周期函数

定义1 对于函数f(x).如果存在一个不为零的常数T,且 (1)对于函数定义域中自变量x的任意数值,x T和x-T都属于函数的定义域; (2)对于函数定义域中的任意x,都有 f(x T)=f(x)或f(x-T)=f(x),则称函数f(x)是以T为周期的周期函数.     

对一个定义的探讨

关于周期函数,中学课本中已有明确定义,这里不再赘述。而贵刊1994年第9期P.37页刊登的《周期函数》中,是这样定义周期函数的:“对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,且 (1)对于函数定义域中自变量x的任意值,x T和x-T都属于函数的定义域; (2)对于函数定义域中的任意x,都有f(x T)=f(x)或f(x-T)=f(x),则称函数f(x)是以T为周期的周期函数。 笔者认为,这个定义存在两个问题,一是条件(1)是多余的,不符合对一个概念下定义的原则。因为由(2)f(x T)=f(x)或f(x-T)=f(x)可知x T或x-T应属于定义域,否则其函数值谈不上相等。二是在(1)中说“x T和x-T都属于这个函数的定义域”,这又增加了限制条件,从而缩小了概念的外延。实际上x T和x-T不要求都属于这个函数的定义域,x T和x-T中有一个属于定义域即可。如,对于函数f(x)=     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征及其应用

<正>用图象法表示函数具有直观、形象的优点.在解题中我们经常借助于图象理解问题、解决问题,数形结合的思想方法就是生动的体现.本文笔者试图从函数图象的角度,谈谈满足f(f(x))=x和f(f(x))=f(x)的函数f(x)的图象特征,以及它们在解决相关问题中的应用.一、两个命题命题1对于函数f(x),f(f(x))=x的充要条件是f(x)的图象关于直线y=x对称.证明因为f(f(x))=x,所以点(f(x),x)在函数f(x)的图象上;又(x,f(x))也     

浅谈不定积分计算中的两个问题

如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数,则函数f(x)的全体原函数F(x)+C称为函数f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,即∫f(d)dx=F(x)+C 对于不定积分的定义,必须注意被积函数的定义区间,这一问题从原函数的定义中可以清楚地看到。原函数一般是这样定义的: 设f(x)是定义在某一区间(a,b)上的一个已知函数,如果存在一个函数F(x),对于该区间(a,b)上每一点都满足F′(x)=f(x),或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在该区间(a,b)上的一个原函数。由此可知,原函数的定义要求:(1)函数f(x)与函数F(x)要定义在同一区     

例说函数奇偶性的几种判断方法

在函数奇偶性概念的学习中,应多方面、多角度地思考概念的内涵,要掌握函数奇偶性定义的等价形式,注重寻求简捷的解题方法．函数奇偶性的定义是:如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) (或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．函数奇偶性的定义反映在定义域上:若f(x)是奇函数或偶函数,则对于定义域D     

正确理解函数的奇偶性

现行教材中,关于奇函数和偶函数是这样定义的: 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x) 为这一定义域内的奇函数; 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为 这一定义域内的偶函数. 有些学生认为只要形式上有f(-x)=-f(x),f(x)就是奇函数;有f(-x)=f(x),f(x)就 是偶函数,而与函数f(x)的定义域没有任何关系. 事实上,如果不先看函数的定义域,函数的奇偶性是无法判别的.     

指数函数与其运算性质之关系

在中学数学中,我们把形如f(x)=a~x这样的函数叫指数函数.对于指数函数有如下运算性质:a~(x y)=a~x·a~y,即f(x y)=f(x)·f(y).反之,我们现在设函数f(x)非零连续,且满足方程f(x y)=f(x)·f(y)(1)那么满足上述条件的函数是指数函数吗?     

