例谈直线与圆的综合应用

<正>直线与圆是解析几何的基础,高考中一般考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系,也会和三角形的知识综合考查。例1过点(2^(1/2),0)引直线l与曲线y=(1-x(1/2),0)引直线l与曲线y=(1-x²)2)^(1/2)相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等     

不识庐山真面目 只缘身在此山中——一道好题的本质探究

一道好的数学题并不在于有多么难,而是能够充分考查解题者对数学问题本质的理解,更应该是可以成为数学探究活动的好题材,本文拟介绍这样一道好题.1.原题已知圆C₁:x²+y²=17和圆C₂:（x-2）²+（y-2）²=5的一个交点是P（1,4）,求过点P的直线l,使l被两个圆截得的弦长相等.2.原题解答2.1用代数方法求解解法1:易知直线l的斜率k存在,因此设直线l的方程为y-4=k（x-1）,即kx-y+4-k=0.设直线l与圆C₁的交点为P₁（x₁,y₁）、P₂（x₂,y₂）,直线l与圆C₂的交点     

一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

运用平面几何中圆的相关性质求解直线与圆习题

<正>由于圆的对称性,以及初中平面几何中学习过的圆的相关性质,对于圆的问题常常可以用平面几何的方法,亦可以采取解析几何的解析法。而对于初学解析几何的同学,更容易想到平面几何的方法,若构造得当,可以免去复杂的计算。一、圆幂定理(割线定理、切割线定理、切线长定理、相交弦定理)例1过点P(-3,-2)且斜率为k的直线l交圆C:(x-1)²+(y-1)2+(y-1)²=9于A,     

解析几何中的最值问题

<正>解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景,以函数和不等式等知识作为工具,具有较强的综合性。这类问题的解决对于解题者有着较强的能力要求,其解法灵活多样,一般都有固定的模式可以套用,本文就用实例来探究这类问题的解法。例1已知点P在圆C:x²+(y-4)2+(y-4)²=     

圆锥曲线中的对称问题探究

<正>在高中数学中,圆锥曲线是一个比较难的模块,它涉及很多性质,在解题过程中也会涉及解析几何中众多的思想方法。在圆锥曲线的综合问题中有一类对称问题,它要用到解析几何中点关于直线的对称点的求法,本文就来谈谈圆锥曲线中对称问题的解法。例题过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为(2^(1/2))/2的椭圆C相交于A,B两点,直线y=(1/2)x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于     

一道竞赛题的再推广

原题（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题第11题）作斜率为1/3直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3 2^1/2,2^1/2在直线l的左上方.（1）证明:ΔPAB的内切圆的圆心在一条直线上;（2）略.文[1]将（1）的结论推广到一般情形:     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

一类根与系数不对称问题的再思考

<正>解析几何中经常出现根与系数的不对称式,导致韦达定理不好用的问题.对于这种问题王弟成老师进行了深入探讨^[1],笔者收获颇丰,同时有意犹未尽之感.1问题呈现例1如图1,已知椭圆C:x²/4+y²=1,左、右顶点分别为A、B.过点E(4,0)的直线l与椭圆C交于P、Q两点,直线AP与BQ交于点S,求证:点S在一条定直线上.     

一道高考试题引起的思考与探究

1.考题的另一种表述考题（2011年高考全国理科卷（大纲）第21题）如图1,已知0为坐标原点,F为椭圆C:x²+y²/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-2^1/2的直线l与C交于A、B两点,点P满足（?）+（?）+（?）=（?）（1）证明:点P在C上;（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.由向量加法的几何意义及椭圆的对称性可得:点P关于原点O的对称点Q也在椭圆C上.由此我们可以得到考题的另一种表述:     

探究直线和椭圆的位置关系

例1在平面直角坐标系xOy中,已知点A（-1,0）、B（1,0）,动点C满足条件:△ABC的周长为2+22^1/2.记动点C的轨迹为曲线W.（1）求W的方程;（2）经过点(0,2^1/2)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围;（3）已知点M（2,0）,N（0,1）,在（2）的条件下,是否存在常数k,使得向量（?）+（?）与（?）共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:（1）设C（x,y）,因为| AC |+| BC |+| AB |=2+22^1/2,| AB |=2所以| AC |+| BC|=22^1/2>2,所以由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为22^1/2的椭圆除去与x轴的两个交点.所以a=2^1/2,c=1.所以b²=a²-c²     

圆锥曲线中的数学思想

1.函数与方程的思想例1过点P(-3^1/2,0)作直线l与椭圆（x²/4）+（y²/3）=1相交于A、B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积的最大值.分析设l:x=my-3^1/2,代入椭圆方程消去x,得（3m²+4）y²-6 3^1/2my-3=0.     

