一类对称不等式的另证

文[1]用拆2化1证法统一证明了《数学教学》问题解答中出现的几个问题．笔者发现，此类问题若利用不等式等号成立的条件，配凑后使用均值不等式，则会更简单．本文以文[1]中的例1、3、4、5、6、7为例，对这一类对称不等式进行证明（例2使用数学归纳法会更简单）．     

也谈奥赛试题中一类分式不等式的递推证明

受贵刊的影响,笔者对各类奥赛试题中的一些分式不等式的证明给出一种新的递推证法,这种递推证法是把"高级分式不等式"转化为"低级分式不等式",以达到降低问题难度、实现快速证题的目的.     

高考不等式证明问题探析

不等式证明是历届高考的热点和难点.年年考,但屡出新意.常常一道命题都认为并不算难的不等式证明题,考生却很难解答,得分很低.现就不等式的证明问题作一分析,供同学们复习参考.1 不等式证明试题的特点1.1 试题内容的广泛性 高考不等式证明题以数学某个问题为载体,既考查了某个数学问题有关的知识和方法,又考查了不等式的证明.试题所涉及内容广泛,时有创新.     

柯西不等式探究报告——《不等式选讲》教学札记

人教A版教材选修4-5《不等式选讲》的最后一节是"学习总结报告",要求学生谈谈学习本专题的感受、体会、看法."希望同学们通过本书的学习,在数学知识的积累、数学能力的提高、对数学的理解和认识方面都能再上一个新台阶."据此,笔者要求选修本专题的学生,就柯西不等式,以教材为依托,通过查阅资料、访问求教等方法,在共同研究或独立思考后,完成一篇探究报告.建议学生可从以下三个方面进行探究:(1)从知识链上,寻求二维柯西不等式的多种证明,并指出其几何意义及数学背景.(2)哪些证法可迁移到一般柯西不等式?     

一个不等式的推广

《数学》1998年第8期上发表的《构浩二次方程证明不等式》一文中，给出了如下一个不等式：     

几种类型的不等式证明

正不等式的证明题,无论它以什么形式展现,其常规的证明方法如下:利用函数的单调性证明;重要不等式证明;放缩法;数学归纳法等.不等式结构能提示我们做"最近选择",不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式,需要我们去整合.笔者提供几类案例,供参考.一、常数型不等式证明所谓常数型不等式,是指不等式一边是代数式而另一边是常数的     

用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策

数学归纳法是证明和正整数相关的不等式的最有效方法,其证明的关键是如何实现从"n=k时原不等式成立"(这个不等式不妨称之为"假设不等式")到"n=k 1时原不等式成立"(这个不等式不妨称之为"目标不等式")的过渡.本文介绍用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策,供大家参考.     

一道看似不起眼,作用不一般的例题

全日制普通高级中学数学课本第二册第六章第三节不等式的证明中的例2(下称课本例2)是这样的"已知a、b、m都是正数,并且a＜b,求证a m/b m＞a/b"这道例题不仅具有一般例题的对相关知识的巩固、强化、提升、拓展、示范等功能,而且它所提供的结论在一些不等式的证明中担当着重要角色.我们借助它来证明一些不等式,你会觉得特别轻盈、灵巧,下面举出几例以飨读者.     

用权方和不等式简证一类分式不等式

权方和不等式是著名的重要不等式之一,是证明不等式的有力工具,它具有条件简明、结构优美、使用方便等特点．若能恰到好处地正确运用权方和不等式,将会起到简化证明过程的神奇效果．本文以数学杂志中的几个分式不等式为例,给出证明与大家共享．     

对若干数学问题的再感悟

笔者长期关注数学问题解答栏.多年来,笔者从研究这些优美问题的过程中吸收了不少的营养和财富,使学生开阔了视野,提高了他们的解题能力.现在再讨论几道不等式问题的解法(证明),并分析其来龙去脉;供读者参考.     

证明分式不等式的关键是去分母

文[1][2][3][4]从不同角度介绍了如何使用均值不等式证明轮换对称不等式,实际表明,轮换对称不等式中相当一部分是分式不等式.经过一番探究,笔者发现,关键在去分母,即根据分母的结构特点,兼顾整体的"次数"、"系数",添加(构造)适当的式子,再应用均值不等式去掉全部或部分分母.下面以文[1][2][3][4]中的例题为例详细予以介绍.     

证明一类分式不等式的通法

文[1]和文[2]给出了一个分式不等式的多种证明方法,介绍的证明方法可谓个个"精妙绝伦",笔者阅后颇受启发,惟一感到有点遗憾的是这些方法都不容易想到.本文介绍一种思路自然且易于操作的证明这类分式不等式的通法,供大家参考.     

一个不等式的多种证法及思考

题目:设a＞0,b＞0,a b=1.求证:(a 1/a)(b 1/b)≥25/4. 这是一道非常优秀的不等式证明题.它入口宽,思路广,研究它的多种证明方法可以充分体现不等式证明的常用方法,对数学思想方法及数学思维能力的培养均为典范作用.下面就谈谈笔者对它的认识.     

抓住特征巧证不等式

不等式中的"式子",其整体或某一部分往往显示或隐含着某一特征,这一特征与某一数学概念或公式定理或方法模型有联系,抓住这一点展开分析探索,常常能得到一些巧妙的证明方法.     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

关于一类数列和型不等式证明通法的再思考

<正>笔者拜读了杨瑞强老师刊于2012年《数学教学》上的《构造函数证明一类数列和型不等式》一文,笔者认为杨老师方法总结得很到位,只是在实际操作过程中,特别是考试时候的可操作性需要探讨.本文结合平时教学过程中学生遇到这类问题的第一反应,对证明这类形如∑n k=1f(k)相似文献   

关于一些不等式问题的再思考

近十年来,笔者对一些不等式问题进行了广泛而深入的思考和研究,取得了一些成果.对笔者自己发表在<数学通报>、<数学教学>上的"数学问题与解答"栏目中的几个形式优美对称、证明简洁优雅的不等式问题的进一步思考,便形成了本文.     

探析数列型不等式证明中“放缩法”的妙用

不等式是高中数学的重要内容之一,不等式的教学主要侧重于学生对不等式的数学本质的认识和理解,以及利用不等式的性质和特点处理实际问题,让学生体会到数学不等式在实践应用中的优越性,从而提高学生的数学应用意识和能力.本文笔者凭借自身从事高中数学教学的经验,着重以“放缩法”在数列型不等式证明中的应用为平台,通过对数列型不等式证明例题的分析,探讨在利用放缩法处理高中数学的不等式证明问题时的相关技巧.     

构造向量证明一类分式不等式

《数学通报》2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式及均值不等式111()nminmiimiaan=-=、《中学数学教学》(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式2(,)xyxyxyR 澄分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.笔者发现,如果通过构造向量,利用向量数量积不等式||||||mnmn祝uvvuvv证明这类不等式更加方便快捷. 为应用方便,我们把不等式||||||mnmn祝uvvuvv写成222||||/||(0)mmnnn坠uvuvvvvv(*)证明时只要根据所证不等式的结构特点,构造适当的向量,再利用不等式(*)即可获证.文[1]、[2]中的所有例题及练习都可以用此法证明. 例1 (文[1]例1) 已知12,,,…     

一个无理不等式猜想的证明及推广

文[1]给出了几个无理不等式的猜想,笔者在此给出文[1]猜想2的证明及其推广.普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5《不等式选讲》有如下三角不等式.