联想一道赛题 培养创新意识

题一个球与正四面体的各条棱都相切,且球的表面积为8π,则正四面体的棱长为___．(第17届(06年)“希望杯”高二2试)解如图1,补正四面体ABCD成正方体,则正四面体的棱均为正方体的面对角线．     

一道课本习题的引伸与应用

由立几课本108页习题十三的第1题(新教材第二册下(A)59页第8题)可知。正方体截去四个三棱锥后．得到一个正四面体．若设正方体的棱长为a．正四面体的棱长为a′，正方体及正四面体的外接球半径分别为R、R′．正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为r、r′，易知有如下结论：     

补形法在解立体几何题中的应用

一、将正四面体补成正方体例1一个四面体的所有棱长都为2√,4个顶点在同一球面上,则球的表面积为A.3πB.4πC.33√πD.6π解析将正四面体补成正方体,如图1所示.正四面体外接球的直径即为正方体外接球的直径.由于四面体的所有棱长都为2√,所以正方体的边长为1,正方体外接球的直径为3√,球的表面积为3π,故选A.例2在正四面体S-ABC中,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所形成的角等于A.90°B.60°C.45°D.30°解析由题意知三棱锥S-ABC为正四面体,将正四面体补成正方体,如图2所示.易知EF∥SG,从而∠GSA即为EF与SA所…     

巧构正方体 速解高考题

一、将正四面体补成正方体例1(2006年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()(A)4273π(B)62π(C)68π(D)264π解析:根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体,且棱长为1.以此正四面体来构造正方体,使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线,如图2.则正方体的棱长为22,正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为26.又正方体的外接球也为正四面体的外接球,所以外接球的半径为46.所以,V球=43πr3=43π(46)3…     

从正方体透视正四面体与球体的切接问题

如图 1,我们看到正四面体内接于一个正方体 ,此时 ,正四面体的 6条棱恰为正方体的 6条面对角线 ,正方体的中心也是正四面体的中心 .我们可以将一个正方体切割成一个正四面也可以将一个正四面体补形成一个正方体 ,利用这个事实 ,可以通过正方体研究正四面体与球体的切接问题 ,从而化难为易 .在多面体与球体的切接问题中 ,正方体和正四面体与球体的切接类型是最丰富、最全面的 .主要有 ( 1)正方体或正四面体的外接球 ;( 2 )正方体或正四面体的内切球 ;( 3)正方体或正四面体的棱切球 .解决此类问题的基本思路是 :作出过它们“接”“切”点的轴…     

正四面体外接球和内切球的半径的求法

题 已知正四面体ABCD的棱长为a,求其外接球的半径尺和内切球的半径r．     

补型法在解立体几何题中的应用

所谓补型法是将一几何体补成另一几何体后,在新形成的几何体中研究原几何体中的有关元素的位置关系及其计算的方法,也称嵌入法.它是一个重要的数学解题方法,在高考中有广泛的应用.笔者根据多年的教学实践总结出如下几种常见类型.1将正四面体补成正方体例1一个四面体的所有棱长都为2,4个顶点在同一球面上,则球的表面积().A3π;B4π;C33π;D6π图1解将正四面体补成正方体,如图1.正四面体外接球的直径即为正方体外接球的直径.由于四面体的所有棱长都为2,所以正方体的边长为1,正方体外接球的直径为3,球的表面积为3π,故选A.例2正四面体SABC…     

高考数学试题中的正四面体

正四面体是最为简约而又优美的多面体,它有4个顶点、4个面、6条相等的棱,它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中,多次出现正四面体的有关计算问题,主要有三种类型：(1)正四面体的计算；(2)正四面体与正方体的计算；(3)正四面体与球的计算。由于可以把正四面体补成正方体,而正方体与球的关系又甚为密切,因此在正方体中研究正四面体的有关性质,确实掌握正四面体与其外接正方体,正四面体与其外接球、内切球之间的关系是快速而正确解答正四面体有关问题的基础。     

特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法

【例1】求棱长为a的正四面体外接球的半径．分析：如图1,以正四面体A1-BC1D的棱长为侧面对角线构造相应的正方体A1B1C1D3-ABCD,此时所求正四面体A1-BC1D外接球半径就是正方体A1B1C1D1-ABCD外接球半径．     

