介绍一类数列通项公式的求法

学习“数列”常需研究通项公式,有些数列的通项公式比较难求。例如数列: ——1,3,0,4,1,5,2,6,3……(1) 4,1,7(1/4),3,11(1/(16)),5,15(1/(64)),7……(2) 上述两数列的通项公式怎么求呢?我们先从简单的数列谈起: 对于数列b,0,b,0,……(3)它的一个通项公式是a_n=b((-1)~(n 1) 1)/2。     

浅谈用待定系数法求数列通项公式

题目(人教版必修5P77第6题)已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?     

运用函数思想解数列问题

由于数列是定义域为自然数集的函数,因此函数的思想是贯穿数列的一种重要思想方法.等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式都可以看作是n的函数,借助有关函数的定义性质来解决数列问题,常能起到化难为易的作用,本文列举几例分类剖析.一、运用函数单调性解数列问题例1已知数列{an}的通项公式为an=9n(n+1)10n(n∈N),问n为何值时,an最大?分析:因为an+1-an=9n+1(n+2)10n+1-9n(n+1)10n=9n10n+1(8-n),所以当1≤n≤8时an关于n是增函数,当n≥8时an关于n为减函数,由此可知当n=8时,an=an+1最大,即a8、a9为最大.例2已知数列{an}的通项公式是ak=1n+…     

错在哪里

同学们在平时解题过程中,喜欢拿到题就做,不注意审题,缺乏周密思考,往往出错还不知道错在哪里.下面就数列问题举例说明,以期引例起1大家的注意.已知有穷数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式.(2)指出1+4+7+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.错解:(1)这个数列的通项公式为an=3n+7.(2)1+4+7+…+(3n-5)是该数列的前n项之和.错因:(1)若n=1,则a1=10≠1.显然3n+7不是它的通项.(2)该数列的通项不是3n-5,所以1+4+7+…+(3n-5)不是它的前n项之和.正解:(1)数列的第m项am=1+3(m-1)=3m-2,所以该数列的通项公式是am=3m-2(m…     

课本例题给我的启示(高一、高二、高三)

高中数学课本中“数学归纳法”一节有这样一个例子:数列的前4项a1、a2、a3、a4都是1,而且a5=25,这个数列有通项公式an=(n2-5n+5)2.这个表达式给我们某种神秘感,如果把它仅作为说明某问题的一点材料。随便看一看,也就丢开了.但当时我产生一种想法:an这个通项公式是怎样得出来的呢?自己能否写出一个类似的“通项公式”如g(n)。可使g(1)=g(2)=…=g(5)1,而g(6)≠1呢?     

求递推数列通项的思路和方法

给了数列的递推公式和初始值,起何求它的通项呢?下面通过例题说明求这类数列通项公式的一些基本思路和方法。例1 已知数列{a_n}的项满足: 求通项a_n。我们知道,数列的项a_n是自然数n的函数,递推式是一个循环方程, 实际上是未知数为a_n,a_(n-1)……a_2的函数方程组: 根据递推数列的这一本质特征,求通项a_n就是解方程组(*),求得未知函数a_n。     

利用递推方程求数列的通项公式

在有关数列的问题中,我们有时会遇到已知数列的首项a_1(或a_1、a_2)及数列中连续两项或三项的递推方程(有的书中称为循环方程或差分方程)如a_n+1=Ma_n+N;a_(n+2)=Ma_(n+1)+Na_n,要求写出它的通项公式。我们通常采用的方法是由已知写出数列的前几项,接着通过观察、归纳,猜想出一个通项公式,最后用数学归纳法予以证明。然而有些数列的通项公式,不是那么容易归纳出来的,如有名的斐波那契数列(即后面的例4)便是如此。怎么办呢?本文通过数例试图说明解决此类问题的方法。     

常见数列通项公式求法综述

设Sn是数列{an}的前n项和,n∈N.题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2),题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2)例1 在数列{an)中,a1 a2 … an=3n,求数列{an)的通项公式.     

一类递推数列通项公式的解法

<正>在数列中有一类重要的递推数列{a_n},需要求它的通项公式,这类数列满足条件:a_1=α,a_2=β,且a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_n(其中p,q均为常数).如何求其通项公式a_n呢?本文用三种不同解法加以阐述,以飨读者.一、构造法     

一个可以写出不足近似值数列通项公式的无理数

给定一个数列,问能否写出它的通项公式?答案是:如果数列是有限数列,则一定可以写出它的通项公式;如果数列是无限数列,则不一定能够写出它的通项公式.例如由π的不足近似值数列构成的数列,直到现在尚未见到有人写出它的通项公式.于是问:是否存在可以写出不足近似值数列通项公式的无理数?答案是肯定的.下面就构造一个可以写出不足近似值数列通项公式的无理数.……     

递推数列 通项精析

江苏宜兴市丁蜀高级中学(214221)汤文兵金晓政对递推数列通项公式的考察在近几年高考题目中占着不小的比重.仅在2005年的高考中,有关递推公式的试题就不少于10题.因此,研究由递推公式求数列通项公式是很有必要的.下面谈谈递推数列通项公式的求解策略.一、观察、归纳、猜想【例1】设数列{an}的首项a1=a≠14,且an+1=12an,n为偶数,an+14,n为奇数,记bn=a2n-1-14,n=1,2,3….(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.解:(1)a2=a1+14=a+14,a3=12a2=12a+18.(2)∵a4=a3+14=12a+38,所以a5=12a4=14a+316,所以b1=a1-14=a-14,b2=a3-14=1…     

递推法求通项举隅

在解决数列问题时,常常涉及到求通项问题.求通项方法繁多,下面着重谈谈递推法.一、已知一数列的和式为 S_n,求此数列通项 a_n.由 S_(n-1) a_n=S_n,便有 a_n=S_n-S_(n-1).但是,a_1不一定满足通项 a_n.因为 S_(n-1) a_n=S_n 表明第 n 项前不一定符合所求得的通项,由递推知,a_1不一定满足所求通项.那么,是否满足某一条件后,使得 a_1也满足所求得的通项呢?a_1究竟怎么确定呢?     

