关于一道IMO竞赛题

本刊19,2年第10期为一道IMO竞赛题提供了五种证法,原题如卜:设工,岁,之是满足二十夕十:~I的非负数,证明 。‘。十,·十二一2二、异·(,) 上式右端的不等号较难得到,本文对有关的一类问题提供一种统一的新解法.考虑 f(x,,,:;l)一习十y: 二一t刁:(2)的最大滇问题,其,1,,l>O是固定的,:,夕,:仍为满足工 梦十:=l非负数. 容易验证下面的式子 (l一Lx)(l一匆)(l一七)=l一t l,f(z,梦,之;之).(3)因之,求f的最大滇问题化为求 夕(x,少,之;l)=(1一 tx)(I一l梦)(I一众)(4)的最大流问题.对任一组如上所定的(x,岁,:),不妨设x)梦)乙 I。若I一七)。,l一勿…     

关于一道例题的注记

许多数学分析教科书在中值定理这一部分内容中都讲到了下面的一道例题,且证法类似(参见[1]、[2])。笔者认为,这道例题的结论是对的,但这些证明是不完全的。本文先指出其证明缺陷之所在,再给出严密的证明。为了便于讨论,先将[1]中第209页例4抄录如下: 例如果函数f(x)在点α的邻域内连续,除α外可导,且(?)f′(x)=ι,则函数f(x)在点α可导,且f(α)=ι。     

关于一道中学物理竞赛题的讨论

第 1 8届全国中学生物理竞赛复赛试卷的最后一题 (略 ) ,参考解答给出了一种解答和讨论 .粗看起来 ,似乎对其计算结果有些疑惑 ,从井口算起 ,G1上升的最大高度为 :H2 =m2 E0m1g(m1+m2 ) + 2 E0 m2 hm1g(m1+m2 ) .与解除锁定处到井口的深度h有关 ,随h的增大而增高 ?有人认为在解除锁定后 ,下部G2 的速度v2=0的情况下 ,H2 应获极大值 .这显然与此答案不符 .为了更深刻理解玩具“火箭”的发射情景 ,本文从另一角度对题中第二问题进行讨论 .首先 ,应明确将玩具“火箭”的上部G1和下部G2(含弹簧 )以及地球组成一系统 ,忽略空气阻力 ,系统的机…     

关于一道数学竞赛题的解答

中学数学奥林匹克竞赛辅导(中国标准出版社)P121—125中有这样一道题: 一个给定的凸n边形A_0A_1A_2…A_(n-1),用不在形内相交的对角线将它分成n-2个三角形,问有多少种不同的分法? 该书的解答是错误的,为便于分析,我们将解答译要抄录于下: 解:记分法数为S_n,易见S_3=1,S_4=2我们来建立凸k 1边形分法数S_(k 1)与S_k、S_(k-1)的递推式.     

关于一道竞赛题的错解

本刊90—7刊登了张承宇的一篇文章,该文讨论88年全国初中数学联赛的一道试题:一串数1,4,7,10,…,697,700的规律是:第一个数是1,以后的每一个数等于它前面的一个数加3,直到700为止。将所有这些数相乘,试求所得数的尾部零的个数。张的解法是错误的,现将其解择要摘录:这些数的连乘积中因子2的个数比因子5的个数多,所以只要求因子5的个数。这些数的特征是被3除余1,而被3除余2和被3整除的数都被剔除,剩下的数只占三分之一,因此在     

关于一道集合竞赛题的再议

文[1]从一道浙江省数学竞赛题的解答中,引出并推广至求Tk之一般公式.设X为n元集合,A1A2,…,Am为X的全部子集,Tk定义为.     

关于一道数学竞赛题的思考

第17届全苏中学生数学竞赛有这样一道题; 是否存在不同的奇自然数k、l及m,使等式: 1/(1991)=1/k 1/l 1/m得以成立? 竞赛答卷给出的解答如下: 因为1991=11×181,可来寻找形如 1/(1991)=1/x 1/(11x) 1/(181x)这样的分解形式,不难解出x=2183。这说明 1/(1991)=1/(2183) 1/(24013) 1/(395123)。如此该题的解答已经得到。试卷答卷还作下列注释: 本题尚有其它的奇数解,例如 1/(1991)=1/(2123) 1/(34933) 1/(384263) =1/(2353) 1/(13937) 1/(181181)     

关于一道竞赛题的三个结论

第22届全国中学生物理竞赛复赛题第六题。两辆汽车A与B,在t=0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如图1所示。汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛,求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u,且当然有u>vA、vB。解法一如图2所示,设经时间t,汽车A、B的位移分别为xA、xB,AB连线与x轴的夹角为θ。则:xA=vAt,xB=vBt,sinθ=xBx2A x2B=v2Av Bv2B,cosθ=x2Ax Bx2B=v2Av Bv2B。vA,vB在A、B连线上的分量分别为v′A=vAcosθ=v2Av2 Av2B,v′B=vBsinθ=v2Bv2A v2B。代入多普勒效应公式有:v=…     

