例谈判别式的应用

大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=…     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.     

构造二次方程 连通三道赛题

<正>2015年全国初中数学联赛中有如下三道求最值试题:1已知实数x,y满足关系式xy-x-y=1,则x2+y2的最小值为()(A)3-22(B)6-42(C)1(D)6+422已知实数x,y满足关系式x2+xy+y2=3,则(x-y)2的最大值为()(A)3(B)6(C)9(D)12     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

“思维受阻”怎么办？——从寻求一个题目的解法中想到的

近日笔者偶解一题,题目虽为简单,然收获甚丰.现将寻求其解法的整个过程及心得给予阐述,以期与大家共享.题目求函数y=12x-9x(x∈[1213,4])的最小值.思路1将这个函数转化为有理函数.由于x∈[1213,4],所以y=f(x)>0,于是原函数等价于y2=(12x-9x)2,x∈[1213,4].整理得到关于x的一元二次方程:y2x2-12x 9=0(x∈[1213,4]).①因为①有实数解的必要不充分条件是:Δ=(-12)2-4·y2·9≥0,所以y2≤4.又因为y>0,可得y≤2.不难发现,由这个结论得不到y的最小值.思维受阻,放弃这个想法.(可惜)思路2有理函数u=y2=12x-9x2,x∈[1213,4]的最小值有其它的解法吗?由…     

03年各地中考数学试题精选(2)

1.用换元法解方程时,设x/x-1=y,则原方程化为关于y的方程是( ) (A)y2+5y+6=0. (B)y2-5y+6=0. (C)y2+5y-6=0. (D)y2-5y-6=0. 2.不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是( ) (A)有两个相等的实数根. (B)有两个不相等的实数根. (C)只有一个实数根. (D)没有实数根. 3.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( )     

九年级第一学期期中代数质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=12.则cosB的值为().(A)12(B)22(C)32(D)12.在函数y=xx-2-1中,自变量x的取值范围是().(A)x>2(B)x≥2(C)x>2且x≠3(D)x≥2且x≠33.当a>b时,下列不等式一定成立的是().(A)ba<1(B)ab>1(C)-a>-b(D)a-b>04.若|x|x |y|y=0,则下列结论中成立的是().(A)x、y为一切实数(B)xy>0(C)xy<0(D)xy=05.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x 3=0的所有实数根之和等于().(A)2(B)-4(C)4(D)36.若a为实数,则一元二次方程x2-ax-4=0的根的情况是().(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相…     

2002年全国高中数学联赛试题另解选讲

与往年相比 ,2 0 0 2年全国高中数学联赛试题总体难度有所降低 .一试更加接近高考 ,加试题也容易入手 .下面是笔者提供的异于命题组标准答案的部分题目的解答 ,仅供参考 .第一试一、选择题第 2题　若实数 x、y满足 (x + 5 ) 2 + (y-12 ) 2 =14 2 ,则 x2 + y2的最小值为 (B)(A) 2 .　 (B) 1.　 (C) 3 .　 (D) 2 .另解 1:记 x2 + y2 =M 1(x + 5 ) 2 + (y -12 ) 2 =14 2 22 -1得 :2 (5 x -12 y) + 13 2 =14 2 -M即 5 x -12 y + M -2 72 =0 3圆心 (-5 ,12 )到公共弦方程 3的距离为d =| -5 2 -12 2 + M -2 72 |5 2 + (-12 ) 2 ≤ 14解得 1≤ …     

加强“变式”练习 减轻学生负担

目前初中数学教学,仍普遍存在着学生负担过重,思维训练尤其是创新思维训练没有充分重视的问题。笔者认为,要解决这一问题,主要途径之一应是通过“变式”练习,让学生在一题多解、一题多变中开阔思路,提高思维能力。一、形异实同型“变式”训练为了使学生对知识的本质加以认识,教师在教学中可构造一些形异实同的“变式”练习,强化知识。例:(1)已知x,y为实数,(x-1)2 y 3=0,求x,y的值。(2)已知x,y为实数,x2 2y y2-6x 10=0,求x,y。(3)已知a2 2 b-5=22a,求a-1a-1 6a 2b 1-6 b-6a的值。(4)已知a,b,c为△ABC的三边,且a2 b2 c2=ac bc ab,求证:以a,b…     

