类比与猜想的威力

1 问题提出 在学习立体几何时，经常遇到利用3个平面或4个平面最多能将空间分割成几部分的问题，学生运用空间想象力，通常可以回答这个问题。然而，当进一步追问5个平面的情况时，学生就很难正确回答，这需要探讨n个平面最多能将空间分割成多少部分的一般规律,显然，单凭空间想象是很难解决的，这就需要用类比的方法从低维到高维逐步研究。     

将立体问题平面化的几点体会

不少高中学生有“恐立体几何症”，难道立体几何真的那么抽象吗?如何消除学生的恐惧心理，提高学生解决立体几何问题的能力呢?笔者认为，对于立体几何中的计算问题，可通过把立体图形转化为平面图形去解决，这是因为平面图形较为直观，容易推理，学生容易接受。     

一道立体几何题目的证明

证明一条直线与一个平面平行,是高中数学立体几何中的非常重要的几何证明.文章通过一道立体几何题目,从三个角度探究分析,依托定理、常识、空间向量,给予证明,进而培养学生观察分析的能力,培养学生运用数学语言的能力,提升学生数学建模和逻辑推理核心素养.     

立体几何教学应注意的几个问题

《立体几何》是高一学生较难理解的内容之一,究其原因,主要是学生受平面思维的束缚,尚未建立起相应的空间观念,缺乏空间想象能力和逻辑思维能力所致。笔者在教学过程中发现,把握好以下几个问题的处理,对学生学好《立体几何》至关重要。     

注意立体几何中的平面问题

立体几何的图形往往比较抽象,需要一定的空间想象力,因此,同学们解题时常感觉困难,因为立体几何的学习是平面几何学习的延续和发展,所以关键还是将空间图形与平面图形联系起来,相互转化,把空间问题转化成平面问题,剩下的部分就能轻松获解,下面就以立体几何中的折叠、展开与求最值问题为例说明.     

培养学生空间感的有效方法

学好立体几何最根本的问题,就是要建立空间感的问题,怎样才能尽快地建立起空间感呢?笔者认为一个行之有效的方法,就是从作多面体的截面入手,因为要作出多面体的截面,就要把空间问题转化为平面问题,而转化的过程恰好体现了点、线、面的空间位置关系,转化的桥梁正是平面的基本性质,在这里平面的基本性质得到了充分的应用.     

立体几何教学的几个阶段

高中学生,已经掌握了平面几何的基础知识,但要进一步学好立体几何的基础知识却不是一件简单的事.因为从平面观念过渡到立体空间观念,对大部分学生来说,必须有一个适应的过程,会产生一定的困难.因为立体几何不是只在同一平面上研究问题,而是在空间中进行研究的,这就将平面几何中点和直线之间的三种位置关系(即点与点、点与直线、直线与直线)拓展为立体几何中点、直线和平面之间的六种位置关系.因此,要学好立体几何的基础知识,首先要树立起立体空间观念,培养学生的空间想象力,做到能想象出空间图形并把它画成直观图,还要能根据画在平面上的“…     

用数列的观点推导直线、平面、空间的分割公式

一个平面最多把空间分成两部分，两个平面最多把空间分成4部分，三个平面最多把空间分成8部分，那么，四个平面、五个平面…呢？就不那么容易想象出来了，是不是16、32…部分昵？有没有一个通用的表达式呢？它与点分直线、直线分平面有何联系？能否从低维到高维逐次推出呢？下面用数列递推的观点来分析这个问题：     

Steiner分割问题和进一步探讨——兼推导空间分割数阵的通项公式

§1 引言 n条直线最多可将一个平面分割成多少区域?n个平面最多可将整个空间分割成多少区域?这就是著名的steiner直线分割平面及平面分割空间问题。关于这一问题推广与探讨,已有好多文献中论述,如[3][4][5][6]等。但获得的结论总是:     

怎样让学生更好地学好高中立体几何

《立体几何》是高中数学较难理解的内容之一,究其原因,主要是学生受平面思维的束缚,尚未建立起相应的空间观念,缺乏空间想象能力和逻辑思维能力所致。怎样让学生更好地学好立体几何呢？笔者有以下想法。1.抓好入门教学,让学生准确、牢固地理解和掌握概念、     

