用二次函数的图象求一元二次方程中的参数

周知,一元二次方程ax~2÷bx c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象之间有着密切的联系。在探求二次函数的图象与x轴有无交点的的问题中常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之,也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况。本文对系数含参数的一元二次方程已知根的某些性质,利用二次函数图象的特征来求出参数这个问题作一探讨。 例1 已知关于x的方程2x~2-6x 3m=0的两个实数根都大于1,求m的取值范围。 分析:学生往往用韦达定理来解如下: 设方程2x~2-6x 3m=0的两根为x_1、x_2。     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

巧解一道讨论题

在学习“一元二次方程”中,老师出了这样一道讨论题:已知关于x的一元二次方程:①x~2-2mx+m~2-m=0;②x~2-(4m+1)x+4m~2+m=0;③(m~2+1)x~2-(2m+1)x+1=0中至少有一个方程有实数根。试求m的取值范围。     

初三第一学期期末代数质量检测题

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.已知方程ax (a-1)x~2=1是关于x的一元二次方程,那么,a的取值范围是___。 2.方程x~2=x的解为____。 3.在实数范围内分解因式:x~2-x-3=____。 4.已知点A(2,y)与点B(x,-3)关于y轴对称。则xy=____。     

1996年数学总复习质量检测题

一卷 一、填空题(共45分,每小题3分) 1.若方程x~2 ax-2a=0的一个根为1,则另一个根是___。 2.若关于x的一元二次方程(m~2-m)x~2 (m-1)·x 1=0有实数根,则m的取值范围是___。 3.已知(-2 5~(1/2))/2是方程4x~2 8x-1=0的一个根,则二次三项式4x~2 8x-1分解因式得___。 4.已知点P的坐标是(a,b),巳ab<0.则点P关于y轴对称的点在第__象限。 5.函数y=((x 3)~(1/2))/(x-2)的自变量x的取值范围是     

掌握根与系数关系定理的着眼点

一、理解根与系数关系的本质特征一元二次方程根与系数的关系 ,教材从两个方面进行了研究。一方面从一元二次方程的求根公式出发 ,揭示出两根和及积与系数的关系 ,即 :ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的两个根是 x1、x2 ,则 x1 x2 =- ba,x1· x2 =ca。运用这个关系式可不解方程而从一元二次方程的一般形式求出它的两根之和与两根之积 ;另一方面可由两个数来得到一个以这两个数为根的一元二次方程。1.由已知一元二次方程求它的两根和与两根积。例 1.已知实数 a、b满足 a2 =2 - 2 a,b2 =2 -2 b,且 a≠ b,试确定 a b与 ab的值。分析 :整理 ,得 a2 2 a- 2…     

一元二次方程错解分析

一元二次方程是中考的重点.有些同学由于概念不清、考虑不周,解题时常会出现一些错误.现将常见错误归类剖析如下,希望你能从中吸取教训,不再犯类似的错误. 一、忽视了二次项系数不能为零 例1(2012年广安卷)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是().     

不可忽略对称轴

贵刊在1995·2期刊发了《图象法解一元二次方程根的分布问题》一文,文中有这样一道题: 已知关于x的方程x~2-mx-1=0的两根都大于-2而小于2,求m的取值范围。 解 考虑函数f(x)=x~2-mx-1,显然它的图象开口向上。因f(m)=-1,故其图象必与x轴交于两点,由条件,这两交点在-2和2之间,于是应有f(-2)>0和f(2)>0同时成立,即     

确定二次方程实根范围的方法

<正> 对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(c≠0)两实根范围的问题,除有一根大于零而另一根小于零,两根大于零,两根都小于零三种情形较简单外.其余情形的讨论都较难,本文现介绍两种不同的方法以供大家参考. 例1 已知方程x2+(m+2)x+3=0的两根都比1大,求m     

重在基础突出能力尝试创新——中考一元二次方程题赏析

一元二次方程是中考命题的“重头戏”,近年来 ,围绕着“重在基础 ,突出能力 ,尝试创新”,中考试题中一元二次方程新题型精彩纷呈。一、设计有隐含条件的一元二次方程问题解决此类问题要注意 :1.用判别式时不可忽视二次项系数不为零这个隐含条件 ;2 .用韦达定理时不可忽视二次项系数不为零这一隐含条件 (a≠ 0 )和二次方程有实数根这一隐含条件 (△≥ 0 )。例 1.已知 x1、x2 是关于 x的方程 (m - 1) 2 x2 - (2 m - 5 ) x+ 1=0的两个实数根。(1)若 p=1x1+ 1x2,求 p的取值范围 ;(2 )问 x1、x2 能否同为正数 ?若能同为正数 ,求出相应的取值范围 …     

