穷,思维含量颇高.     

利用垂心证题

我们知道,三角形三条高交于一点,这点称为三角形的垂心.如图1所示,如果AD、BE是△ABC的两条高,那么它们的交点H就是△ABC的垂心,从而CH必定垂直于AB.利用这个结论证题,有时会给我们带来不少方便.     

解题之末,勿忘检验(初二)

题△ABC的两条高的长度分别是4和12,若第三条高及三边的长均为正整数,且三条边均不相等,求△ABC周长的最小值,解设高为4的边长为a,高为12的边长为b,第三条边长为c边上高为h(a,b.c,h为正整数),     

挖掘习题的潜功能

已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小（a＋b＋c）2____4（ab＋bc＋ca）.这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得（a＋b＋c）2=9,4（ab＋bc＋ca）=12,所以（a＋b＋c）2〈4（ab＋bc＋ca）.将这道题稍微变形,就是设a,b,c为△ABC的三边,求证：     

精算推——一道向量求值考题的研究

原题:(2005年全国高考理15题)△八BC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H(三角形的垂心)，丽一m(及十茄 南，则实数执一_. H灿。C(H)图l由题干猜测m的取值应与三解形的形状无关，可以取一特殊三角形一直角△八刀C，来求解.解析一当△八刀C为以‘为直角的直角三角形时，则     

三角形检测题

一、坟空题1.三角形最多有个钝角. 2.三角形的一条边长为9，另一条边长为4，第三条边长c是一个整数，那么c可能是_.玉如果△峨BC望么魂‘了C，AB=24，S△，，，，。，=180，则△ABC中AB边上的高是4.在△ABC中，乙A:乙B:乙C二2:3:4，则乙A二5.如果直角二角形一个角的补角为140“，则它的另一个锐角为6.在一个长方形的相框的背面钉上图l所示的一根木条使其更加牢固，这是利用了，.在△ABC中，乙C二900.乙丑曦C的平分线AD交BC于D，BC=16 em，BD:DC=5:3，则点D到AB的距离为8.如图2，AB、C刀相交于点o，oA=oB，若再添加一个条件…     

2000年语文总复习质量检测题

一、(共30分,1～9题,每题2分,10～13题,每题3分) 1.加“△”字的注音都正确的一项是()。 A.刹那间ch 骇人听闻hi △ △ B.挪近n 风靡人时m △ △ C.造诣zh 出类拔萃cu △ △ D.菜畦w 沽名钓誉g △ △ 2.没有错别字的一项是()。 A.遮天蔽日 甜言密语 B.宣宾夺主 珠连璧合 C.哗众取宠 费尽心机 D.张冠李戴 一巧不通 3.下列词语填写最恰当的一项是()。 ①居庸关建在山沟之中,两旁高山__,它是万里长城的重要关口。 ②历时90年,高达71米的乐山大佛终于__在江边了。     

这样的点到底在哪儿

在讲解练习时,遇到这样一个题：如图1,直线l是等边AABC的一条对称轴,在直线l上是否存在点P,使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形？如果存在,请在图中找出来．     

由一道题引发的思考

在高二"不等式的证明"这节内容中有这样一道题:已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小:(a b c)24(ab bc ca).这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得(a     

一道竞赛题的两种解法

题目口ABCI〕中,BC边的中点为E,AE交对角线召D于点G,如果△BEG的面积是1,则口ABCD的面积是·(1991年全国初中数学联赛题) 解法1连结AC,设AC交BD于点0. ’.‘O、E分别是AC、BC的中点,:.G点是三条中线的交点(即重心).一一。1。叫川。△~一万。△~-1。瓦。口A~’所以,S二ABcD一125△BEG一12.解法2’:BC// AD,‘:△BEG的△DAG.z一4 一一z一2 一一又丫BE:AD一1:2,。,.S△刀那一1,BG BEGD AD…S△DAG一4.又丫可知 S△ABG‘’S△朋口S△~一21︼z 一一S△朋D一S△~十S△AGD一2十4一6.:.5二~一25△~一12.一道竞赛题…     

重视课本，发掘习题的潜功能

《中学数学教学目标与检测》达标训练二填空题第一题是这样的：已知口,b,C是△ABC的三条边,比较大小（a＋b＋c）^2__4（ab＋bc＋ca）。这道题的解答可以用特殊值法。取a=b=c=1,     

一道课本习题的研究性学习

原题:已知,如图1,点C在线段AB上,△ACM和△CBN是等边三角形,求证:AN=BM.(人教版初中《几何》第二册第113页13题) 分析:证明△ACN≌△MCB即可.     

