例谈判定三角形形状的方法与技巧

近年来各地的中考和数学竞赛经常出现判定三角形形状的试题,三角形形状的判定是一个综合性较强的问题,大都是应用代数或三角函数的知识把题设条件转化成边与边的关系,再根据几何知识进行判定,且方法灵活具有一定的技巧性,现略举几例解析如下:1配方法例1已知:a,b,c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,试判定△ABC的形状.解析将已知等式变形配方,得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,根据平方的非负性,则a-b=0,b-c=0,c-a=0同时成立.得到a=b=c所以△ABC为等边三角形.2韦达定理法例2已知α是三角形的一个内角,且sinα和cosα是方程2x2-2x+p=0的…     

怎样证明线段和差题(初二)

对于形如“a=b+c”的线段等式的证明,通常有以下思路:1.直接证(线段转换):通过全等三角形或等角对等边进行证明例1 如图1,已知△ABC和△BED都是等边三角形,且A、E、D在一条直线上,求证:     

例谈三角形全等的证题

三角形全等的证明是几何证题中的重要内容.证三角形全等,可用来证明两线段相等,两角相等,两直线垂直等等.如何准确、迅速地探求出从已知条件到达求证结论的证明途径呢?下面通过实例来谈谈探求证明途径的基本思路.例1已知:如图1,A、B、C三点在一条直线上,△ACD和△BCE都是等边三角形.求证:AE=DB.分析从△ACD是等边三角形,可得AC=DC,∠BCD=60°,同理,EC=BC,∠ECA=60°.欲证AE=DB,只需图1证△BCD≌△ECA.证明∵△ACD是等边三角形,∴AC=DC,∠BCD=60°.同理,EC=BC,∠ECA=60°.在△ECA和△BCD中,∵AC=DC,∠ECA=∠BC…     

利用相似三角形证线段成比例

相似三角形的判定定理1,是判断两个三角形相似中最常用的定理,通过两个三角形相似,可得到线段成比例,解决有关线段成比例问题,现举例如下:例1如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:AQ·RB=QR2.分析:因为△PQR是等边三角形,所以要证AQ·RB=QR2,即证AQ∶QR=QR∶RB,故证AQ∶PR=QP∶RB,因此需证△AQP∽PRB,但∠AQP与∠PRB都是等边三角形的外角,又由外角定理和已知条件∠APB=120°,可证明∠APQ=∠B,由此得到△AQP和△PRB相似。证明:∵△PQR是等边三角形,∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°∵∠B+∠BPR=∠PR…     

中考的格点相似三角形问题

本文所说的格点三角形是指在正方形的网格中,以方格的顶点为三角形的顶点的三角形.近年来,不少地区就以格点三角形为背景设计格点相似三角形问题.为说明问题,现举例说明.一、判断三角形的相似例1(枣庄市)如图1,小正方形的边长均为l,则在如图2中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()简析因为小正方形的边长均为l,所以△ABC的三边分别是’10、2、’2,且∠ACB=135°,由此我们可以发现只有B图中有一个角是135°,且三边分别是’2、’5、1,所以选B.说明判断正方形网格中的两个三角形相似,通常设小正方形的边长为1,求出三角形的三边,再利用三…     

涉及三角形边长与面积的一个不等式

本文首先利用基本不等式x~2＋y~2≥2xy及海仑公式给出涉及三角形边长与面积的一个不等式，然后由此导出三角形中一系列有趣的不等式．定理设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ,υ，中任意两数之和均大于零，则有证由基本不等式将以上三式相加并整理，得但由海仑公式，上式右边正好是16△~2．由此即知不等式（1）成立，显然（1）中等式当且仅当时成立．这表明当且仅当时（l）中等式成立．证毕．推论设a，b，c，△分别表示△ABC的三边长与面积，实数λ，μ，υ，中任意两数之和均大两式中的等式当且仅当成立．一个新的三…     

