线段垂直的一个充要条件及应用

定理 线段AB与CD垂直的充要条件是AC~2-AD~2=BC~2-BD~2. 证明 [1]必要性由勾股定理即可得出.下面证明充分性（图 1（1)),记∠AOC=α,∠AOD=β,应用余弦定理有     

多元函数条件极值的充分条件

《数学通报》1998年第1期《对<关于条件极值的一个充分性条件>一文的讨论》,本文指出文[2]中的定理证明仍是不正确的,然后由多元函数极值的充分条件得出多元函数条件极值的充分条件.文[2]中只是证明了与M中形式为( x_0 t,y_0 t,z_0 t)的点比较,(x_0,y_0,z_0)是函数f(x,y,z)的极小值点.但M中任何一点并不都能表示成(x_0 t,y_0 t,z_0 t)的形式,因此文[2]中定理证明不正确.     

I.J.Matrix定理的进一步推广

文[1]将I.J.Matrix定理作了推广,本文运用Lagrange插值公式对文[1]中的定理1又作了推广,并给出了文[1]中定理2的简化证明。     

关于多元函数可微的注记

一般数学分析教材中(如[1]),都给出多元函数可微的充分性定理是:偏导数f′_x,,f′_y,f′_z不仅在点(x_0,y_0,z_0)处存在,并在它的某一邻域内也存在,此外,它们(作为x,y,z的函数)在这点连续,则函数u=f(x,y,z)在点(x_0,y_0,z_0)处可微。文[2]用另一种方法证明Henle的如下定理:如f:R~2→R的偏导数存在,且至少有一个偏导数连续,则f可微。文[2]并指出这定理在n≥3元时的相应命题一般不真。     

两个优美的多圆共球定理

在拙文[1]中,我们定义了球内接多面体的伪垂心概念,并揭示了它的一串有趣性质.本文拟沿用文[1]中的有关概念及符号,导出两个优美的“多圆共球”定理,这两个定理都与球内接多面体的伪垂心密切相关.先建立如下概念和引理:定义1所谓一个圆在某个球面上,是说这个圆上所有的点都在该     

相似形复习中加强对两个复习题的指

众所周知,在平面几何里,梅涅劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceva)定理常被用来证明几何图形中的点共线和线共点问题,有关这方面的教学已经超出了中学数学教学大纲的要求,因而对中学生、特别是对初中学生讲这方面的内容,是并非必要的.部编初中数学课本对这两个定理作了适当的处理,把它们安排在讲过相似形后的复习题中,(见全日制十年制学校初中数学课本几何第一册第235页)为便于引用,现将这两     

唯一分解整环R上不可约多项式的一些判别准则

修改文献[6]中定理的条件,获得了两个判别唯一分解整环R上偶次多项式不可约的充分性定理,并得到了两个新的推论.     

用相似比探究线段间的关系

1 关于斯坦纳—雷米欧斯定理的证明 该定理1840年由德国数学家雷米欧斯正式提出,经几代数学家、数学爱好者百余年的探究,目前其证明方法已有近百种之多.文[ 1]和文[ 2]分别推荐了一种反证法和直接证法,应该是最接近初中生知识背景的办法了.但两个办法都用了已经淡出初中教材的结论,从而增加了初中生理解的难度.     

换个角度解决一类平几题

文[1]、[2]中的例题,都是求两条线段的比或证明四条线段成比例,其几何图形都存在四组三点共线,六个相交点这一基本特征．解决这类问题的方法是选择其中一点作平行线,利用平行线分线段成比例定理解决（文[1]介绍的方法）;或利用杠杆平衡原理来处理（文[2]介绍的解法）,     

相似三角形的性质

关于“平行线分线段成比例定理”的教学 ,初中《几何》教材[1] [2 ] 都是采用举例引入而不予证明的方式编排的 .为什么不给出证明呢 ?据说是因为证明涉及无理数理论、极限思想等 ,学生尚不能接受[3] .下面给出一个无须涉及无理数理论、极限思想的证明 ,供教学时参考 .定理　如图 1 ,△ABC中 ,若DE∥BC ,则 DEBC =ADAB=AEAC=MNMC(其中MN和MC分别是△ADE和△ABC的高 ) .证明　如图 1所示 ,构造 AFBC ,过D作GE∥BC ,过D作HK∥AC ,过C作CM⊥直线FA ,垂足为点M ,而交直线GE于点N .∵S△AFB=S△ABC,S△AHD=S△ADE,S…     