10月份赠卷《单元自测题》B卷参考答案

1.180,0.2.20.3.30π.4.32.5.4π.6.32.7.C.8.D.9.D.10.C.11.(1)易证△AEO≌△CFO,得到EO=FO,又有AO=CO,所以四边形AECF是平行四边形;(2)垂直;(3)相等.12.MN=10cm.过点M作C D的垂线NF,可证△AB E≌NF M.13.(1)A;(2)90°;(3)25cm2;(4)略.14.(1)t=7.5;(2)能,t=2.5.15.(1)过平行四边形对角线的交点任作一条直线,这样的直线有无数条;(2)一定存在.如果两个中心对称图形的对称中心重合,过这一点可以作无数直线.如果两个中心对称图形的对称中心不重合,过两个中心对称图形的两个对称中心可以作一条直线;(3)一定能,任意画一条直线,把…     

一道中考题所引出的几点思考

黑龙江省2002年中考数学试题第26题:已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论:hl h2 h3=h.”请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内(如图2)、点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1,h2、h3与h之间又有怎样的关系,请写出你的猜想,不需证明.A     

一道“希望杯”竞赛题的探索

原题:如图1,一个面积为51cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则△ABC的面积是___cm2.(第十届希望杯赛题)探索:设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则a2=50.法1特殊值法.由题意知S△ABC与b的大小无关(b相似文献   

一道富有启发性习题的探究

对于一道习题不能就题论题,而应引导学生对这道题作进一步的探索和研究,这样不仅可以使学生学会处理一道题就能解决一串问题的本领,而且有助于激发学生的学习兴趣,培养学生的创新意识和创新能力.题目　已知:如图1,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.求证:AN=BM.(初中《几何》第二册第113页第13题)提示:运用边角公理证明△ACN≌△MCB.本文就以此题为例,进行以下几个方面的变化和探讨.图1图21　结论不变,变换图形变换1把△ACM沿AC翻折180°,如图2.变换2　把图2中的△ACM绕点C顺时针旋转180°,如图3.图3图4变换3　把图3…     

一道习题的探究、推广与应用

题目:如图1,任意四边形ABCD被两条对角线分成四个三角形:△OAD、△OBC、△OAB、△OCD,它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,则S1·S2=S3·S4.证明:设△OAD边AO上的高为h1,△OAB边OA上的高为h2,则     

如果小球放低点…(高一、高二、高三)

题如图1,小球质量为m,沿光滑的斜轨道由静止滑下.圆形轨道半径为R.要使小球沿光滑圆轨道恰能通过最高点.问小球应从斜轨道上何处开始滑下?解设小球从斜轨道上距最低点h高处滑下,取最低点为零势点,则所以h=-5/2R.这是一道很常见的题.如果小球放得再低点,情况     

对2002年天津市中考数学一试题的分析

20 0 2年天津市中考试卷第一题的第 1 0小题为 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ,若S△AOB =4 ,S△COD =9,则四边形ABCD的面积S四边形ABCD 的最小值为A 2 1　B 2 5　C 2 6　D 36图 1我们给出如下解法 ,对试题给出分析与评价 .解　如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE=h2 ,BD=a ,OD=x ,则OB=a -x .由已知条件可得12 (a-x)h1=S△AOB =4 ,12 xh2 =S△COD =9.从而 ,h1=8a-x,h2 =1 8x. ( 1 )又S四边形ABCD =S△AOB S△COD S△BOC S△AOD =S△BOC S△AOD 1 3.于是 ,求四边形…