过定点与两相交直线或平面成等角直线数的求证

问题1:已知异面直线a、b所成角为60°,过空间一点P作直线与直线a、b都成45°的直线共有_____条。问题2:已知直线l与平面α所成的角为70°,过空间一点P与直线l和平面α都成45°角的直线共有____条。问题3:已知平面α与平面β所成的角为80°,点P为α、β外一定点,过点P的直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有_____条。     

高中课本《立体几何》中一个问题的质疑

在高级中学课本《立体几何》全一册第24、25页中,有直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.关于这个定理教材上是这样论证的:(下图A)已知:a⊥α,b⊥α.求证:a∥b,证明 假定b与a不平行.设b∩a=O.b′是经过O与直线(?)平行的直线,∵a∥b′,a⊥α,∴b′⊥a.经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面a是不可能的,因此,b∥a.     

《直线、平面、简单几何体》单元检测题

一、选择题 (四选一 )1.下列命题中正确命题的个数是 (　　 )①如果一条直线与两条直线都相交 ,那么这三条直线确定一个平面 ;②经过一个点的两条直线确定一个平面 ;③点A在平面α内 ,也在直线a上 ,则a在α内 ;④平面α与平面β相交于不在同一直线上的三点 ;⑤经过一个点的三条直线确定一个平面 .(A) 2　　 (B) 4　　 (C) 3　　 (D) 12 .设a、b、c为空间三条直线 ,下列命题中正确的个数是 (　　 )①如果a ∥b ,b∥c则a∥c ;②如果a、b为异面直线 ,b、c异面直线 ,则a、c也为异面直线 ;③如果a、b相交 ,且b、c相交 ,则a、c也相交 ;④如果a、…     

cos_θ=cosθ_1·cosθ_2的一个妙用

在立体几何中 ,有一个常见的模型 :图 1　　　　　　　　图 2如图 1,已知直线a、b、l与平面α满足a α ,b α ,a∩b =P ,P∈l ,l与a、b成相等的角θ ,在l上任取异于点P的Q点 ,过Q作QK⊥α于K ,那么K点到直线a、b的距离相等 ,即K点落在∠APB(或其补角 )的平分线所在的直线上 ,记∠QPK =θ1 ,∠KPB =θ2 ,不难得到cosθ =cosθ1 ·cosθ2 .运用上述结论 ,可解决过空间一点P且与两直线 (包括二异面直线 )成等角的直线的条数问题 .2 0 0 4年高考数学 (湖北卷 )第 11题 :已知平面α与 β所成的二面角为 80° ,P为α、β外一定点 ,过点P…     

cosθ=cosθ1·cosθ2的一个妙用

在立体几何中,有一个常见的模型 如图1,已知直线a、b、l与平面α满足a(α, b(α, a∩b=P, P∈l, l与a、b成相等的角θ,在l上任取异于点P的Q点,过Q作QK⊥α于K,那么K点到直线a、b的距离相等,即K点落在∠APB(或其补角)的平分线所在的直线上,记∠QPK=θ1, ∠KPB=θ2,不难得到cosθ=cosθ1·cosθ2.     

求异面直线间距离的一种方法——化为求点到直线的距离

将空间问题转化为平面问题,是研究立体几何的常用方法.求两条异面直线间的距离,就可用这个思想方法.如图(1)a,b为异面直线,过a上任一点O作平面α⊥a,β⊥a。并与α交于b＇,则α∥β,故a,b间的距离即为α与β间的距离。在平面α内作OB⊥b＇于B,则OB即为直线a,b间的距离。所以要求异面直线a,b间的距离,只要将a,b正投影到与a垂直的平面α内,     

解决立体几何问题的几个常见错误

一、直觉想象错误 靠直觉思维与直观想象解决立几问题是常用的解题策略.但在一些立几问题中,只靠直觉想象难免出现解题错误. 例1 已知直线a、b异面,平面α过a且平行于b,平面β过b且平行于a.求证:α//β. 分析:有的同学在证明的过程中,靠直观     

