一个重要不等式的给出、证明及应用

探究2008年陕西省理科高考题第22题的求解过程中,对于问题（Ⅲ）证明：a1＋a2＋…＋an〉n^2/n＋1（注：由问题（I）可求得an=3^n/3^n＋2,n∈N^＊））,不少资料提供的解答参考     

探究多米诺骨牌效应的背后

已知函数f（x）=x^2＋ax＋b的零点与函数g（x）=2x^2＋4x-30的零点相同.数列{an},{bn}定义为：a1=1/2,2an＋1=f（an）＋15,bn=1/2＋an（n∈N°）.（1）求实数a,b的值;（2）若将数列{bn}的前n项和与前n项积分别记为Sn,Tn证明：对任意正整数n,2^n＋1Tn＋Sn为定值;     

算术平均值与几何平均值的一个新不等式

命题1 设ai≥λ＞0（或0＜αi≤λ）（i=1,2,…,n,n≥2）,则a1＋a2＋…＋an≤a1a2…an/λ^n-1＋（n-1）λ     

高考江苏卷第21题充分性的别证及推广

题目 设数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an-an＋2，cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1，2，3，…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n=1，2，3，…）。     

由数列递推关系求通项——2011年高考广东理科数学20（1）评析

数列回归2011年高考解答题是今年广东高考数学卷的一大特点。该试题为：设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=nban-1/an-1＋2n-2（n≥2）.（1）求数列{an}的通项公式;（2）证明：对于一切正整数n,an≤bn＋1/2n＋1＋1.     

第55届IMO试题解答

1．设a0〈a1〈…为无穷正整数数列．证明：存在唯一的整数n（n≥1），使得 an〈a0＋a1＋…＋an/n≤an＋1.     

常见递推数列求通项公式的七种方法

类型一：已知a1=a1an＋1-an=f（n）（n∈N＊）型,可用累加法求an an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1） =a1＋f（1）＋f（2）＋…f（n-1）.     

离散型随机变量的方差在数学解题中的应用

在初中代数中我们曾学过已知一组数据求它们的方差问题：设a1,a2,a3,…,an,记a=1/n（a1＋a2＋a3＋a…＋an），那么s2=1/n[（a1-a）2＋（a2-a）2＋…（an-a）2]叫做这组数据的方差．     

用三角函数表示周期性数列的通项

题目 写出数列{an）：4，1，0，4，1，0，…的通项公式． 分析与解 因为在数列{an}中，有an=an＋3，令f（n）=an（n∈N^＊），则f（n）=f（n＋3），也就是说函数厂（n）是一个周期为3的函数．这样我们容易想到利用正弦（或余弦）函数来构造f（n），故令f（n）=b0＋b1cos2nπ/3＋b2sin2nπ/3（其中f（1）=a1=4,f（2）=a2=1,f（3））=a3=0,b0,b1,b2为待定系数）。[第一段]     

几类递推数列通项公式的求法

一、an＋1=an ＋f（n）型求解要点：可按an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1）累加求解．     

赏析如出一辙的三道高考数列题

试题1（2007年山东高考题）设数列{an}满足a1＋3a2＋3^2a3＋…＋3^n-1an=n/3,n∈N^＊． （1）求数列{an}的通项; （2）设bn=n/an,求数列{bn}的前n项和Sn．     

一道国外高考题的教育功能

1990年日本全国大学考试千叶大学一道试题： 已知数列{an}中,a1=2,3（a1＋a2＋…＋an）=（n＋2）an,n∈N,试求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn.     

利用三点共线巧解等差数列问题

我们知道，等差数列{an]通项公式为：an=a1＋（n-1）d=dn＋（a1-d），前n项和公式为：Sn=na1＋n（n-1）/2d=d/2n^2＋（a1-d/2）n，因而Sn/n=d/2n＋（a1-d/2）。由解析几何知识可知，点（n,an）在斜率为d的直线上，点（n,Sn/n）都在斜率为d/2的直线上，利用好这一结论就能给解题带来极大的方便。     

精益求精 寻求通法——多角度审视2009年江西高考压轴题

2009年高考江西卷理科压轴题是：各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m＋n=p＋q的正数m,n,p,q都有am＋an/（1＋am）（1＋an）=ap＋aq/（1＋ap）（1＋aq）.     

高等背景，初等解法——谈2008年全国高考数学陕西卷（理科）第22题（续）

4第（Ⅲ）问的解题分析 单独看第（Ⅲ）问,可以认为是一道数列不等式问题：例4已知数列an=3^n＋2^——3^n,证明：a1＋a2＋…＋an〉n＋1^——n^2。     

关于AGH的一个不等式

众所周知,n个正数a1,a2,…,an的算术平均数An=1/n（a1＋a2＋…＋an）、     

从一道数列题看通项的求法

题目 已知数列{αn}满足 α1=1,αn＋1=3αn＋1． （1）证明{αn＋1/2}是等比数列,并求{αn）的通项公式, （2）证明1/α1＋1/α2＋…＋1/αn〈3/2.     

等差数列的求和公式

等差数列的求和公式有： （1）Sn=na1＋n（n-1）/2d; （2）Sn=（a1＋an）n/2;     

差数列求和公式变式的灵活应用

等差数列常见的求和公式有： ①Sn=a1n＋n（n-1）/2d; ②Sn=n（a1＋an）/2; ③Sn=An^2＋Bn（A=d/2,B=a1=d/2）.     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.