例谈零点定义与零点定理的应用

零点定理是新教材中增加的一个重要定理,在解题中有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即方程f(x)=0有实数根图像y=f(x)与x轴有交点函数y=f(x)有零点.什么是零点定理呢?如     

例析高考最新亮点——函数零点

函数零点是高中新课程中新增内容之一,也是新课程标准中重要教学目标之一.函数零点的定义:对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.函数的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)(x∈D)与x轴的交点的横坐标.     

判断函数奇偶性应注意的问题

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么就称函数f(x)为这一定义域内的偶函数.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D,当x1相似文献   

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为:设y=f(x)(x∈A),如果对于任意x∈A,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数;如果对于任意x∈A,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.     

广义奇(偶)函数的单调性及其应用

文 [1]介绍了广义奇 (偶 )函数的概念与性质 :定义　对于函数 f(x) ,若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =- f(b-x)成立 ,则称 f(x)为广义奇函数 ;若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =f(b -x)成立 ,则称 f(x)为广义偶函数 ,性质　对于函数 f(x)定义域的任意x ,f(a+x) =- f(b-x) f(x)的图像关于点 (a+b2 ,0 )对称 ;对于函数 f(x)定义域内的任意x ,f(a+x) =f(b-x) f(x)的图像关于直线x =a+b2 对称 .实际上 ,将上述广义奇 (偶 )函数 f(x)的图像平移 n=(- a +b2 ,0 ) ,即成为对应的奇 (偶 )函数的图…     

浅谈高中数学的最值问题

一、函数最值 1.定义:对于函数f(X).假定其定义域为A,则(1)若存在x0,使得对于任意x∈A,恒有f(x) ≤ f(x0),则称f(X0)是函数的最大值;(2)若存在x0,使得对于任意X∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立,则称f(x0)是f(x)的最小值.     

函数与其导函数的联系及应用

高中课本中导函数定义:如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f(′x),从而构成一个新的函数f(′x),称这个函数f(′x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数.f(′x)=y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x Δx)-f(x)Δx.那么函数y     

奇妙,有用的“不动点”(高一、高二、高三)

定义在区间D上的函数f(x),若实数x0∈D满足f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)在D上的一个不动点. 例1 对于定义在区间D上的函数f(x),若实数x0∈D满足f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)在D上的一个不动点. (1)求函数f(x)=2x (1/x)-2在(0, ∞)上的不动点;     

判定周期函数的几种常用方法

判定一个函数是否为周期函数,在高中数学教材中,只能依据周期函数的定义:“对于函数 f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时都有f(x T)=f(x)．那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期”(全日制普通高级中学教科书试验修     

若干初等函数方程之求解

本文给出几个常见的初等函数方程之求解,为讨论方便起见,始终假定所讨论的函数在其定义域上连续。命题1(线性函数方程)对于任何实数x,y,有f(x y)=f(x) f(y)当且仅当存在实数a,使得f(x)=ax。证明:只须证明“仅当”部分(以下的所有命题都是这样)。首先由f(0)=f(0 0)=2f(0)得f(0)=0,对于任何实数x,f(2x)=f(x x)=2f(x),用数学归纳法不难证明对于任何实数x,任何自然数n有f(nx)=nx,而且f(x)=f(n·x/n)=nf(x/n),即f(x/n)=     

由高考题引发的对函数极值点教学的一点思考

<正>对于一般函数的极值点,教学中多借助几何直观,用自然语言给出函数极值点的描述性定义:若函数f(x)图象在点P(x1,f(x1))处从左侧到右侧由"上升"变为"下降"(函数由单调递增变为单调递减),我们就称f(x1)为函数f(x)的一个极大值,x1为函数f(x)的一个极大值点;类似的,若函数f(x)图象在点P(x2,f(x2))处从左侧到右侧由"下降"变为"上升"(函数由单调递减变为单调递增),我们就称f(x2)为函数f(x)的一个极小值,x2为函数f(x)的一个极小值点.该定义给出了判断极值点的充要条件,揭示了一般函数极值点的本质特征:极值点附近左侧与右侧函数单调性相反[1].