数学课本一道例题的引伸

《高级中学课本代数上册（必修）（1996年修订本）》（以下简称《课本》）中有这样一道例题:第55页例2.已知函数f（x）是奇函数, 而且在（0, ∞）上是增函数。f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数? 随后,《课本》中又有下面两题。 练习（第57页）3.已知函数f（x）是偶函数,而且在（-∞,0）上是增函数。f（x）在（0, ∞）上是增函数还是减函数? 习题五（第59页）10. 已知函数f（x）是奇函数,而且在（0, ∞）上是减函数。f（x）在（-∞,0）上是增函数还是减函数?     

例析函数性质的应用

函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质,在解决函数问题中起着非常重要的作用,主要用于判断函数的单调性、求最值、求参数的取值范围等,下面举例说明. 一、判断函数的单调性 例1 已知f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)＜0,试问F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的结论.     

对分类讨论法说“不”

在处理比较复杂的数学问题时,分类讨论法是经常采用的方法之一.但若形成了思维定势,对所有较为复杂的数学题,都采用分类讨论法,都不去考虑数学问题本身的结构特点和所隐含的数学解题思想方法,势必会增加解题的运算量,误入歧途,于事无补.【例1】定义在R上的奇函数f( x) ,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,对于任意的θ∈[0,2π] ,均有f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0,试求实数m的取值范围.分析:首先看一看比较常规一点的解法———分类讨论法:因为f(x)是在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f( x)在(-∞,0]上也是增函数,所以f(x)在R上是…     

函数定义域与函数有意义的混淆

设函数的定义域是(-∞,1],求实数α的取值范围．错解:由题意知1+3x+a·9x≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,即a≥-[(1/3)x+(1/3)2x]在x∈(-∞,1]上恒成立,因此只需求函数f(x)= -[(1/3)x+(1/3)2x]在x∈(-∞,1]上的最大值．又f(x)在x∈(-∞,1]上是增函数,因此最大值是f(1)=-4/9,所以a≥-4/9,即实数a的取值范围是[-4/9,+∞)．     

赏析“数”的特色 感受“形”的魅力——2014年高考全国课标Ⅰ理科第11题的多解探究

1 问题再现 (2014年高考全国课标Ⅰ卷,理科第11题、文科第12题)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0＞0,则a的取值范围为(). A.(2,+∞) B.(-∞,-2) C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 2 解法探究     

多次求导——破解导数零点问题

<正>例设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.参考答案如下:(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)上单调减少,在(0,+∞)上单调增加.     

分离参数与分类讨论——有感于2013年高考数学江苏卷20题

<正>原题设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解(1)略.(2)∵g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,∴g'(x)=ex-a≥0,即a≤ex对x∈     

三次函数的三大性质

随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,…     

2005年全国高中数学联赛吉林赛区预赛

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.已知函数h(x)与g(x)都是定义在区间(0,+∞)上的增函数,并设函数f(x)=h(x)g(x).则函数f(x)在区间(0,+∞)上( ).     

从2015年高考新课标卷Ⅱ第12题谈谈导函数的构造

<正>(2015年高考新课标Ⅱ第12题)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是().A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)解构造函数h(x)=f(x)/x,h'(x)=     

2003年全国高中数学联赛山东赛区预赛

一、选择题(每小题6分,共6 0分)1.已知y =f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x) =log2 (1 x) .那么,当x <0时,f(x) =(　　) .(A)log2 (1 x)　　　　(B)log2 (1-x)(C)log2 (- 1 x)　(D)log2 (- 1-x)2 .若p、q为实数,则函数f(x) =x3 px2 qx r(　　) .(A)在(-∞, ∞)上是减函数(B)在(-∞, ∞)上是增函数(C)当p2 <3q时,在(-∞, ∞)上是增函数(D)当p2 >3q时,在(-∞, ∞)上是增函数3.已知α、β均为锐角,cos(α β) =- 45 .若设sinβ=x ,cosα=y ,则y与x的函数关系式为(　　) .(A)y =- 45 1-x2 35 x (0 相似文献   