关于级数的亚一致收敛性

我们利用一致收敛原理研究级数和的函数性质时,有定理:设函数u_n(x)(n=1,2,…)定义在区间[a,b]上,且连续,如果级数sum from n=1 from ∞ u_n(x)在[a,b]上一致收敛,那么级数和f(x)在(a,b)上是连续的。这里对级数和f(x)的连续性而言,一致收敛性只是充分条件,而不是必要条件。充分性的证明不难作出,关于条件的非必要性也不难用例子表明。例如级数     

与圆有关试题的解析

一、西姆松定理应用西姆松定理:从一点向三角形的各边所引垂线的垂足共线的充要条件是,该点落在三角形的外接圆上.下面仅给出充分性的证明,必要性的证明只需将上述证明倒过来就可以了.     

I.J.Matrix 定理的再推广

文[1]推广了I.J.Matrix定理,在文[1]的基础上,用Lagrange定理对文[1]中的定理1又作了进一步推广,并给出了文[1]中定理2的一个简捷证明。     

蝴蝶定理的妙用及变式推广

<正>一、理论背景1．圆中的蝴蝶定理蝴蝶定理是平面几何中最优美的结论之一,这个定理因图形像一只蝴蝶而得名．该定理的证明有较多方法,这里介绍简便易懂的面积法证明[2]．蝴蝶定理如图1,点M是圆O中弦AB的中点,CD,GH是过点M的两条弦,连结CH,DG分别交AB于点P,Q,则MP=MQ.     

两条二次曲线相切的一个定理及应用

1 定理的提出及证明 对于两条二次曲线公共点个数问题,文[1]例示了“双判别式法”,文[2]介绍了利用一元二次方程根的分布知识求解的方法。本文先给出一个判定两条二次曲线相切的定理,再说明定理在求解两条二次曲线交点个数问题时的应用。     

将矩陣看成是线性变換来証明矩陣秩的一些性质

关于矩阵秩的一些性质的证明,有各种各样的方法,文献[1]用分块矩阵的方法给出证明,这是一种较为统一的方法。但这些方法存在的不足是只给带不等号“≤”的式子,一般都未讨论等号成立的条件,而且只能在已知结果的条件下给出证明。这里的方法将其与空间的维数联系起来,几乎都是用等式推导,不但可以给出等号成立的条件,而且较[1]给出的方法更简明一些。先给出两个基本定理:基本定理1:设A:S~n→S~m是线性映射,则     

用相似比探究线段间的关系

<正>1关于斯坦纳—雷米欧斯定理的证明该定理1840年由德国数学家雷米欧斯正式提出,经几代数学家、数学爱好者百余年的探究,目前其证明方法已有近百种之多.文[1]和文[2]分别推荐了一种反证法和直接证法,应该是最接近初中生知识背景的办法了.但两个办法都用了已经淡出初中教材的结论,从而增加了初中生理解的难度.笔者经过研究,也发现了一个相对"节省"的办法:     

多元函数条件极值的充分性条件研究

本文给出了一般情形下的多元函数的条件极值的充分性条件定理,并对之给予了证明。最后对定理在求解条件极值中的应用举例说明     

再证一道MO试题

在文[1]、[2]、[3]、[4]中分别给出了下面一道 MO 试题的证明方法.包括解析法,向量法,平面几何证法,其中平面几何证法中,有用了梅涅劳斯定理,和避开这一定理,适合初中学生,但证明时,其辅助线较多,证明也不够明快,下面再给一种证法.     

塞瓦定理在证题中的应用

塞瓦定理是解决“三线共点或互相平行问题的”,现行初中《几何》课本(第一册1983年11月第1版,第二册1984年10月第1版)中的有些问题,用塞瓦定理证明,不添辅助线,简单明了。有的问题,三条线段共点或互相平行同时存在,用塞瓦定理就能够一次完成这样的证明(如本文中的例3)。