因式分解在三角形中的应用

一、判断三角形的形状例1 已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足条件ac2+b2c-b3-abc=0,试判断△ABC的形状.解:∵ac2+b2c-b3-abc=0, ∴(c-b)(ac+b2)=0, ∵a、b、c为△ABC的三边长,     

几何不等式证明八法

1.利用三角形的边长关系 例1.AB为半圆直径,AC、AD指为半圆的满足∠BAC=∠CAD。 求证:AB+AD<2·AC。 简证:如图,显然有DC=BC,且知∠ADC与∠ABC互补。将△ABC绕着C旋转至△EDC位置,易证A、D、E共线,DE=AB,EC=AC。     

一道IMO试题的推广

设 a、b、c为三角形的三边长,试证 222()()()0ababbcbccaca-+-+-? (1) 这是一道第24届IMO试题,本文从指数方向给出上述不等式的推广. 定理 设 a、b、c为三角形的三边长, 01g, 所以 abcggg+>; 同理,有 bcaggg+>,cabggg+>; 故以ag、bg、cg为三边长可构成三角形. 引理2 设 a、b、c为三角形的三边长, 2l,…     

浅议拿破仑三角形及其推广

<正>拿破仑三角形是一个美妙的平面几何定理,在其中能够挖掘出很多美妙的性质。下面介绍几种极其简单的拿破仑三角形的证法,并得出两个推论分别予以证明。(注:拿破仑三角形均指外拿破仑三角形,且仅关于外拿破仑三角形作讨论)命题1:以任意△ABC三条边为边,向外作三个等边三角形△BCD,△CAE,△ABF,则AD,BE,CF交于一点,且长度相等。证明:先证AD=BE=CF。在△AFC,△ABE中,AF=AB,∠FAC=     

由一道习题引发的思考

<正>习题(人教版八年级下册《中心对称图形——平行四边形》复习题)已知:如图1,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在AB、AD上,且BE=AF.求证:△ECF是等边三角形.分析本题主要涉及到菱形的性质、等边三角形的性质与判别以及等式性质的运用,从而找出△CAF≌△CBE的判别条件,由"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"这一判别方法完成本题证明过程.     

数学单元测试题（二）

℃l?C、| E、J、鱼Q八钩、入、CA? )C知入\一狡人户一\一|CJ厂一八。尽一即?止·。?牛?A止。宜 五B石/一/一 ‘B‘ 一、选择题 1.下列命题:①有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形;④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的命题有() A .4个B.3个C.2个D.1个 2.如图1,在△ABC中,AB一AC,匕A一360,BD、CE分别是匕ABC、匕ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为 () A .6个B.7个C.8个D.9个 3.如图2,在△ABC中,O…     

巧构全等三角形证题例说

1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。　　求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC…     

循环不等式的一个推广

设,,abc皆为正实数,则有 32cbabacabc++?++, (1) 等式成立当且仅当abc==. 不等式(1)是广为人知的循环不等式[1]、[2],并且已推广到多元情形[3],本文给出它的一个加权形式的推广. 定理 设,,abc皆为正实数,,,lmu是不全为零的非负实数,且2mul+?则有 ababcbcalmulmu+++++ 3ccablmulmu+?+++, (2) 等式成立当且仅当lmu==或abc==. 为证明定理,我们先给出一条引理: 引理[4] 设,iaR(1,2,,),ibRin?L则有 22111()niniiniiiiaabb===, 等式成立当且仅当1122///nnababab===L. 定理的证明 由假设,不等式(2)的左边的三个分母均大于零,于是…     

Weitzenbock不等式的一个有趣隔离

正1919年,Weitezenbock提出了关于三角形的著名不等式:a2+b2+c2≥槡4 3 S,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.关于它的推广与加强被广泛研究,但大多数是增加不等式右边的项数,如著名的Finsler-Hadwiger不等式:a2+b2+c2≥槡4 3S+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,当且仅当△ABC为等边三角形时,等号成立.本文从新的角度给出它的一个有趣隔离如下:定理在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C的中线长为m a,m b,m c,内角平分线长为w a,w b,w c,高线长分别为h a,h b,h c,△ABC面积记为S,则     

