矩阵初等变换的一个应用

在整数环Z及多项式环P[x]里,利用矩阵的初等变换求出整数a1,a2,…,an的最大公因数及最大公因数 由整数a1,a2,…,an表示的表达式以及多项式f1(x),f2(x),…,fn(x)表示的表达式.     

有关一个整系数多项式环定理的矩阵证明

本文旨在 :(1)用有理数域多项式矩阵证明以下定理 :设Z代表整数环 ,Z[　 ]代表整数系数多项式环 (我们简称整系数多项式环 ) ,定理 :设f1;f2 ;…fn 是Z[x]中一组 (n个 )元素 ,d是它们的最大公因式 ,则Z[x]中一定有一组相应的元素q1;q2 ;…qn,使得 :d =f1·q1 f2 ·q2 … fn·qn.(2 )用矩阵来计算若干个整系数多项式的最大公因式 .     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

关于整系数多项式的一个结果

用简洁的方法，证明了如下结果：若整系数多项式f(x)=x^n a1x^n-1 a2x^n-2 …＋an-1x an的所有根的绝对值都不大于1，an≠0，则f(x)的根都是单位根。     

矩阵在多项式乘积中的应用

设f(x) ,g(x)∈F[x],且 °(f(x) ) =n , °(g(x) ) =m ,其中f(x) =a0 xn+a1xn -1+…+an (1)g(x) =b0 xm+b1xm -1+…+bm (2 )用矩阵表示f(x) =(a0 ,a1,…,an) (xn,xn-1,…,1) T (3)为了叙述方便,给出如下定义.定义1　在(3)式中,称1×(n +1)矩阵A =(a0 ,a1,…,an)为多项式f(x)的系数矩阵;称(n +1)×1矩阵X =(xn,xn -1,…,1) T 为f(x)基底矩阵。其中f(x)的系数矩阵A与基底矩阵X都是f(x)按降幂排列而构成的,且A的行数和X的列数都等于 °(f(x) ) +1。显然(f(x) =AX .定义2　已知多项式(1) ,(2 ) ,则(n +1)×(n +m +1)矩阵B(f,g) =b0 b1…bmb…     

π是无理数的一个简证

设π是有理数,即它为二正整数a与b的商a/b:作多项式: f(x)=(x~n(a-bx)~n)/n!, F(x)=f(x)-f~((2))(x)+f~((4))(x)-…+(-1)~nf~((2n))(x),这里正整数n将由后面来确定。因为n!f(x)是x的整系数多项式,且各项x的次数都不小于n,故对x=0时,f(x)及其各阶导数f~((i))(x)的值均为整数,又因f(x)=f(a/b-x),故对x=π=a/b时,它们的值也都是整数。于是由初等微积分的知识,我们有     

整值多项式的判定定理

设 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n是n次实系数多项式,如果当x取非负整数值时,f(x)都是整数,则称f(x)是整值多项式。一个多项式什么时候是整值多项式呢?本文介绍一种简单的判定方法。先介绍一个引理。引理。设f(x)为n次多项式,则f(x)能唯一地表示成下面的形状:     

自身及各阶导数的根同时为整数的三次多项式的作法

本文将作出一类三次多项式{p(x)},使得其中每个p(x)及p′(x)、p″(x)的根同时为整数.容易知道,如果p(x)是所求者,那末对任意整数m,三次多项式f(x)=p(x m)及其导数f′(x)、f″(x)的根也均为整数,反之亦然.因此,我们不妨假设所考虑的三次多项式f(x)的三个根为0,a,b,且0≤a≤b.此时,f(x)可写为     

整最值问题

(本讲适合高中 )本文讨论一些自变量为整数时 ,函数f(n) (n∈Z)的最值问题 .由于整数的离散性 ,使得一些熟知的关于函数最值的结论有所改变 .例如 ,对函数f(n) =an2 +bn +c (a >0 ,n∈Z) ,当 - b2a不是整数时 ,fmin=min{f(n0 ) ,f(n0 +1 ) } .这里n0 =- b2a ([x]表示不超过x的最大整数 ) .下面例 1的解法与此法类似 .例 1　某厂计划安排 2 1 4名工人生产A元件 60 0 0个及B元件 2 0 0 0个 .已知每名工人生产 5个A元件的时间可以生产 3个B元件 .现将工人分成两组 ,分别生产这两种元件 ,且同时开始 .问应怎样分组才能使任务完成最快 ?解 :设…     

利用数论知识解数学竞赛题

(本讲适合高中)1知识介绍1.1函数f(x)=[x]的概念与性质设x、y∈R.记f(x)=[x]表示不小于实数x的最小整数,[x]表示不超过实数x的最大整数.(1)[x]-1相似文献   

一道IMO备选题的新证法

文 [1 ]第 1 1 7页是由波兰提供的第 35届IMO备选题 :对 x≠ 0 ,f( x) =x2 12 x ,定义 f(0 ) ( x) =x,和对所有正整数 n和 x≠ 0 ,f(n) ( x) =f( f(n- 1 ) ( x) ) ,求证 :对所有非负整数 n和 x≠ - 1 ,0 ,1 ,有f(n) ( x)f(n 1 ) ( x) =1 1f x 1x- 12 n .原文用数学归纳法直接给以证明 ,本文从数列角度给出新的简单证明 .证明　记 a0 =f(0 ) ( x) ,an=f(n) ( x) ,则a0 =x,an=f ( an- 1 ) =a2n- 1 12 an- 1,从而 an- 1 =( an- 1 - 1 ) 22 an- 1,an 1 =( an- 1 1 ) 22 an- 1,相除得　 an- 1an 1 =an- 1 - 1an- 1 12 ,重复以上办…     

I.Schur定理和R.Brauer定理

1一道北欧数学竞赛试题 1992年北欧数学竞赛中有一道题是关于不可约多项式的. 例1设n为大于1的正整数,a1,a2,…,an为n个相异的整数.证明：多项式 f（x）=（x-a1）（x-a2）…（x-an）-1不能被任一次数为正且小于n的最高次项系数为1的整系数多项式整除.     