高二数学(下)期末测试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,每小题给出的4个选项中只有1个是符合题目要求的)1.一个平面内有3个不在同一条直线上的三点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面()(A)平行(B)相交(C)平行或相交(D)无法确定2.已知a、b是异面直线,直线c平行于直线a,那么直线c与b()(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线3.过直线a外两点作与直线a平行的平面,这样的平面()(A)不可能作出(B)只能作一个(C)可以作无数多个(D)以上三种情况都有可能4.已知异面直线a与b所成的角是60°,点P为空间一定点,则过…     

立体几何中构造反例的几点思考

众所周知,立体几何教学中会遇到很多似是而非的命题,常需要构造反例否定这样的命题．构造反倒的过程,能够培养学生严密的逻辑思维能力,丰富的空间想象能力,从而培养学生的创造能力,所以立体几何教学中应注意构造反倒．1运用常见的几何体构造命题1：“a,b是两条异面直线,过不在a,b上任意一点,都可作一条直线与a,b都相交．”判断此命题的真假答是假命题．构造如图1正方体ABCC－A1B1C1D1,直线AB与CC;是两条异面直线,P是CD上任意点（PAB,P蓬CC1）．过P作直线l与AB相交,则l平面ABCD．又l与CC1相交,此时l必过C点,…     

一道常见题的解答与拓展

在学习两条异面直线所成角时,常见以下试题,同学们解答时不知如何下手?现分析如下。题目:直线a与b是夹角为60°的两条异面直线,过空间一点P作与a、b都成60°角的直线有几条?解:过空间任意一点P作a、b的平行线a′、b′,a′、b′确定的平面为,所求即为过点P与a′、b′都成60°的直线,如图:①当所求直线与a′、b′共面时,     

用反证法证明直线和平面垂直的判定定理

引理 1　过一点有且只有一条直线和一个平面垂直 .引理 2　过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .以上见课本《立体几何》(必修 )第 2 4页 .引理 3　若直线 l与平面 α内的两条相交直线都垂直 ,则 l与 α相交 .证　不妨设α内的两条相交直线 a,b都与 l垂直 .假设 l与 α不相交 ,则 l α或 l∥ α.显然l α是不可能的 .于是 l∥ α.在α内任取一点 A,由公理 3推论 1 ,设过 l和点 A的平面为 β,由公理 2 ,设 β∩α=c.由 l∥ α知 c∥ l.∵l⊥ a且 l⊥b,∴ c⊥a且 c⊥b,又 a,b,c同在α内 ,∴ a∥ b或 a,b重合 ,这与 a,b相交矛盾 .∴l与 α…     

线段旋转所扫过的图形面积

<正>线段AB和点O在同一平面内,将线段AB绕点O旋转,在旋转过程中,线段AB所扫过的图形面积该如何计算?笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究.一、旋转中心O在线段AB上如图1,设AO=a,BO=b(a≥b),旋转角度为α.     

直线 平面 简单几何体

平面的基本性质基础篇诊断练习一、填空题1.不共面的空间四点可以确定个平面 .2 .三条平行线可以确定个平面 .3.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交 ,则交点必在上 .4 .过空间一点的三条直线可以确定个平面 .二、选择题1.点 P∈平面α,点 R∈直线 PQ ,则下列关系成立的是 (　　 )( A) R α.　　　 ( B) R∈α.( C) P Q∈α. ( D) PQ与α相交 .2 .“点 P在直线 a上 ,直线 a在平面α内”可记为(　　 )( A) P a,a α.　 ( B) P∈ a,a α.( C)α a,a α.　 ( D) P∈ a,a∈α.3.四条线段首尾顺次相连 ,最多可以确定的平面的…     

