逆向运用 妙解生辉

学习了分式加减运算法则,同学们对法则的正向运用比较得心应手,而对法则的逆用却不习惯．其实,有许多问题,逆用分式加减运算法则,常能得到巧妙的解法．一、用于化简故选A．二、用于求值例2若ah－2＋（b－l）‘二0,试求十十＿＋＿＋…＋＿的值．“’—””—－’—““～’－““ah（a十1）（b＋l）（a＋2）（b＋2）’（a＋1996）（b＋ITh）“““”门ops年长春市初二数学竞赛试题）解…lab－ZI＋（b一小一0,由非负数的性质,得ah－2＝0且hi＝0．故a二2,b二1．代人求值式,得三、用于证明恒等式四、用于求最值（l”3年全国初中数学…     

巧构图形面积妙证恒等式

人教版高中数学第三册“数学归纳法及其应用举例”一节例1用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋（2n-1）=n^2完毕后指出：本例所证明的等式可以用图1表示．这实际上是构造图形用面积法来证明代数恒等式的一种直观证法．这一节的例题、练习题和习题中,不少代数恒等式的证明,除了用数学归纳法证明外,都可构造图形用面积法证明．     

两个三角恒等式的几何证法

笔者曾在文[1]建立过如下两个三角恒等式：cosa＋cos（12O”－a）＋cos（12o”＋a）一0,sina－sin（1200－a）＋sin（12O“＋a）一0,其中a为任意角．下面笔者再给出这两个三角恒等式的一个统一的几种证法．形,0（0,O）既是外心又是重心,因此两个三角恒等式的几何证法@田彦武$宁夏固原一中数学教研室!756000 @申笃轩$宁夏隆德中学!7563001田彦武.一个三角恒等式的几何解释及其应用.中学数学月刊,1999,5.     

欧几里德恒等式在数学竞赛中的应用

人们通常把恒等式（a＋b/2）^2＋ （a-b/2）^2=ab 称为欧几里德恒等式。     

两个重要恒等式的应用

1 两个重要恒等式 an=a1＋（a2-a1）＋（a3-a2）＋…＋（an-an-1）（n≥2）,     

对数列求和问题的探讨

在高中数学教学中对于1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^21/6n（n＋1）（2n＋1）这道题是用数学归纳法证明的,而用数学归纳法证明问题,必须已知问题的结果,若在结果未知的情况下,能否直接推导出这个结果呢？回答是肯定的,这里用组合数性质等有关知识来讨论这个问题．     

与a3＋b3＋c3-3abc有关的恒等式及其应用

我们可以验证,若a、b、c∈C则关于a3＋b3＋c3-3abc有以下恒等式成立：（1）a3＋b3＋c3-3abc=（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2-ab-bc-ca）.（2）a3＋b3＋c3-3abc=1/2（a＋b＋c）[（ab）2＋（b-c）2＋（c-a）2].（3）设w2＋w＋1=0（即w=（（-1＋（3i）（1/2））/1）     

一个三角公式的推广和应用

一、定理：对于任意的角度θ,都有 cos θ＋cos（θ＋3^-2π）＋cos（θ＋3^-4π）=0 分析对于这个恒等式的证明方法很多,利用两角和公式把后两个式子展开即可,或者对1、3或2、3两个一组和差化积,也可以很容易得证．这里再介绍一种方法——构造法,这种方法可以推广．     

极化恒等式速解一类平面向量问题

极化恒等式是大学数学基础课程《泛函分析》中的知识，经过简单的变形就可转化为如下平面向量基本关系式：对于向量a、b，通过恒等变形可得a·b=1/4[（a＋b）2-（a-b）2]。再经过几何延伸，如图1所示，对于平行四边形ABCD，     

“喜欢的”不一定是“适合的”——二年级连加连减计算方法教学案例和反思

【教学片段】 一、连加计算 1．教师出示情景图：（略） 2．学生提出数学问题后列式：（1）24＋29＋28=（2）92—37—26=     

一道条件不等式的证法综述

引导学生开展“一题多解，一题多证”的训练和探究，必将有助于激发学生学习数学的兴趣和热情，启迪他们的创新思维，培养数学综合能力，进而提高他们的数学素质． 本文以一道脍炙人口的条件不等式赛题为例，从九个方面研究其证明的策略和技巧． 题（前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题）设 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且 ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证；ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１／３１ 代入法 证１ 注意恒等式 ３（ａ２十ｂ２十ｃ２）＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＋（ａ－ｂ）２十（ｂ ｃ）’＋（ｃ ａ）’将已知ａ＋ｂ＋ｃ二ｌ代人得 ３（ａ’＋ｂ‘＋ｃ’）二１：…     

