θ≈sinθ≈tanθ在物理中的应用(高一、高二、高三)

当θ很小时,θ≈sinθ≈tanθ.这个近似式在物理中有很多用途.1.推导公式(1)单摆周期单摆是用一根不计质量,不计伸缩的细线系一个可视为质点的小球.如图1所示,设摆球的质量为m,摆长为l,最大摆角α≤5°.摆球所受的回复力是重力的切向分力,即     

单摆实验中sinθ≈θ近似对周期的影响

本文通过计算得出当θ＜5.515°时,sinθ≈θ近似处理会导致周期误差小于0.059%,当5.515°＜θ＜7.25时,sinθ≈θ近似处理会导致周期误差小于0.099%,与前者在同一数量级上,从θ与sinθ之间以及T与Tο之间的误差的数量级分析得出做sinθ≈θ近似处理的条件,对于学习单摆定律和相关内容的教学有一定的意义.     

作匀加速运动的刚体的力矩分析

由于“在匀加速水平运动的车厢里的单摆小球在相对静止时是线与竖直方向有一夹角,且tgθ=a/g”,有些学生在这一问题的启示下提出:若此单摆换成一根一端被铰接在车厢顶部的杆件,它与竖直方向也有一夹角,与单摆一样tgθ=a/g。但分析杆件受力时,各力对铰接点的合力矩不为零,为什么不作转动而相对静止?     

创新百题赏析

1.在如图1所示的空间里,存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=（2πm）/q.在竖直方向上存在如图2所示的交替变化的匀强电场（竖直向上为正）,图中电场强度E_0=（mg）~q.一倾角为θ足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间.斜面上有一质量为m,带电荷量为-q的小球,从t=0时刻由静止开始沿斜面下滑,设第5 s内小球不...     

关于公式tg2θ=2tgθ/1-tg~2θ

美国华盛顿大学的H·Jorden和加利福尼亚大学的S·Shultz美国《数学教师》杂志撰文介绍三角公式tg2θ=(2tgθ)/(1-tg~2θ)的一种新颖别致的推导方法。此法是在求定半径的球的外切圆锥的最小体积时信手拈来的,颇富戏剧性,又浅显简捷,仅用平几知识及正切函数定义即可,现将原文选译摘编如下. 如图,圆O的半径径为r,设过圆上点H的切线BH的长为x(x>r),过B的另一切线与圆O切于E,令CE=s,CH=h,易知BE=x。     

公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角.对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.图11应用公式求两条异面直线所成的角例1如图1,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别在棱B1C1、C1C上,且EC1=31,FC1=33,求异面直线A1B与EF所成的角.解因为A1B在平面…     

对"圆锥摆"认识的一个盲点

1一个使人困惑的题目在高三复习的一次测验中,我在试卷中出了这样的一个题目:如图1所示,长L=0·1m的轻绳,上端固定在以角速度ω转动的竖直杆上,下端系一质量为m的小球。求ω分别为下面两值时,轻绳与竖直方向的夹角θ为多少?(1)ω=102ard/s;(2)ω=52ard/s。大部分学生的解答过程如下。小球受到重力mg和线拉力FT作用。重力与线拉力的合力F合的方向与加速度a方向相同,水平指向杆,如图2所示。合力F合=mgtanθ,小球做圆周运动的半径r=Lsinθ。由牛顿第二定律F合=ma得到:mgtanθ=mω2Lsinθ,(1)上式两边约去sinθ,立即求得cosθ=gω2L。(2)把…     

这两道题究竟怎么了?

题一:如图1所示,质量m=1kg的小球穿在倾角等于30°的斜杆上,球与杆间的动摩擦因数μ=23,小球在竖直向上的拉力F作用下,沿杆加速上滑,若a=1m/s2,求拉力F=?(g=10m/s2)解析取小球为研究对象。小球要沿杆上滑,则必定有F>mg,因此,小球下部与杆接触并挤压,产生的弹力应垂直于杆斜向下方,其受力情况如图2。由牛顿第二定律得:Fsinθ-mgsinθ-Fμ=ma(1)Fcosθ-mgcosθ-FN=0(2)其中Fμ=μFN(3)联立(1)(2)(3)式,解得F=6N略一反思即能发现上述结果有问题,F=6N。小于mg=10N,即F=6N时,小球是不可能沿杆向上运动的。那么此结果肯定是错的。如果再将…     

求复杂单摆回复力和周期应注意的几个问题

作简谐振动的物体,受到的回复力F=-kx,k是常数,x是偏离平衡位置的位移,则振动的周期T=2πm/k1/2.对只受重力和线的拉力的单摆而言,在θ<5°时(以下同),回复力F=mgsinθ≈-mgxl,故     