利用两数的和与积求值

解答某些与二次根式有关的求值问题时,利用两数的和与积作整体代换,能取得事半功倍的效果。例1.若x=3-23 2,y=3 23-2,则3x2-5xy 3y2=。(1996年四川省初中数学竞赛试题)解:化简,得x=5-26,y=5 26。∴x y=10,xy=1.原式=3x2-5xy 3y2-5xy　　=3(x y)2-11xy　　=289。例2.已知x<0为实数,且x-1x=5,则x7 12x4 xx8 9x4 1的值为(　　)。(A)-9319;　(B)-1993;(C)-328;　(D)-75。(1993年哈尔滨市初中数学竞赛试题)解:设1x=y,那么x-y=5,yx=1。∵x<0,y<0,　　∴x y=-(x-y)2 4xy=-3。∴x2 y2=(x-y)2 2xy=7。∴x7 12x4 xx8 9x4 1=(x7 12x4 x)÷x4(x8 9x4 1…     

不等式常见错误剖析

一、忽视隐含条件导致错误【例1】当3x2-6x 2y2=0(x,y∈R),求使不等式x2 y2≤a恒成立的a的取值范围.错解:由已知得y2=21(6x-3x2),则有x2 y2=x2 12(6x-3x2)=-21(x-3)2 29,所以当x=3时,x2 y2取得最大值29,故当a≥92时,不等式x2 y2≤a成立.剖析:在利用3x2-6x 2y2=0将x2 y2化为仅用x表示的函数式时,忽视了等式对x的制约.事实上,y2=21(6x-3x2)≥0得0≤x≤2,显然,x取不到3,使x2 y2有最大值29.正确解法:由已知得y2=12(6x-3x2),则x2 y2=x2 12(6x-3x2)=-21(x-3)2 29.又因为y2=21(6x-3x2)≥0,所以0≤x≤2.由函数y=-21(x-3)2 29在[0,2]上是增函数,所以…     

解决二次根式问题中的数学思想

数学思想是解决数学问题的金钥匙,在解决二次根式的有关问题时,常用到如下几种数学思想: 一、方程思想 例1已知实数x、y、m满足√x+2+|3x+y+m|=0,且y为负数,则m的取值范围是(). (A)m＞6 (B)m＜6(C)m＞-6 (D) m＜-6 解析:由二次根式、绝对值的非负性,结合非负数的性质可知,√x+2=0,|3x+y+m|=0. 即｛x+2=0,3x+y+m=0. 解得｛x=-2,y=6-m. 因为y为负数,则有6-m＜0,解得m＞6. 故答案选A. 二、类比思想 例2(1)计算√8-3√1/2+√2=——; (2)计算4√1/2+3√1/3-√8的结果是().     

竞赛题中的求最值问题

二次函数y =ax2 +bx +c(a≠ 0 )配方后可变为标准形式y =a(x + b2a) 2 + 4ac-b24a (a≠ 0 ) ,由此可以很快求出y的最值 ,初中数学中 ,有不少的最值问题 ,常常可以转化为二次函数来求解 ,下面通过几个例子来介绍几种求解方法。一、主元代入法例 1.　已知x、y、z均是实数 ,且满足x + 2y -z =6x -y + 2z =3求x2 +y2 +z2 的最小值。 (2 0 0 1年安庆市竞赛题 )解 :原方程组变为 :x + 2y =6 +zx -y =3- 2z,解得 x =4 -zy =z+ 1于是x2 +y2 +z2=(4-z) 2 + (z+ 1) 2 +z2=3z2 - 6z+ 17=3(z - 1) 2 + 14当z=1(此时x =3,y =2 )时 ,x2 +y2 +z2 取到最小值…     