累加法在求数列通项公式中的应用

当数列{an}的递推公式为an 1=an f(n)时,通常使用"累加法"求其通项公式.即将an=an-1 f(n-1),an-1=an-2 f(n-2),……,a2=a1 f(1)各式相加得:an=a1 n-1∑k=1f(k)(n≥2).下面举例说明累加法在求数列通项公式中的应用.     

一类循环数列的求和公式

在中学代数学习中,常常会遇到要求循环数列9,99,999,……,99.··…9:项和。对于这个例子我们是不难解决的,9=10一1一99~1 02一1一999一10一1 七:个9口因为原数列的每一项可分别变形为:99……9一10’一1,……,所以它七。个gJn项和为S:=(10一1)+(10“一1)+(10“一1)+……+(10”一1)前前的的~(10+1 02+10“+……+10”)一n10(10“一1) 10一1一合(‘”·“一9一‘。,在这个解题过程中,主要的思想方法是将给定的数列每一项恒等变形,的求和公式,最终获得解决。 据此,我们便可类似地获得下述结果,并用定理的形式给出。 ……(I)使之能利用等比数列…     

用好“裂项求和法”求数列的前n项和

在数列求和的基本方法中,往往在教学中教师可能更重视倒序相加法和错位相减法,而忽视了对另外的一种重要方法裂项求和法的深入探究.先来看下面的二个例子:例1求数列{1/n(n+1)}的前n项和S n.分析在求数列的前n项和时,通常需要研究数列的通项公式.该数列的通项公式为an=1/n(n+1),容易发现,这个数列既不是等差数列又不是等比数列,那么,怎样求该数列的前n项和呢?我们知道,欲求该数列的前n项和,其关键就是要探求数列的通项公式所隐含的内在规律.由于an=1/n-1/(n+1),于是,该数列的相邻的各项之间可以消去互为相反数的项,从而     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

叠数数列通项公式的探求

高中教材及各种教学资料中没有把叠数数列鲜明地提出来 ,即使出现一些比较简单的叠数数列 ,也让人感到无从下手 .本文欲通过叠数数列通项公式的探求 ,让大家掌握对任意位数叠数数列通项公式的求解 .1　一位数的叠数数列的通项公式观察下面几个数列 :1 ,1 1 ,1 1 1 ,1 1 1 ,…2 ,2 2 ,2 2 2 ,2 2 2 2 ,…3,33,333,3333,……………9,99,999,9999,…像这样首项为 1位数 ,以后各项都是首项的数字重写 ,且重写的次数与项数相同的数列 ,称为一位数的叠数数列 .最大一位数叠数数列的通项公式易得 an=1 0 n- 1 ( n∈ N) ,且自上而下各数列相对应项…     

递推公式a_(n+1)=Aa_n+B巧解

数列问题往往是将已知数列转化为两个基本数列而得到解决 .本文通过实例说明 ,对于一类由递推公式ａｎ+ 1=Ａａｎ+Ｂ给出的数列ａｎ ,如何化为基本数列使问题得到解决 .题　已知数列 ａｎ 中 ,ａ1=2 ,ａｎ+ 1=2ａｎ+3(ｎ∈Ｎ ) ,求通项公式ａｎ.解　在ａｎ+ 1=2ａｎ+3两边加 3,得ａｎ+ 1+3=2ａｎ+6 ,即ａｎ+ 1+3=2 (ａｎ+3) ,变形 ,得　　 ａｎ+ 1+3ａｎ+3=2 .所以 ,新数列 ａｎ+3是以ａ1+3=5为首项 ,2为公比的等比数列 ,从而ａｎ+3=5 · 2 ｎ-1,即所求数列 ａｎ 的通项公式为ａｎ =5 · 2 ｎ-1- 3(ｎ ∈Ｎ ) .有同学要问 ,你是如何想到两边…     

从一道数列题谈培养学生探索能力

高中《代数》教材中有一道习题: 已知数列{a_n}的项满足a_1=6,a_(n 1)=ca_n d,其中c≠1,证明这数列的通项公式是 a_n=(bc~n (d-b)c~n-d)/c-1 现在的问题是:该公式是如何由递推关系推导出来的呢?引导学生通过试验、观察、归纳等方法寻求通项公式,能培养学生的探索能力,下面是几种探索方法。     

高中数列通项公式问题的常见解题方法

<正>《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,数列是特殊的函数,并要求学生通过探索数列的变化规律,建立通项公式[1].数列是高考的重量级常客,教材中关于数列的知识并不是很难,但题型却千变万化,灵活度较高,特别是求数列通项公式这部分内容.本文主要通过几道例题,总结归纳求数列通项公式的一般方法.例1已知数列{a_n},其中a_1=1,a_n=a_(n-1)+3(n≥2),求数列{a_n}的通项公式.分析本题难度较低,主要考查学生对等差数列定义