一个国际竞赛题的另证及其推广

第三届(1961年)国际数学竞赛试题中有一个题目:在△ABC中,a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2))△,等号仅当a=b=c时成立,a,b,c为△ABC的三边.本文将给出一个证明,然后用这个方法推广这个命题.先证明两个引理引理1 △≤1/3(3~(1/2))S~2,等号仅当等边三角形时成立.S表示三角形周长之半.证明1 因为周长一定时,以等边三角形面积为最大,所以周长为2S的三角形中以每边长2S/3的三角形面积为最大.     

一道课本复习题的探究

题目(人教版《几何》第二册复习题三Pll3第13题)如图】,A是CD上的一点,△ABC、△ADE都是等边三角形,BD. 分析:易证 证明:因为 所以AB=求证:CE=△ABD兰△ACE(SAS).△ABC为等边三角形,AC,乙召沌C二60“. 因为△ADE为等边三角形, 所以AD二AE,乙E.4D二600, 所以乙BAD二乙CAE=1200, 所以△ABD鉴△ACE, 所以CE二BD. 一、条件不变,引伸结论 变式I:在原题目不变的前提下,可以探求以下结论: (l)求证△ABF哭△ACC; (2)求证AG二AF: (3)连结‘F,求证△A‘F是等边三角形; (4)求证CF// CD. 证明:(l)因为△ABD丝△AcE, 所…     

等边三角形、正方形中的几个相关量

今年江苏省高考中有一题,请同学按要求设计一个底面是正六边形的帐篷,如果考生在初中打下了良好的数学基础,知道正六边形的边长和面积之间的关系,问题解起来会顺手得多,很多同学恰恰在这儿卡住了,或者慢慢去推算,导致时间不够.由此可见,对一些常见的图形,熟知它们的各个量之间的关系大有益处.一、等边三角形中边长、高、面积之间的关系如图1,等边△ABC的边长AB=a,AD是△ABC的高,那么D是BC中点,15图1∴BD=12a.∴AD2=AB2-BD2=a2-12a2=a2-14a2=34a2.∴AD=34a2=34a=32a.∴等边△ABC的面积S△ABC=12BC·AD=12a·32a=34a2.即:边长为…     

周界中点三角形内切圆半径之间的一个不等式

定理 设,,DEF分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BCa=,CAb=,ABc=,s=()/2abc ,△ABC、△AEF、△BDF、△CED的内 切圆半径分别为r、 Ar、Br、Cr, 则有 3272256ABCrrrr. 证明 由三角形周界中点的定义知 ,sABAEcAE= = ,sACAFbAF= = ∴AEsc=-,AFsb=-. 在△AEF中,由余弦定理知: 2222cosEFAEAFAEAFA= -?2()2(1cos)AEAFAEAFA=- ? 2222()2()()(1)2bcabcsbscbc -=- --- 2()()()()()sbscabcabcbcbc--- -=- 2224()()()sbscbcbc--=- 224()()/,sbscbc-- ∴2()()/.EFsbscbc-- 同理 2()()/.DEsasbab-- 2()…     

怎样证明等边三角形

在有关三角形的证明题中，经常出现求证一个三角形为等边三角形的问题．等边三角形是一类极特殊的三角形，具有许多特殊的性质，而课本对其判定方法未详细讲述，所以许多同学证明这类问题时不得其法．本文举例总结一些常见的证明方法．一、证三边都相等（运用定义证明）例1如图1，在等边三角形ABC的三边上分别取点D、E、F，使AD＝BE＝CF求证：△DEF是等边三角形．证明∵△ABC是等边三角形．∴AB＝　BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°∴AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE∴DE＝EF＝FD，即△DEF是多边三角形．二、证三个角都相等例2△A…