关于整值多项式的一个定理

88年14届全饿数学竞贵有一题:若当x=一1,O,1,2时,P(x)三ax“十脉2十‘x d取整数值,则对所有整数x,p(x)都取整数值. 当条件变为:“一1,0,1时,P(x)取整值”不成立,当变为“一1,O,1,5时”也不成立(如p(:)=李二,一李二).但我们有 55,,一--一, 定攫设f(x)=a。x” … a。为n次多项式,若存在整数k。.使f(k。),f(k。 i),…,厂(k。 ,)为整数,则厂(x)为整值多式项. 需要两个引理: 引理工当。=i,z,…,n时,e二十:一zpc乏 : 3,c尝,:一 (一1)叹n i),e:洁1=0. 引理2设了(x)=a。x“ … a。,则对任意整数k,f(k)一C盆十:f(k i) C飞 :f以 2)一 (一1)” ‘e:…     

第34届IMO试题

第一天(4个半小时,共三题,每题7分)1.设 f(x)=x~n+5x~n+3,其中 n 是一个大于1的整数.求证:f(x)不能表示为两个多项式的乘积,其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次.2.设 D 是锐角△ABC 内部的一个     

关于共轭多项式的一个性质

在复数域C上,设f(x)=C_nx~n C_(n-1)x~(n-1) … C_1x C_0C_i∈C,(i=0,1,2,…,n)是一个复系数多项式,则称 其中是C_i的共轭复数 为f(x)的共轭多项式。 在复数域C上,复系数多项式f(x)与其共轭多项式的最大公因式(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 事实上,设d(x)=(f(x),(?)(x)),则d(x)|f(x),d(x)|(?)(x),所以(?)(x)|(?)(x),(?)(x)|(?)(x),即(?)(x)|f(x),因此,(?)(x)|(f(x),(?)(x))即(?)(x)|d(x),d(x)|(?)(x),所以d(x)=(?)(x),这说明d(x)的系数为实数,因此,(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 关于共轭多项式,有一些很有趣的性质,本文仅讨论其中的一个。 定理:若复数α=a bi(a,b∈R)是复系数多项式f(x)的一个根,则α的共轭复数     

整数根定理的再改进

关于整系数多项式的整数根,有如下定理: 1.给定整系数多项式 f(x)=a_nx~2+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0 (a_0≠0)如果r是f(x)的整数根、则r必是a_0的因子。由这个定理虽然可确定f(x)的可能的整数根的范围,但在某种情况下,范围是比较大的。所以有必要把这个“可能零点”的个数尽量减少。《中学数学教学》1983年第2期发表的“整数根定理的改进”一文,对定理1作了改进。使可能的整数根的范围大大缩小。该译文的定理如下:     

整值多项式判定定理及其应用

定义:若实系数n次多项式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n 当x取任何整数时,多项式f(x)的值皆为整数。则称F(x)是整值多项式。关于整值多项式的知识在有关书籍上已有论述。但所给判定方法及其证明既非初等且表述冗长,运算复杂。有的还需要巧妙的变形与详尽的讨论.这里介绍一个判定定理,把整值     

思考题(九)解答

题51.证明因为用x一a、x一b、x一e、x一d分别除f(x)的余数都是2,可见f(x)一2能被x一a、x一b、x一e、x一d整除.于是可得 f(x)一2=(x一a)(x一b)(x一e) ·(x一d)Q(x),(1)其中Q(x)是一个整数系数的n一生次多项式。 取任一整数x。代入(1)式,设f(x。)=k,那么 k一2=(x。一a)(x。一b)(x。一e) ·(x。一d)Q(x。).(2) 如果x。是a、b、e、d,以及使Q(x)=0的一个数,那么(2)式变为k一2二0.即 f(x。)=2,它不等于3、5、7、9中任何的一个数. 如果x。不是a、b、c、d中任何的一个数,且Q(x。)午。,现在证明f(x。)的值k不等于3、5、7、9中任何的一个数. 用反证…     

构造法在数学解题中的应用

针对数学问题的题型特点,构造与之相关的辅助数式、图形,甚至理想模型等以求另辟捷径的解题方法通常称之为构造法.下面举几个例子说明“构造法”在数学解题中的运用:例1求证:(1 2005)2004-(1-2005)20042005是整数.分析若以x代换2005,分子成为一个多项式,可构造辅助函数来研究它的特点.证明设f(x)=(1 x)2004-(1-x)2004.∵f(-x)=(1-x)2004-(1 x)2004=-f(x),∴f(x)是奇函数.因此f(x)只含x的奇次项,于是f(xx)为只含x的偶次项(包括常数项)的整系数多项式.以x=2005代入可题式为整数.例2x、y是取任意实数的2个变量,试求函数f(x,y)=x2 y2-2x-2y 2 x2…     

思考题(九)

题31.已知一个 n 次多项式f(x)=a_0x~n+a_2x~(n-1)+a_2x~(n-2)+…+a_n,其中 a_0,a_1,…,a_n 都是整数,且 a_0≠0.又已知用 x-a、x-b、x-c、x-d(这里a、b、c、d 是各不相等的整数)分别除f(x)的余数都是2,求证对于任何整数 x,f(x)的值不能等于3、5、7、9中的任何一个数。(杨绶)题32.求方程 y~3-y=x~3+3x~2+2x 的全部自然数解。题33.在平面上有五点 A、B、P、Q、R,A、B 为定点,P、Q、R 为动点。其中