一个重要的恒等式及其应用

完全平方公式（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2、（a-b）^2=a^2-2ab＋b^2的两边相减得 ab=1/4[（a＋b）^2-（a-b）^2]…… 这是一个极其重要的恒等式，它能使我们更便捷地解答一些题目，请看下面的例子．[第一段]     

拼图中蕴涵的数学思想

【题目】我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示。例如（2a＋b）（a＋b）=2a^2＋3ab＋b^2就可以用图2或图3等图形的面积表示．     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

一抽象函数习题的衍射性教学探究

《普通高中课程标准实验教科书数学1》96页练习11有这样一道题：已知f（x）=1g1-x/1＋x,a,b∈（-1,1）,求证f（a）＋f（b）=f（a＋b/1＋ab）.此题思路是分别将a,b代入f（x）中,将等式两边各自变形;采用的是“中间会合”技巧;考察的知识点是对数运算法则与它的应用,以及证明恒等式技巧．学生的解答过程如下：     

浅议一个恒等式的来龙去脉

我们经常遇到这种问题：若f（x）=1/4^x＋2（或f（x）=1/a^x＋√a），求f（-3）＋f（-1）＋f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）的值，解答这类问题是依据这类函数一个恒等式：若f（x）=1/4^x=2，则f（x）＋f（1-x）=1/2，若：f（x）=1/a^x＋√a，则f（x）＋f（1-x）==1/√a。     

计算方幂和sum from k=1 to n (k~m)的一种递推方法

关于计算前n个正整数的方幂和Sm（n）=∑km问题，一直是人们研究和讨论的一个热点问题．本文应用初等微积分的知识，首先给出一个十分有用的积分恒等式，然后借助于这个积分恒等式并且适当运用数学技巧，构造出一个新的结构简单，便于使用的计算方幂和Sm（n）的递推公式，最后利用这个递推公式递归地求出S1（n）到S10（n）的计算公式以及有关方幂和的几个平方关系式与乘积关系式．     

方程x0x＋y0y=r^2的意义及其应用

由文[1]P82可知,以直角坐标系原点O（0,0）和点M（x0,y0）为直径端点的⊙O’的方程是x（x—x0）＋y（y—y0）=0,化简就是x^2＋y^2-x0x—y0y=0,这个方程与圆心在原点O,半径为r的⊙O的方程x^2＋y^2=r^2相减得x0x＋y0y=r^2,①．     

因式分解在解题中的应用

因式分解是初中代数恒等变形的重要方法，它在数学恒等变形中有着广泛的应用．下面我们举例说明因式分解在解题中的初步应用，供同学们学习时参考．一、用于化简求值例1已知有理数a、b满足a2＋b3＋a2b。ah’＋a＋b一0，求awb的值．解将原式左边因式分解，得（ca＋b）（a’－abchb’）＋cab（a＋b）＋（a＋b）—0．再提公因式，得（a＋b）（a’＋b‘＋1）＝0．a’＋b‘＋1学0，“．a＋b＝0．例2已知x一如一2，求x’－4xs＋4y’一3xWe6ywel的值．解原式一件一Zy）’－3（X一如）＋I一2’－3X2＋1—－1．例3已知a－b—2，b－c—1，求a’＋b’…     

一个新的三角不等式

《中等数学》1998年第3期“数学奥林匹克问题”栏高中第65号题为：在△ABC中,求证：B．C＿sinA＋Zsin子十3sin子＜3．（l）－———一一2——一？”－’原刊1998年第4湖上,江苏张延卫老师给出了该题的构图证法．这里,我们给出类似于（1）式的一个新结果,并且给出其代数证法．定理在△ABC中,有BC＿＿＿COSA＋＋COSW＋3COS子＜3／3．（2）———””——一2’——一3——”—””“”证明”．”A,B,C是凸ABC的内角,B＿＿．”．0＜A十号＜A＋B＜n,2～‘——～,,故（2）式获证．从上述证明过程不难看出,当且仅当ABtr…