操作型探究试题评析

例1 图1-1是一个三角形。 操作:1.分别连结△A_1B_1C_1三边的中点,得到图1-2。 2.分别连结△A_2B_2C_2三边的中点,得到图1-3,请在横线上画出图形。 探究:1、观察图1-2,图1-3,指出两图中各有多少个三角形?     

数学竞赛训练题

…l|l||||||二.东 1.有9个连续的质数,它们的积是偶数,则其中后5个数的平均数是 2.一只无盖立方体粉笔盒,将它沿棱剪开成平面展开图,共有多少种不同的展开图(请画出每种展开图)? 3.如图1,点G、点F是四边形A五〔汇)对角线AC的三等分点,点F又是线段BE的二等分点.如果甲、乙两个三角形的面积和是25.7厘来,则四边形户以汇D的面积是厘米. 4.图2是一个彩色显示盘,每行的左边有一个按键“O”,每按一次,这行的3个方格中的数全部变成其相反的数.每列的上方有一个按键“O”,每按一次,这列的3个方格中的数也全部变成其相反的数.请问能不能通过若干…     

八年级数学第12、13章检测题

一、选择题: 1.如图1,△ABCD,∠B和∠C的平分线交于O点,BD=DO,延长DO交AC于E.若AB=8,AC=6,则△ADE的周长是( ). A.7 B.10 C.14 D.20 2.如图2,△ABC是等边三角形,AD=BE=CF,如果每三个三角形作为一组,图中共有全等三角形( ). A.2组B.3组C.4组D.5组3.某市1995年-2001年国内生产总值年增长率变化情况如图3所示,从图上看,下列结论中正确的个数为     

谈谈数学中的计数问题

计数的问题十分常见,解这种问题所用的知识并不多,但对于逻辑思维能力和运算能力的培养是很有好处的. 例 1 如图1,△ABC 的三条中线AD、BE、CF相交于点O,则图中的三角形共有几个? 解:三条中线把△ABC分割成6个单元三角形,由12,34,56,两个单元三角形合成的三角形共有3个.由123,234,345,456,561,612,三个单元三角形合成的三角形共有6个.由四个、五个单元三角形合成的三角形没     

中考数学5·一道几何题的八证

例1如图1,已知△ABC,(1)请你在BC边上分别取两点D、E(B、C的中点除外)连结AD、AE,写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形.     

三角形全等中常见的辅助线

解答有关三角形的问题时,常常需要添加适当的辅助线.本文介绍三角形中5种常见辅助线的添加方法.一、延长中线构造全等三角形例1如图1,已知△ABC中,AD是△ABC的中线,AB=8,AC=6,求AD的取值范围.提示:延长AD至A',使A'D=AD,连结BA'.根据“SAS”易证△A'BD≌△AC D,得AC=A'B.这样将A     

10月份《俄罗斯萨温竞赛题选(五)》参考答案

1.显然△AA1 D与△CC1 B的面积和是四边形ABCD面积的一半 ,类似地还有△BB1 A与△DD1 C的面积和也等于ABCD面积的一半 .这就说明了以上这四个三角形的面积和等于整个ABCD的面积 .你可以注意到这时周围那四个小三角形被重复计算了两次 ,而中央的四边形面积则没有被计算进去 ,说明这四个小三角形的面积总和与中央四边形的面积是相等的 .2 .不难看出 :图 1中六个直角三角形有一个公共顶点 .从该点作三条线平行于原三角形的三条边 ,就将原三角形剖分成 1 2个更小的三角形 .容易看出有阴影的和没有阴影的正好成双成对 ,而且容易证明出…     

图形推理——图形的计数

图3图形的计数是指计算图形的个数。计算时必须从简单的图形再到复杂的图形进行推理,找出规律,采用简便的方法来计算图形的个数。例1图1中有多少个三角形?分析与解:根据图形进行分析,其中大三角形有1个;由4个小三角形组成的三角形有2个;由3个小三角形组成的三角形有3个;由2个小三角形组成的三角形有4个;还有5个小三角形,因此图1中有三角形1+2+3+4+5=15(个)。根据上面的分析,我们得到了一个计算规律,即只要在三角形底边,从左至右依次写上0、1、2、3、4、5,如图2,就可以简便计算图中共有小三角形的个数是0+1+2+3+4+5=15(个)。例2计算图3中有多…     

