利用导数证明一类组合恒等式

利用求导数证明一些组合恒等式是一种好方法．下面以一类组合恒等式为例。     

构造恒等式 证明不等式

不等式证明的难度较大，方法灵活多变，本文想从构成恒等式的角度，给出一些常见不等式的基本证法，为数学课外活动提供一点有益的素材．     

一类恒等式的证明

形如f(1)+f(2)+…+f(n)=F(n)的恒等式,除用数学归纳法证明外,还可用这样的方法,即证F(n)-F(n-1)=f(n),F(0)=0。于是f(1)=F(1),f(2)=F(2)-F(1),f(3)=F(3)-F(2),…,f(n)=F(n)-F(n-1),逐项相加得f(1)+f(2)+…+f(n)-F(n)。完全类似地,对形如f(1)·f(2)…f(n)=F(n)(f(n)≠0)的恒等式,可证F(n)/F(n-1)=f(n),F(0)=1。于是,f(1)=F(1),f(2)=F(2)/F(1),…f(n)=F(n)/F(n-1),逐项相乘得f(1)·f(2)…f(n)=F(n)。此法适用于代数,三角恒等式,证法简捷。例1 求证cosx+cos2x+……cosnx     

一类恒等式的证明

在一些课本,如著名的初等代数教程(法国布尔勒著,有中译本)或习题集中,要求证明下面的一类恒等式: 已知a b c=0,求证 (a~5 b~5 c~5)/5=(a~2 b~2 c~2)/2·(a~3 b~3 c~3)/3;     

一类具有已知条件的代数恒等式证明的一般方法

对于复杂一点的具有已知条件的代数恒等式的证明,因技巧性强,学生不易想到,往往感到比较难,无从下手．     

三角恒等式的证明技巧

三角恒等式的证明，在未掌握证题的一般规律及命题的内在联系时，往往是盲目套用公式，常使证明钻进“死胡同”或“回到原地”．若能注意归纳类型，总结经验，掌握技巧，则三角恒等式的证明就有章可循，有法可依．[第一段]     

恒等式的证明

为了给初中数学竞赛辅导及赛题研究提供实用资料,本栏目2008年继续刊发初中数学竞赛专题讲练,2008年共有10个专题.希望读者在使用中提出惫对本栏目内容的要求和建议.     

一类三角恒等式的证明

本文作为数学课外小组活动的内容.主要介绍在三角形ABC的条件下,一类三角恒等式的证明问题.为了方便起见,下面的题目不再注明A+B+C=π这个条件.     

一个三角恒等式的浅显证明

文 [1]中给出如下问题 :设 sin4xa +cos4xb =1a+b,a>0 ,b>0 ,证明 :对任意正整数 n,都有 sin2 nan-1 +cos2 nxbn-1 =1(a+b) n-1 .文 [1]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .文 [2 ]通过构造椭圆及其切线来证明 .上述两种方法思维要求比较高 ,不易想到 .其实本题直接应用三角式的变形 ,简捷浅显 ,以下给出上述问题简证 .证明　由 sin4xa +cos4xb =1a+b,得 a+ba sin4x+a+bb cos4x=1,即 basin4x+abcos4x+sin4x+cos4x=1.又 sin4x +cos4x =(sin2 x +cos2 x ) 2 -2 sin2 xcos2 x=1- 2 sin2 xcos2 x,则 ba…     

拆分冒泡排序的算法与实现

介绍了快速排序和冒泡排序的基本思想和算法时间复杂度,将两种算法结合提出了拆分冒泡排序算法,并用C语言实现算法,最后分析此算法的时间复杂度.     

一个不等式的证明及推广

通过一个典型的条件不等式的多种证法 ,介绍了解不等式证明题的一些常用方法和技巧。给出了这个不等式的一个推广。     

快速排序的一种改进算法

快速排序是一种常用的排序方法,在所有内部排序方法中其平均性能是比较好的,但若基准元素选择不好的话,则可能变为“慢速”,最坏情况下其时间复杂度为O（n^2）。本文设计一算法采用所有待排元素关键字的均值为基准进行排序,其排序速度得到大大地提高,可以有效地避免出现“慢速”的现象。     

冒泡排序算法的改进

传统的冒泡排序算法存在着效率不高的缺陷,经过深入分析论证提出了改进的方法,并编程予以实现,提高了算法效率.     

一种改进的自索引排序算法设计与分析

在自索引排序算法研究基础上,从对待排的数据进行优化处理角度,提出了一种新型自索引排序算法,给出了算法思想、算法描述和算法分析,其理论意义在于将自索引排序算法的空间复杂度o（n＋m）（其中m为待排的数据序列最大值）改进为o（△m）（其中△m为关键字变化范围）,对比实验结果分析表明,改进后的算法有更好的排序效果．     

一种基于排序的新型遗传算法

提出了一种新型遗传算法,算法的遗传操作是基于排序的模式下进行的,且根据每代种群的集中度对种群进行一定数量的突变.最后对几个标准函数进行了试算,结果表明算法具有良好的效果.     

在教学中对冒泡排序算法的改进

冒泡法的基本思想是通过比较在待排数组中相邻元素的值来进行,在每一趟比较过程中使较大的元素向下＂沉＂而较小的元素向上＂浮＂,从而完成排序的目的.为提高排序效率,可以分别从两头交替扫描进行冒泡排序,即采用＂两头冒泡法＂对其改进.     

基于Flash的冒泡排序算法的演示实现

本文利用简单易用的Flash和ActionScript技术,实现了仿真较高的冒泡排序算法的实现过程,具有直观,易于接受,逼真等特点,这对研究冒泡排序算法来说,具有一定的意义。     

等价关系的判定及相关算法

等价关系是离散数学的一个重点问题,而等价关系的判定是一个难点。对于某个关系来说,判定它是否等价的过程比较繁琐。文中给出了判断等价关系的一个充要条件及用关系矩阵判断的方法,并在计算机上实现了具体算法。     

基于二叉排序树的最佳适应算法

当前操作系统在管理内存时,常采用最佳适应算法对空闲内存块进行分配,但该算法存在效率不高、时空消耗大的缺点,对此提出基于二又排序树的最佳适应算法,改变原有的最佳适应算法中把所有空闲分区按容量大小顺序连接成空闲分区链的特点,而把所有空闲分区组建成一颗二叉排序树,进程发出请求时,根据二叉排序树的性质依次查找满足条件的空闲分区,并在分配后重组二叉排序树,保证二叉排序树的结构不被破坏,改善现有的最佳适应算法在查找过程中的效率问题.