巧用均值凑数法证明一类不等式

高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1　已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 :　　　a+1+b+1≤ 6.证明　由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即　　a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条…     

学习“分式”应明确的几个问题

一、正确理解分式的概念分式概念的引入将式的范围由整式拓展为有理式 ,它们的关系是 :有理式 整式分式 。对分式概念的理解不能只看是不是 AB的形式 ,关键是看它分母中是否含有字母。因为分式就是分母中含有字母的有理式。例 1.下列各有理式中 ,哪些是整式 ,哪些是分式 ?1a,2 1b,a2 - b22 ,1π( a b) ,1b( a c) ,1a 1。分式 :分母中含有字母的有理式有 1a,2 1b,1b( a c) ,1a 1。它们是分式 ,其余都是整式。注意 :1π( a b)虽然是 AB的形式 ,但因分母π是常数 ,所以 1π( a b)是整式。二、正确理解分式值为零和分式无意义有个别同学初学…     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

第二轮复习代数专题测验

一、选择题: 1.若a,b为正数,且a b≤4,则下列各式中正确的一个是( ). A.1/a 1/b＜1 B.1/a 1/b≥1 C.1/a 1/b＜2 D.1/a 1/b≥2     

在探究中学习

案例1.提出问题:展开(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3).生:(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3)=a1a2a3 a1a2b3 a1b2a3 b1a2a3 a1b2b3 b1a2b3 b1b2a3 b1b2b3.师:上述展开式有几项?项是如何构成的?有规律吗?生:从每个括号中取出一项相乘而得,按分步计数原理,共8项,每一项都含3个括号中的一个元素.师:如果令a1=a2=a3=a,b1=b2=b3=b,那么(a b)3展开式又是什么?生:可以合并同类项,得(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3.师:观察每一项中a,b的指数的变化情况,为什么会有这样的变化情况?生:每项都是3次,因每项是从3个括号中各取一个元素相乘而得的缘故.师:为什么a2b的系数会是3?除了从…     

对几类特殊函数的理解及应用

1 最值函数 定义1 最大数、最小数 设a、b ∈R,记min{a,b}为a、b中较小的数,max{a,b}为a、b中较大的数,如min{1,-2}=-2,max{1,-2}=1.若a=b,则min{a,b}=max{a,b}=a.     

应该纠正的两道习题

现行高中教材代数下册(必修)本在数列一章的复习参考题六中,第128页6题:已知 a~2、b~2、c~2成等差数列.求证:1/(b c)、1/(c a)、1/(a b)也是等差数列.当|a|=|b|=|c|且 a、b、c 不完全同号或都等于0时,数列 a~2、b~2、c~2为等差数列,首项为a~2,公差为0,满足题目条件.而这时,b c、c a、a b 中至少有两个都等于0,从而1/(b c)、1/(c a)、1/(a b)中至少有两个没有意义,当然不能     

这种同类二次根式试题的解不唯一

近年来,部分地市的数学中考命题中出现了如下试题:若(4b)~(1/a b)与(3a b)~(1/2)是同类二次根式,则 a,b 的值是( )。A.a=0,b=2B.a=1,b=1C.a=0,b=2或 a=1,b=1D.a=2,b=0此题所给的答案是 A 据此,其解法为:因(4b)~(1/a b)=2(b)~(1/a b),由a b=2,b=3a b,解得 a=0,b=2.选 A.解法的依据显然是同类二次根式的定义:几个二次根式化成最简二次根     

导数与不等式

通过构造函数,利用导数研究函数的性质(单调性、最值等)与图像,可以用来证明不等式或求解含参不等式中参数的取值范围等问题．一、证明不等式例,已知a,b∈R,求证：(|a b|/1 |a b|)≤(|a|/1 |a|) (|b|/1 |b|)·证明：令f(x)=(x/1 x),x≥0,则f′(x)=(1/(1 x)~2)＞0．故f(x)在[0, ∞)上是单调递增函数．∵|a b|≤|a| |b|,∴f(|a b|)≤(|a| |b|)．即(|a b|/1 |a b|)≤(|a| |b|/1 |a| |b|)=(|a|/1 |a| |b|) (|b|/1 |a| |b|)．     

不等式单元测试题

(时间:100分钟,满分:100分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填入下面的表格内.题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)得分答案(1)若a、b是任意实数,且a>b,则().(A)a2>b2(B)ba<1(C)lg(a-b)>0(D)(21)a<(21)b(2)若a1a(C)｜a｜>｜b｜(D)a2>b2(3)若ab1和｜1a｜>｜1b｜均不能成立(B)不等式a-1b>1a和｜1a｜>｜1b｜均不能成立(C)不等式a-1b>1a和(a+b1)2>(b+1a)2均…     

学习乘法公式的方法

现以“平方差公式 ( a b) ( a- b) =a2 - b2 ”为例 ,谈谈学习乘法公式的方法。一、了解公式的结构特征在平方差公式中 ,左边是两个二项式的积 ,在这两个二项式中有一项 ( a)完全相同 ,另一顶( b)和 ( - b)互为相反数 ;右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方。二、掌握公式的几何意义如图 1中 ,1、2、3三部分的面积和为 a2 - b2 ,若把它搬动成如图 2 ,则它所示矩形的面积为( a b) ( a- b) ,因此 ( a b) ( a-b) =a2 - b2。　　三、弄清公式的变化形式公式 ( a b) ( a- b) =a2 - b2 有八种变化形式 :1位置变化 ( b a) ( - b a) =;2符号…     

向量在空间中角中的应用

空间中各种角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点,借助于向量的夹角公式可以很方便的避开寻找角的过程,而是通过对向量夹角的计算来实现.夹角公式:设→a=(a1,a2,a3),→b=(b1,b2,b3),则a·bcos<→a,→b>→a·→b/|→a||→b|=a1b1 a2b2 a3b3/√a21 a22 a23 √b21 b22 b23.     