巧妙进行空间转化解决与棱相切的球半径问题

在对立体几何中的"切、接球"问题进行复习时,笔者发现学生对球与棱相切问题感到有些吃力,下面就两个典型的球与棱相切问题进行分析,与读者探讨.例1将一个钢球置于6根长度为6^1/2米的钢管焊接成的正四面体钢架内,那么这个钢     

利用正方体解决正四面体问题

如图1，正方体6个表面的6条对角线构成正四面体S-ABC的6条棱，因而对每一个棱长为m的正四面体，均可将其放置于棱长为a（a=2的平方根/2m）的正方体内，且使正四面体的4个顶点分别为这个正方体的4个顶点，     

正四面体的几何性质

正四面体即六条棱长都相等的正三棱锥,除了具有正三棱锥的所有性质外．还具有以下很重要的性质,正确理解、熟练掌握以下性质,对我们解决有关正四面体的问题将会带来极大方便．设正四面体A-BCD的棱长为a,则:     

正四面体和它的外接圆半径(高二)

题目一个四面体的所有棱长都为2~(1/2),四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) (A)3π. (B)4π. (C)33~(1/2)π. (D)6π. 分析这个正四面体可以想象是由棱长为1的正方体砍去四个角所得(实验修订本第二册下53页第8题),而这个正方体8个顶点所在的球面,也正是这个正四面体四个顶点所在的球面,而这个正方体对角线的长就是球的直径,显然,应选(A). 由题目条件想象到构造相应的正方体,这种转化使思路变清晰,各种线面位置关系也容易观察,     

割补法在立几中的应用

正方体截去四个三棱锥后(如图)得到一个以面对角线为棱的正四面体 ABCD,反之,正四面体补上四个三棱锥后则还原为原来的正方体,其面对角线即为正四面体棱长,且这个正四面体的体积的正方体体积的1/3.实际上,这里的“截去”或者“补上”就是典型的割补法.在立几中,割补法的应用很广泛,请看下面例题.     

高考题中的正多面体

2006年全国各地的高考试题中,立体几何试题的题型绝大多数为一大二小,难度、综合程度与前几年基本持平,重点知识、重点方法重点考查,注重基础,强调能力.在突出常见几何模型方面有明显特点,比如许多试卷中或显或隐的以正多面体为载体的试题,不回避热点、重点,凸显了重点考查的趋势,具有明显的导向性,举例如下.一、正四面体问题例1(湖南卷)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()A.22B.23C.2D.3简要解答本题重在考查空间想象能力.过球心的正四面体的截面必为一个…     

探索正多面体及其二面角

一、正四面体、正六面体具有独立的特性,其二面角为定值在正多面体的体内,所有的棱,所有的面角和所有的二面角都是相等的。正四面体是顶点数、面数、棱数均为最少的正多面体,是我们认识正多面体的基础。细观其图形特征,顶点数V=4,面数F=4,棱数E=6,这三者的     

补形,有规律可循(高二)

1.正四面体补为正方体例1 求棱长为1的正四面体的体积. 分析 常规的思路是直接用三棱锥的体积公式去求,但要首先求出此三棱锥的高,求高比较繁琐.如果将正四面体ABCD补形为正方体(如图1),那么此正方体的棱长为 ,因此,求正四面体的体积便有了新的求解思路:     

正四面体的几个性质

文[1]给出了正三角形的一个如下性质:正三角形各顶点到其外接园上任一点的切线的距离之和为定值,本文对这一性质在空间的推广进行探索.定理　设正四面体的棱长为a,则(1)正四面体的各个顶点到其外接球的任一切面的距离之和为定值6a.(2)正四面体的各棱中点到其外接球的任一切面的距离之和为定值362a.(3)正四面体的各面中心到其外接球的任一切面的距离之和也为定值6a.证　(采用解析法)在棱长为a的正四面体ABCD中,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱AB,BC,CA,AD,DB,DC的中点依次为E,F,G,H,M,N;底面ABC的中心为O1,连结DO1,则|DO1|=63…     

促进数学思维训练的好题

1.正四面体棱长为1,则其底面任一点到三个侧面的距离之和为().     

为什么被“溜走”、“停住”?

1.问题提出题目正四面体ABCD的棱长为1,棱AB平面α,则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值