函数最值问题中错解剖析

一、忽视条件中隐含条件致误例1已知3x2 2y2=6x,求x2 y2最大值.错解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,故当x=3时,x2 y2取最大值为29.剖析:由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2,也就是说x=3是取不到的.原因是忽视条件中x的隐含条件是0≤x≤2.正解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,又由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2.故当x=2时,x2 y2取最大值为4.二、运用判别式而致误例2求函数y=x $5-x2的最值.错解:移项平方整理,得2x2-2yx (y2-5)=0.由Δ≥0,即4y2=8(y2-5)≥0.得-$10≤y≤$10.所以ymin=-$10,ymax=$10.剖…     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

一元二次方程新题型

近年来,对一元二次方程有关知识的考查出现了一些新题型,认真研究这些试题,能拓宽我们的视野,提高我们综合应用知识解决问题的能力.这些新题型有: 类型一 定义运算型 例1 (2013年白银卷)现定义运算“”,对于任意实数a、b,都有ab =a2-3a+b,如:35=32-3×3+5,若x2=6,则实数x的值是____. 解析:根据新定义将x2=6变形得x2-3x+2=6,即x2-3x-4=0, 解得x1=4,x2=-1,故实数x的值是-1或4. 温馨小提示:本题属于定义新运算问题,需要运用新定义把它转化为常规问题来解决.     

x=y~(1/2)<10~(-2)的值域≠[0,10~(-2))——不认识“更无理”数使数学自相矛盾

自有函数概念以来数学一直认定 x(y) =y≥ 0可遍取所有正实数 ,故 x(y) <1 0 -2 当然可遍取所有小于 1 0 -2的正实数。然而我却在一系列的论文[1 ] - [7]中否定了此认定。道理很简单 :记 x=y<1 0 -2所有能取的正数的集合为 D,则有 (以下 D∈x表示“D的任一元 x”) :D∈ x=y x2 x3 x4 ……(D的每一元 x均有比之更小得多的正数与之相对应 ) 即 D从大到小的每一元 x=y <1 0 -2 均有数xn≥ 2 x=y <1 0 -2 与之相对应。可见 ,D的每一元 x= y <1 0 -2 与各相应的数 x2 、x3、x4、……相比均为距 0甚远的大正数。亦即每一 ox(D∈ x)与其各…     

用方差公式求一类函数的最大值

在一个函数关系式中,如果含自变量的一边是两个二次根式的和,且这两个二次根式的平方和等于一个正实数,那么可用方差公式求出这个函数的最大值.下面举例说明.例1求函数y=3-x 2 x的最大值.解由原函数式可知y>0.∵3-x和2 x这两个数的方差是:s2=12[(3-x)2 (2 x)2-22y2]≥0.整理,得10-y2≥0,即y2≤10,∴y最大值=10.例2求函数y=4x3 5 13-4x3的最大值.解由原函数式可知y>0.∵4x3 5和13-4x3这两个数的方差是:s2=21[(4x3 5)2 (13-4x3)2-22y2]≥0.整理,得36-y2≥0,即y2≤36,∴y最大值=6.例3求函数y=2x2 3x 1 7-2x2-3x的最大值.解由原函数式可知y>0.∵…     

运用构造法求最值

一、构造一元二次方程法例1 已知x为实数,求函数y=3x2+x+2/x2+2x+1的最小值. 解:将原函数解析式变为关于x的二次方程: (y一3)x2+(2y-1)x+(y-2)=0. 因为x是实数,所以△≥0. 即(2y-1)2-4(y-3)(y-2)≥0. 解得y≥23/16.     

整式的加减算理分析

例题 计算:3(2x2-4y2)-2(4x2-5y2) 解:原式=6x2-12y2-8x2+10y2 =6x2-8x2-12y2+10y2 =(6x2-8x2)-(12y2-10y2) =(6-8)x2-(12-10)y2 =-2x2-2y2. 算理分析 ①应用了去括号法则,实际上就是乘法的分配律; ②应用了加法交换律; ③应用了加法结合律; ④合关同类项; ⑤应用了有理数的加法法则.