2007年第4期问题

91.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE=CF,且M、N分别是BC、EF的中点.求证:AD∥MN.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)92.设a、b为正整数,求证:(a b)(a2 b2)(a3 b3)·…·(a323 b323)≥(a162 b162)323.(湖北黄梅县一中435500王卫华提供)93.若a、b、c∈R ,且a b c=1,则有bac-!"1cba-!"1·cab-!"1≤8.(陕西省永寿中学713400安振平提供)94.已知正实数a、b、c满足a b c=abc.求证:aa bb bb cc cac a>25.(湖南武冈市第十中学422400邓集春提供)95.设｛an｝是各项都大于1的正项等差数列,n为大于1的自然数,求证:1-a11!"1-a12!"·…·1-a1…     

一个不等关系的图证

设a1、b1、a2、b2皆正数,则有不等关系a1a2+b1b2≤a12+b12a22+b22,(1)或其等价式　(a1a2+b1b2)2≤(a12+b12)(a22+b22)(2)当且仅当a1∶b1=a2∶b2时两式等号成立.以上是一个应用很广的著名不等式,证法较多,本文给出一种图证方法.笔者自以为该法甚为有趣,在初中数学教学中,在阐述数形结合的数学思想时,作为例子讲解,必能起到一点启迪思维、激发兴趣之效果.如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,BC=a1,AC=b1.延长BC到D,使CD=a2,延长CA到G,使AG=b2.过A、G两点作BD的平行线AE、GF,过D作DF∥CG,DF与AE、GF分别交于点E、F.由作图过程知…     

一个不等式猜想引发的思考

一、猜想能作更有意义的修正吗?在文[1]中,李韵老师提出了如下猜想:设a,b,c∈R,且a+b+c=1,n∈N~+,则(a(n+1)+b)/(b+c)+(b(n+1)+c)/(c+a)+(c(n+1)+b)/(a+b)≥(1+3~n)/(2·3~(n-1)).无独有偶,文[2]、[3]、[4]都用极限法和特殊值法指出该猜想是错误的.     

从一道竞赛题谈起

1999年 1 2月第十四届江苏省初中数学竞赛中有一道试题 ,该题内容新颖 ,构思巧妙 ,解法多样 ,思路宽广 ,富有启发性 ,很受参赛者和辅导老师的欢迎 .该题是 :已知 :a,b,c,d是四个不同的有理数 ,且 (a c)(a d) =1 ,(b c) (b d) =1 ,那么 (a c) (b c)的值是 .本文先介绍该题的五种不同解法 ,再从解法中得到新的启示 ,剖析该题的进一步的性质 .解法 1　因 (a c) (a d) =1 ,1(b c) (b d) =1 . 2由 1 - 2可得(a2 - b2 ) (a- b) (c d) =0 ,又因 a≠b,可得 a b c d=0 ,即 a c=- (b d) .0于是(a c) (b c) =- (b d) (b c) =- 1 .解法 2　因是填空题 ,…     

不等式1／a＋1／b＋1／c≥9的妙用

这是一道常见的题目:已知a、b、c∈R~ ,且a b c=1,求证:1/a 1/b 1/b≥9(*).灵活利用不等式(*)及其证法,我们可以巧妙地解答与之相关的数学命题.证明1:因为a、b、c∈R~ ,a b c=1.所以1/a 1/b 1/c=(a b c)/a (a b c)/b (a b c)/c=3 (b/a a/b)     

竞赛题中常用到的ab+a+b式子

数学竞赛时,常出现式子ab a b这个式子,这个式子,通常是一个表面现象,真正的应用形式是ab a b 1,或者ab-a-b 1或ab-a b-1或ab a-b-1而且大都有条件a、b为整数这个条件.利用ab a b 1=(a 1)(b 1)可以很容易求得a、b.另两种形式也容易求得.基本型不变的情况例1已知正数a、b、c满足     

应用a b≥2(ab)~(1/2)中的常见错误

不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0.     

一道课本习题的探究

全日制普通高级中学教科书《数学》第一册(上)第136页的第7题是:已知a2,b2,c2成等差数列(公差不为0),求证:b+1c,c+1a,a+1b也成等差数列.此题的证明并不难,我们感兴趣的是该问题的逆命题成立吗?笔者发现:命题若b+1c,c+1a,a+1b成等差数列,则a2,b2,c2也成等差数列.证明由b+1c,c+1a,a+1b成等差数列可得b+1c+a+1b=c+2a,因此(a+b)(a+c)+(b+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),即a2+c2=2b2.所以a2,b2,c2成等差数列.于是,我们有:定理1设a,b,c∈(0,+∞),则a2,b2,c2成等差数列的充要条件是b+1c,c+1a,1a+b成等差数列.波利亚在《怎样解题》一书中这样写道:当你发现了一…