关于一道竞赛题的三个结论

第22届全国中学生物理竞赛复赛题第六题。两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口0处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图1所示。汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知声速为u，且当然有u〉vA、vB。     

关于一道平几难题与一道国际数学竞赛题

贵刊在1992年第5期上发表了肖华光老师对一道平面几何难题的几种巧妙证法,对我启发很大。 题目:已知(如图1)I是△ABC的内心,HD是内切圆I过切点D的一条直径,连AH延长交Bc于E。B 结论:BE~CD。ED 我发觉此题的结论与第33届国际数学奥林匹克试题的第4小题有密切联系。 题目:在一个平面中,C为一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M为l上的一点,试求具有如下性质的所有点尸的集合:在直线l上存在两个点Q和R,使得M是线段QR的中点,且C为三角形尸QR的内切圆。 分析:联系上述平几难题,设p是所求集合中的一点,过切点D(点D任L)作圆周C的直径DH,…     

关于一道物理竞赛题的多种解法

相互接触物体的速度关联问题是物理竞赛中的基础问题,也是令许多教师和学生感到较为棘手的问题。本文尝试着用多种方法解析此种常见的物理问题,以求找到解决此类问题的一般方法。 题目（第11届预赛题）。顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动,其下端的凸轮绕0轴以匀角速a,转动,如图1所示的瞬间,OA=r,凸轮轮缘与A接触处法线”与OA之间的夹角为a,试求此瞬时顶杆AB的速度。     

关于一道土耳其竞赛题的初等证明

在2006年土耳其数学奥林匹克国家队选拔考试中,有一道不等式的证明题,如何用初等的方法进行证明,学生常感难度较大．从问题的结构入手,利用换元法探路,恒等式搭桥,对问题给出了多种证法,从中也揭示出这道竞赛题所孕育的丰富的知识内涵．     

关于一道竞赛题的六种解法

思考题:110=(1) (1)110=(1) (1) (1)110=(1) (1) (1) (1)解法1:用分数的基本性质将110变成等值新分数,再将新分数的分子分成分母相同的几个不同约数之和,约分求解。110=110××33=330=310 320=310 115110=110××66=660=610 620 630=610 310 210110=110××1122=11220=1210 122     

关于一道几何竞赛题的一点意见

重庆市第一届初中学生数学竞赛试题中的第四题除公布之解法外,还可以用解析法等证明。现在我们准备用下面一种方法证明。为了说明方便,将原题按如下方法叙述。“如图,直线l同侧有相邻的三个等角∠BAD、     

关于一道数学竞赛题的解法探讨

本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法.     

一道竞赛题新探

题：如图１,设△ＡＢＣ是直角三角形,点Ｄ在斜边ＢＣ上,ＢＤ＝４ＤＣ．已知圆过点Ｃ,且与ＡＣ相交于Ｆ,与ＡＢ相切于ＡＢ的中点Ｇ．求证：ＡＤ⊥ＢＦ．本题为１９９９年全国初中数学联合竞赛第二试第二题,具有一定难度和探索性．本文对此题作如下思考．一、题目的多种新解法解证此题的关键是得出∠ＡＢＦ＝∠ＣＡＤ,故有以下新解法．解法１：如图１,设∠ＣＡＤ＝α,∠ＡＢＦ＝β,由ＢＤ＝４ＣＤ,有Ｓ△ＡＤＣＳ△ＡＤＢ＝１４１２ＡＤ·ＡＣ·ｓｉｎα１２ＡＤ·ＡＢｓｉｎ（９０°－α）＝１４ＡＣＡＢ·ｔｇα＝１４．由Ａ…     

纠正一道竞赛题

1991年南昌初r中竞赛有一道试题:“设x,u,z 是三个实数,且有1/x+1/y+1/z=2,1/x~2+1/y~2+1/z~2=1则1/xy+1/yz+1/zx 的值是( ),(A)1,(B)2~(1/2).(C)3/2.(D)3~(1/2).我认为这是一道错题.事实上,满足题设条件的实数 x,y,z 不存在,当然也就谈不上     

欣赏一道竞赛题

第21届全苏数学八年级竞赛有一道试题如下：     

设计一道竞赛题

问题在下列等式的口内填人适当的、同样的1位数字,使得等式 口3 x 6 528=8 256 x3口成立.(江苏省第十七届初一第1试数学竞赛题) 解法一原等式可变换为8 2566 528 一一43一34 口内填数字4. 解法二原式左端乘积的末位数字是4,右端乘积的末位数字也应该是4.故困. (有一点冒险性,但速度快,可锻炼你的冒险精神.) (反思)题中4个数是两两“对称,,的,43与34,6 528与8 256,显得很美.你一定要问:这种对称性是怎样设计的呢?过程如下: 设以下等式成立,abcd X 43一凌ba只34,显然有 且。相似文献