求异面直线所成角的另一方法——辅助平面法

根据异面直线所成角的定义 ,求两条异面直线所成的角一般需通过平移直线 ,将空间角转化为平面内的角来求解 .这一转化过程通常是解题的难点所在 .倘若解题时能借助适当的辅助平面 ,往往可以避繁就简 ,顺利求出 .(如图 1)引理　已知 a,b是异面直线 ,a α,b β,且α⊥β,α∩β =l,又设 a,b与 l所成的角分别为θ1、θ2 ,a,b所成的角为θ,则 cosθ =cosθ1cosθ2 .它的证明很简单 ,现留给大家 .对任意的异面直线来说 ,这样的辅助平面α、β是否一定存在呢 ?(如图 2 )设 a,b为异面直线 ,在直线 a上任取一点 O,则点 O及直线 b可确定一个平面 ,…     

高中立体几何能力训练

一、选择题:(有且只有一个正确答案) 1.给出下列四个命题 ①若平面an平面夕一l,则“点尸在l上”是“点p是a、召的公共点”的充要条件. ②“a、b是异面直线”指的是:a仁平面a,b二平面口,且an召~件 ③分别与两条异面直线a、b都相交的两条直线必然是异面的. ④一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补. 其中正确命题的个数为 (A)0(B)1(C)2(D)3 2.给出四个命题 ①若点P是异面直线a、b外的一点,则过P必可作一个平面与a、b都平行. ②两个二面角的两个面分别垂直,则这两个二面角的大小必然相等或互补. ③若直线l贫平面a且l与…     

对立体几何教材的一点看法

部编高中数学课本第五章“空间图形”与传统的立体几何内容相比,渗透了部分集合的概念。教材中用A、B、C、等大写字母表示点;a、b、c等小写字母表示直线;α、β,γ等小写希腊字母表示平面。把点A在直线a上理解为点A属于点集a,记作A∈a,类似地,点A在平面α内记作A∈α,把直线a在平面α内理解为集合a包含于集合α,记作a     

数学题选(立体几何)

一、选择题1.一条直线和这条直线外的三个点,能够确定的平面的个数是( ).(A)一个(B)三个(C)四个(D)一个或三个或四个2.在图(1)中直线a与直线b平行的位置关系,只能是( ).3.a、b为平面M外的两直线,在a∥平面M的前提下,a∥b是b∥平面M的( ).(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分且必要条件(D)既非充分也非必要条件4.直线AB与直二面角α-a-β的两个面分别相交于A、B两点,且A、B都不在棱a上,设直线AB与平面α和平面β所成的角分别为θ和(?),则θ (?)的取值范围是( ).(A)0°<θ (?)<90°(B)0°<θ十(?)<180°(C)θ (?)>90°(D)θ (?)= 90°     

以静制动解立体几何题

[例1]线段AB所在直线与定平面a相交，P为直线AB外的一点，且尸不在口内，若直线AP、BP与平面a分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．     

高二数学第二学期期末测试题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知异面直线a和b所成的角是60°,P是空间一定点,过点P与a、b都成60°的直线有且仅有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2.以下关于异面直线的命题正确的是()(A)和两条异面直线都垂直的直线只有一条(B)和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线(C)两条异面直线的公垂线有无数多条(D)两条异面直线的距离是确定的3.已知a、b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a垂直于平面α,b垂直于平面β,则下面命题中的假命题是()(A)若a平…     

这个"定理"不成立

贵刊 2 0 0 2年第 3期上“一个角与它的射影角的大小关系探索”一文有以下错误。1　文中“显然若∠BAC所在平面与α平行或垂直 ,则∠BOC =∠BAC或∠BOC =1 80°” ,是一句错误的断言。因为 :①若∠BAC所在平面与α平行 ,点B、C均在α外 ,∠BOC不是∠BAC在α上的射影角 ,如取△ABC图 1为正三角形时 ,∠BOC≠∠BAC ,如图 1。因而用在量上是错误的等式“∠BOC =∠BAC”表述 ,“此时∠BAC与它在α上的射影角相等”。这一客观事实是错误的。②若∠BAC所在平面与α垂直 ,点A在α上的射影O一定在直线BC上 ,当B、C两点在O的两…