培养学生空间感的有效方法

学好立体几何最根本的问题,就是要建立空间感的问题,怎样才能尽快地建立起空间感呢?笔者认为一个行之有效的方法,就是从作多面体的截面入手,因为要作出多面体的截面,就要把空间问题转化为平面问题,而转化的过程恰好体现了点、线、面的空间位置关系,转化的桥梁正是平面的基本性质,在这里平面的基本性质得到了充分的应用。因此,     

立体几何中的轨迹问题

与立体几何交汇的一类轨迹问题以空间直线与平面的位置关系为依托，研究平面解析几何中一类点的轨迹．解答这类问题的关键是把空间问题转化为平面问题，一般可从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程．下面笔者从全国高考试题和有关省市高考模拟试题中精选出几例并加以分类解析，以供大家参考．     

浅谈立体几何问题的向量解法

高中数学实验教材引进了空间向量的内容,并运用向量理论来处理立体几何问题中的"点、线、面"等问题.引入空间向量,用向量代数来处理立体几何问题,体现了"数"与"形"的结合,淡化了传统立体几何教材中的"形"到"形"的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变得程序化,学生易于接受,这是向量解立体几何问题的独到之处.利用空间向量可以解决的立体几何问题主要有以下几方面:(1)利     

一图在手 万题莫挡——一个不可忽视的“立体几何”基本模型

正"怎样让学生学好立体几何"这个问题一直困扰着我们,相当多的学生对"立体几何"课程望而生畏,尤其是女生,更是谈"立"色变.问题在何处?笔者认为,主要是由"立体几何"本身的特性所致.首先,它要求学生具有高度的空间想象力和严密的逻辑推理能力;其次,从"平面立体几何"到"立体几何"思维跨度太大,出现思维断层,加之"平面纸"上研究空间几何关系,就显得无从入手,很不     

空间几何体截面的作法

在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径.本文以江苏教育出版社必修2的23页的例2引申出过空间不共线三点作空间几何体的截面的常见方法.     

体验“动态”立体几何问题的魅力

<正>立体几何是一门让学生体验数学"美"、锻炼空间想象能力以及逻辑思维能力的科学,例如几何体的表面展开可以把空间问题转化为我们熟知的平面几何问题,使问题简单明了;旋转体的形成过程可以把平面图形向空间几何体转化,让人产生无限的遐想."动态"的立体几何问题,不仅可以增加问题的趣味性,还能激发学生的学习兴趣,让学生主动去思考、钻研.在立体几何的学习中,渗透动态元素,赋予其新的活力,就会使立体几何问     

从空间分割问题看数学中的类比、归纳和猜想

一、问题的提出和解决在空间,两两相交且三三不共线、无四面共点的五个平面将空间分成几部分?推测并证明。个这样的平面将空间分成几部分? 一般地,会从n=1,2,3去猜测答案.但当n≥4时答案似乎不太明了。为了寻找规律退而考虑平面内的类似问题:n条两两相交且无三线共点的直线分乎面所成份数。再简单一点的,如n个不同点分直线所成的段数. 1.一个类比:尝试从三条直线分割平面的情况与四个平面分割空间问题作类比. 观察(图1),平面上这三条直线构成了一三角形的三边,把平面分成三部分:一是三角形内部为一个;二是与三角形共一边的有三个;再是与三角形共顶点的也三个。所以,P(3)=1 3 3=7.     

立体几何中的折叠、展开与动点问题

1考查要求 立体几何中的折叠、展开与动点问题着眼于对学生空间思维能力的考查，立体几何中有许多形式各异的折叠问题．一个平面图形经折叠后成为一个空间图形，此时图形的结构发生了突变，从二维的平面图形一跃成为三维的空间图形．而以立体几何为载体的轨迹问题能将立体几何与解析几何巧妙地结合起来，常常涉及函数、数形结合、建模、化归等数学思想与方法，立意新颖，综合性强，能力要求高，教师在教学中可集中讲解这类问题．     

例谈升维类比

升维类比是类比的一种重要形式,它能将平面中的诸多性质类比到空间三维甚至是多维中,文[1]给出了升维类比的一个很好范例.本文中笔者也将对平面中的几个性质进行升维类比,旨在提高升维类比的意识和创新能力.     

浅谈立体几何解题能力的培养

从培养学生空间想象能力,化立体为平面,深入把握基础知识三个方面阐述如何培养学生的立体几何的解题能力。