构造中位三角形解面积问题

连结三角形各边中点所得到的三角形,称为原三角形的中位三角形,容易知道,中位三角形的面积等于原三角形面积的四分之一,利用这个结论,可以有效地解答不少面积问题。例1 已知:点M、N、P分别是△ABC的中线AD、BE、CF     

三角形的面积等分问题的探索

1　过三角形的顶点作直线等分三角形的面积由于“等 (同 )底等高 (同 )”三角形的面积相等 ,所以过三角形的顶点和对边中点所作的直线等分三角形的面积 .如图 1所示 ,直线AF、BE、CD都分别平分△ABC的面积 .2　过三角形一边上任意一点作直线等分三角形的面积如图 1,假设过直线AC上的任意一点作直线等分△ABC的面积 ,如果所经过的点在线段AE上 ,那么所作的直线一定与线段BF相交 ;同理 ,如果经过的点在线段EC上 ,那么所作的直线一定与线段BD相交 .下面以过线段AE上的任意一点G为例作出其等分△ABC的面积的直线GH .作法　 ( 1)连结…     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

中点三角形

依次连结三角形各边中点所得的三角形叫做原三角形的中点三角形,如图1中,△ABC的边AB、BC、CA的中点分别是F、D、E,则△DEF就是△ABC的中点三角形。中点三角形有以下几个重要的性质。 1.中点三角形与原三角形相似,     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有     

巧用面积守恒法求内切圆半径

<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.     

关于三角形的内接三角形周长估值的一个猜想

关于三角形的内接三角形面积估值问题,我们已有以下结论: 将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥main≥{△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积}。(参见O.Bottema等著,单墫译《几何不等式》)。     

用面积比巧解一道几何题

面积法是解决几何问题的一种独特方法 ,并不多见 .然而正是因为其独特 ,对某些几何题往往会起到奇特的作用 .有一块均匀植草的三角形草地 ,如图 1所示把它分成东、南、西、北四块 ,经过一段时间发现 ,在西边的草地可放牧 5只羊 ,在东边的草地可放牧 8只羊 ,在南边的草地可放牧10只羊 .问北边的草地可放牧多少只羊 ?图 1　　　　　　　　图 2解　设放牧一只羊的面积为一个面积单位 ,那么东、南、西草地的面积分别为 8、10、5,如图 2所示连结AO ,设S△AOD =x ,S△AOE=y ,因为△ABD ,△AOD同底AD不同高 ,所以它们的面积之比等于它们的…     

巧用面积关系证题

一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析　由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形…     

数学奥林匹克问题

本期问题初,.有四张大小完全一样的三角形纸片,将它们重合在一起,用针垂直地把纸扎透,依次在纸片上把针孔记作O,,O:.03,O‘,然后把四张纸片0;多户09拼成一个大三角形(如图),这样可以得到一个四边形0:。:030‘.假设三角形纸片的面积为5,请你在纸片上选定一个位置扎孔,使四边形O:仇。。O;的面积 4_一若-S 3一 (万金寿长吞市二道河子教师进修学校,130031) 初10.求不定方程月+式+…十划。一1992的所有非负整数解,并求出解组的个数. (蒋茂森吉林大学数学系,130023) 高,.设尸为△ABC所在平面上的任意一点,其面积为△.a’,夕,日,△‘为△月‘刀…     

与三角形重心有关的一个面积性质及其应用

在学习三角形重心性质时,我们不能忽视它的一个有用的性质,即在△ABC中,G为重心,（如图）,则S△ABC=3S△BCC. 证明 连结AG并延长交BC于D,作GM⊥BC,AN⊥BC,则 即:S△ABC=3S△ABC.     

对一道高考填空题的探究

2006年高考福建卷第16题为： 如图1，连结△A0B0C0的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△A0B0C0，△A1B1C1，△A1B2C2，…．这一系列三角形趋向于一个点M．已知A0（0，0），B0（3，0），C0（2，2），则点M的坐标是．[第一段]