数学奥林匹克高中训练题（129）

第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.设f(x)是定义在(-∞,0)u(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,xf'(x)<0且f(1)=0.则不等式xf(x)<0的解集是_.数学奥林匹克问题     

求二次函数在闭区间上的最值问题

<正>二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在中学数学中的地位非常重要,它的单调性由a、b决定,即当a>0时,f(x)在(-∞,-b2a]上单调递减,在[-b2a,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,-b2a]上单调递增,在[-b2a,+∞)上单调递减.它的单调性比较复杂,因此对于求二次函数闭区间上的最值问题,特别是含参数的最值问题较麻烦,一直是高中数学中的难点.下面笔者分     

提高思维能力巧解数学题

高考对能力的考查是指思维能力、运算能力、 空间想象能力以及实践能力和创新意识。其中思 维能力在数学高考试题中是首要考查能力,也是 数学学科要重点培养学生的一项能力。 一、经典例题 已知函数f(x)=2x-a(x≤0)f(x-1)(x>0),求方程f(x)=x有 且只有两个根时实数a的范围 ( ) (A)(-∞,2) (B)(-1,2) (C)(0,+∞) (D)(-∞,1) 二、简单分析 首先确定本题的求解方法:利用函数、方程的思     

对“f(x)与f(f(x))有相同值域”问题的思考

一、试题呈现设函数f(x)=x2+2ax+a,若函数f(x)与函数f[f(x)]的值域相同,则实数a的取值范围为.第一步:分析f(x)的单调性与最值,易知f(x)在(-∞,-a)上递减,在(-a,+∞)上递增,f(x)min=f(-a)=a-a2,∴f(x)的值域是[a-a2,+∞).第二步:换元分析两函数.设t=f(x),则f[f(x)]=f(t),函数f(t)在t∈(-∞,-a)上递减,在t∈(-a,+∞)上递增,则y=f(t)(t≥a-a2)的值域也是[a-a2,+∞).     

以函数f(x)=lnx/x为背景的高考题赏析

<正>1试题例1(2013年江苏卷20)设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.例2(2014年湖北卷22)π为圆周率,e=2.71828……为自然对数的底数.     

f'(-x)究竟表示什么

1.引例f(x)和g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的可导奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'x)>0,且g(-3)=0,解不等式.f(x)g(x)<0.分析:f'(x)g(x)+f(x)g'(x)是函数h(x)=f(x)g(x)的导数,据此可知h(x)在(-∞,0)上单调递增.由题意,h(x)为奇函数.又g(-3)=0,     

例析导数在解题中的几种应用

同学们在学过导数的知识之后,如果能够灵活地运用导数的知识解题,常常可以使解题过程得到优化,显得简单直观.下面举例分析,希望同学们能够从中受到有益的启示. 一、判定函数的单调性 例1 判断函数f(x)=ex+1/ex在(0,+∞)上的增减性. 解析:因为f(x)=ex+1/ex, 所以f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1). 当x∈(0,+∞)时,有ex＞0,e2x-1＞0, 所以f'(x)＞0,故f(x)在(0,+∞)上是增函数.     

用极端思想解函数选择题

<正>学习数学的核心是解题,而解题时应选择怎样的策略是一个解题者十分关注的问题,本文仅就用极端思想解常见的函数选择题作些盘点,以期对大家的学习有所启发和帮助.1线性函数例1对于a∈[-1,1],若函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则实数x的取值范围是().A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)     

赏析近年“华约”数学试题

例1(2012年清华保送生)f(x)=lnex-1/x,a1=1,an+1=f(an). (1)求证:exx-ex+1≥0恒成立; (2)试求f(x)的单调区间; (3)求证:{an}为递减数列,且an＞0恒成立. 解析:(1)令g(x)=exx-ex+1,则g'(x)=exx. 当x＜0时,g '(x)＜0;当x＞0时,g'(x)＞0. 所以g(x)在(-∞,0)内为减函数,在(0,+∞)内为增函数.所以g(x)≥g(0)=0,即exx-ex+1≥0恒成立.