象限角教学点滴

在一次课堂练习中,学生对“已知角α终边上一点P(-4,3)求csc1/2α和tg1/2α”及“已知sinθ=-4/5,且θ为第四象限角,求ctg1/4θ”的值,普遍解法如下。 1.∵P(-4,3),∴α是第二象限角, ∵r=((-4)~2+3~2)~(1/2)=5, ∴cosα=-4/5 ∵1/2α是第一象限角。     

“压强”常见误区分析

一、误把重力当压力例1用20N的力将重为2N的图钉按人竖直的墙内,已知图钉帽的面积是0.5cm~z。钉尖的面积这0.1mm~2,求图钉对墙的压强是多少?错解根据公式有:P=F/S=(F G)/S=22N/0.1×10~(-6)m~3=2.2×10~8Pa     

一个力学佯谬问题的讨论

一、问题的提出在教学中,常会遇到这样一类问题: 例1、如图1所示,一质量为m的小球,被轻绳AB和BC固定,绳AB与竖直方向成θ角,绳BC沿水平方向,若将BC绳剪断,求在绳子刚刚剪断后小球的加速度。对于这题可以有两种不同的解答。方法一:绳子剪断前,小球受三个力的作用:重力G,绳AB的拉力T,绳BC的拉力F,并处于静止状态,这三个力的合力为零,剪断绳BC后,力F取消,由力的合成原理,此时小球所受合力必然等于-F,加速度的大小应为α=F/m=(Gtgθ)/m=gtgθ,方     

一个平衡条件 三种推证方法

在电磁学部分我们会经常遇到如下两种情景：①如图1,空间存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场,带电粒子在竖直平面内做匀速圆周运动;②如图2,一个带电小球在竖直方向的匀强电场中做匀速圆周运动,面对上述两种情况,都有电场力与重力等值反向,即有F=qE=mg,面对这样结论,还有不少学生不得其解,怎么办？我们可用下面三种...     

关于方程ρ=ep/(1-ecosθ)的推广

现行高中数学教材介绍了圆锥曲线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,当01,表示极点在右焦点的双曲线. 那么,极点在其它焦点时,相应的极坐标方程又是怎样的呢? 为了解决这个问题,我们先将直角坐标与极坐标互化公式结合平移进行推广. 当极点在O′(a,b),极轴平行x轴正向,单位长统一时,如右图,在Rt△O′PM中,O′P=x-a,PM=y-b,O′M=p.∠MO′P=0 x-a=pcosθ,y-b=psinθ.①p~2-(x-a)~2 (y-b)~2,tgθ=(y-b)/x-a(x≠a) ②     

解题勿忘公式:cosθ1cosθ2=cosθ

如图1,直线AB和平面α所成的角是θ1,直线AC在平面α内,AC和AB的射影AB’所成的角为θ2,设∠BAC=θ,则cosθ1cosθ2=cosθ.此公式在新教材中列为了必学的内容,大大提高了其地位.下面举例谈谈它的应用.一、用于求直线与平面所成的角     

新教材中公式“cosθ=cosθ1cosθ2”的两类应用

新教材第九章(B)中的第44页有如下公式:cosθ=cosθ1cosθ2,它的几何解释如下:如图1,已知OA是平面α的斜线,A为斜足,OB⊥α,垂足为B,AC为α内任一直线.AO与AB所成的角为θ1(线面角);AB与AC所成的角为θ2(面内角);AO与AC所成的角为θ(面外角).     

公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角. 对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.     

巧用公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2解题

巧用公式cosθ=cosθ1·cosθ2能妙解许多问题,下面举例说明.一、用于求空间角例1如图1,PA是平面α的斜线,∠BAC=90°,又∠PAB=∠PAC=60°,求PA与平面α所成的角.     

从一道习题谈ε=△Φ/△t和ε=BLv的应用

习题:OA、OB导轨置于匀强磁场中,导轨平面与磁场垂直,导体棒CD在导轨上从O点开始向右匀速移动,速度为υ,运动中CD始终垂直于OB,如图1所示,求t时刻的感应电动势。 一部分学生根据ε=BLυ=Bυt(tgθ)υ,即ε=Bυ~2(tgθ)t. ① 也有人根据ε=ΔΦ/Δt得出 ε=Bυt·υt(tgθ)/2t=Bυ~2(tgθ)t/2.② 同一个问题得出两种不同的结论,究竟谁对谁错,涉及到对两个公式的正确理解与应用。     

从函数的定义域谈物理量的极值问题

1 问题的提出 1.1 一道题的两种解法 例1.如图1所示,一固定直杆AB长L=2 m,与竖直方向的夹角为θ,一质量为m=4kg、电荷量为q=＋3×10-5C的小球套在直杆上,球与杆之间的动摩擦因数为μ=0.5.直杆所在处空间有水平向右的匀强电场,场强为E=106 N/C,将小球由静止释放.问：当θ取多大时,球滑至B端时的速度最大.