巧用韦达定理的逆定理

有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2     

根与系数的关系的应用

如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.现以2012年各地中考试题为例,说明根与系数的关系的应用. 一、已知一元二次方程,求两根关系式的值 例1 (2012年日照卷)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么x2/x1+x1/x2的值为____.     

考虑问题要周详

<正>一元二次方程根的判别式b2-4ac揭示了根与系数之间的内在联系,利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况,是一元二次方程的重要内容.但有些同学因粗心大意,常常出现一些问题.举例说明如下:一、"少此一虑"致误例1若关于x的一元二次方程a2x2+(2a-1)x+1=0有两个实数根,则a的取值     

含字母系数的一元二次方程常见错解剖析

一元二次方程是初中代数的重要内容,然而很多同学由于受思维定势的影响,往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件,致使解答陷入误区.具体表现主要有以下几方面:一、忽视二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大例1已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实根,求a的取值范围.错解:因为方程有实根,所以Δ≥0,即4(a+2)2-4(a2-1)≥0,解得a≥-45.剖析:由一元二次方程的定义知:a2-1≠0·而上述解题过程恰恰忽略了这一点,正确解法应为:依题意得:a2-1≠0Δ=4(a+2)2-4(a2-1)≥0解得a≥-54且a≠±1.(注:例1等价于:已知关于x的方程(a…     

初三代数结课质量检测题

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.关于x的方程(a~2-1)x~2 (a 1)x-4=0,当a=___时,它是一元二次方程。 2.方程x~2=2x的解是___。 3.一元二次方程3x~2 x-1=0,△=___。 4.已知一元二次方程的两个根是1 2~(1/2)和1-2~(1/2)。那么,这个一元二次方程是___。     

要注意把根代入方程中

解答某些与一元二次方程有关的问题时,要注意把根代人方程中.例1如果x=1是已知方程x~2+kx+k-5=0的一个根,那么,k的值等于().解由x=1是已知方程的根,那么1+k+k-5=0,∴k=2.例2若a是一元二次方程x~2-3x+m=0的一个根,-a是一元二次方程x~2+3x-m=0的一个根,那么a的值等于().A.1或2 B.0或-3 C.-1或-2 D.0或3     

一元二次方程的整数根

内容概述一元二次方程的整数根问题,将整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及面宽、范围广,且需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.例1 已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有___个.(2000年全国初中数学竞赛)分析:由于方程未指明是什么方程,因此要对a的取值进行讨论求解.略解:当a=1时,原方程即为x-1-0,有整数根x=1.当a≠1时,原方程为一元二次方程,分解因式得x=-1-1/a-1或x=1.     

巧用根的定义求代数式的值

关于一元二次方程的根的代数式求值问题,有时只用根与系数的关系求解,计算会很繁难,甚至无法解答。而借助方程根的定义,则可迎刃而解。 一、直接应用方程的根的定义,采用整体代入法求值 例1 已知a是方程x~2-3x+1=0的根,试求代数式(a~3-3a~2-2a)/(a~2+1)的值。     

涉及两个一元二次方程公根的一类求值问题的解法

在初中数学竞赛中,常常遇到以两个一元二次方程公根为内容的一类求值问题。由于此类问题课本没有涉及,因而参赛学生往往感到难以下手。下面通过举例,就这类问题的求解介绍几种常用的方法。 例1 首项系数不相等的两个一元二次方程 (a-1)x~2-(a~2 2)x (a~2 2a)=0 (1) (b-1)x~2-(b~2 2)x (b~2 2b)=0 (2) (其中a、b为正整数)有一个公共根。求a~b b~a/a~(-b) b~(-a)的值(1989年全国初中数学联赛)     

利用根的代换解题

一、利用根的代换求作一元二次方程例1 已知方程x~2—3x—2=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的各根的2倍. 解设已知方程的根为x,所要求作的方程的根为y. ∵y=2x,∴x=1/2y.