一个圆锥曲线性质的探究

笔者在研究2021年北京燕博园考试的解析几何题时,发现蕴藏其中的角平分线的若干性质,通过与八省市适应性考试解析几何题的对比,发现二者同源,下面给读者展示完整的探究过程.1试题呈现(2021年北京燕博园CAT考试21题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右顶点为B,直线m:x-y-1=0过椭圆C的右焦点F,点B到直线m的距离为22.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C的左顶点为A,M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点,以点F为圆心,过点M的圆与x轴的右交点为T,过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N,过点F作直线FE⊥MT,交直线l于点E.求BE EN的值.     

学习二次根式六注意

在学习二次根式的过程中,同学们由于对其概念、性质的内涵理解得不深,解题时稍有不慎就会出错.本文针对常见的典型错误举例谈谈应注意的六个问题.一、二次根式的定义是形式上的定义例1式子 x²+2x+1^1/2、2x-x²-5^1/2、16^1/2是否是二次根式?说明理由.     

以平面坐标系为背景的动圆问题

"心"定,半径变例1（2010山东济南）如图1,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点,直线BD的函数表达式为y=-3^1/2x+33^1/2,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C,与x轴交于点E.     

例谈直线解题教学中的一些误区

直线方程是解析几何的基础知识之一,在学习这部分内容时,一些同学由于审题不严,考虑不周、忽视、甚至挖掘不出题中隐含条件,加之对相关概念理解不透或错误,常使解题感觉困难.本文就直线解题教学中的易错点加以点击,帮助同学们走出直线解题的误区．     

巧答解析几何题的特殊方法

解析几何是历年高考经久不衰的热点和难点,学生经常会遇到思路正确但因运算过程繁杂,而使解题半途而废的情况.因此,在解答解析几何题的过程中,如何减少计算量成为迅速、正确解题的关键.本文介绍解析几何中的几种特殊方法,以期有助于学生的高考复习.一、利用曲线系例1已知O为坐标原点,F为椭圆C:x²+（y²）/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-2^1/2的直     

直线与圆中两个关联问题的探究

<正>事物是普遍联系的,数学知识、数学问题的关联性更能反映这一点.在苏教版数学必修2"直线与圆"的教学过程中,笔者发现有两个比较有趣的关联问题.现整理如下,以飨读者.问题1(1)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)2(r>0)上一点,求过点P的圆C的切线方程;(2)已知点P(x_0,y_0)为圆C:(x-a)²+(y-b)2+(y-b)²=r2=r²(r>0)外一点,过点P的圆C的     

一道高三模拟题的思路探究与拓展

<正>一、问题给出题目在平面直角坐标系xoy中,已知圆O:x²+y²=1,C:(x+1)²+y²=9,直线l与圆O相切,与圆C相交于点A、B两点,分别以点A、B为切点作圆C的切线l₁、l₂,l₁、l₂交点为P,则OP的最小值．A. 9 B. 7 C. 3■ D.■这道题是江苏省海门中学、苏州中学、淮阴中学、姜堰中学四校高三联考的单选压轴题,答案为D．我校学生在该题的得分率高达0.74,如此高的得分率是否与本题在试卷中起到单选压轴作用的地位不太匹配呢?和学生交流后发现,     

基础知识巩固题精选

一、选择题1.已知F是抛物线y=1/4x²的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF的中点的轨迹方程是（）。A.x²=y-1/2 B.x²=2y-1/16C.x²=2y-1 D.x²=2y-22.已知点A（3,10/3）和抛物线y²=2x上一点P,若点P到抛物线的准线l的距离为d,则当|PA|+d取得最小值时,点P的坐标为（）。A.（0,0）B.(1,2^1/2)C.（2,2）D.（1/2,1）3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和圆x²+y²=（b/2+c）²。（其中c=（?））有四个公共点,则椭圆