换元到最基本的代数方程中让本质暴露更完美——也谈一道三角题的隐形误解及正解探究

文[1]有这样一道例题：例1 已知sinacosβ=1/2,则cosasinβ的取值范围是（）,A,[-1/2,1/2] B,[-3/2,1/2] C,[-1/2,3/2] D,[-1,1] 例1是选择题,最简单的解法是科学猜估,即由正、余弦函数的有界性,极易排除B,C,D而选A,文[1],文[2]都是把例1按填空题或解答题处理的,文[1]剖析了文[2]给出的两个错解,并给出了3种正确解法,纵观文[2]的错解和文[1]对文[2]错解的剖析探究,以及文[1]的各种正确解法,都就三角函数论三角函数,且还用了均值不等式,故都不自然,也就不易被理解接受,结果还是云里雾里．     

解题宜简

文[1]利用6个例题从6个方面谈了如何培养学生的求简意识,文[2]谈了从问题结构特征来选择解题策略,读后颇受启发,同时又感觉到有话要说．我们在平时的数学教学中,应坚持通性通法,反对过份强调技巧,而文[1]中的4个例题的解法不是通法,我们很难想到,这与文[1]所倡导的培养学生的求简意识相矛盾．我把文[1]中的例1、例3、例4、例5、例6及文[2]中的例2作为练习题在我校高三实验班中进行试验,结果大多数同学能正确解答这些问题,但没有一个同学选择文[1]所介绍的方法．     

关于求f（x）的争论综述

1　争论缘何而起2 0世纪 90年代 ,笔者陆续见到文 [1]、[2 ]、[3]、[4].文 [1]的标题是 :怎样由 ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,文 [2 ]2 .3中的标题是 :已知复合函数定义域 ,求原函数 (外层函数 )定义域 .四文均认为 :在ｆ[ｇ(ｘ) ],ｘ ∈Ｅ 的前提下 ,ｆ(ｘ)的定义域就是 ｇ(ｘ) ,ｘ∈Ｅ 的值域Ｕ .如 :例 1[1] 　若函数 ｙ=ｆ(- 2ｘ2 1)的定义域是(- 1,1) ,则 ｙ=ｆ(ｘ)的定义域是 (- 1,1].例 2 [2 ] 　若函数 ｙ=ｆ(1ｘ 1)的定义域为[- 23,- 12 ],则 ｙ =ｆ(ｘ)的定义域为 [2 ,3].例 3[3] 　若 ｆ(1 1ｘ) =1ｘ2 - 2ｘ 1,…     

关于一道试题的解法及评分标准的讨论与反思

贵刊2007年第2期刊登了同一作者的两篇文章:文[1]与文[2],文[1]的例3与文[2]的例2又是同一道试题,并且是同样的解法,两文阐述了相同的观点.该例及解法如下:2     

关于一对姊妹不等式的推广

文[1]中有这样两道例题：例1（文[1]中的例3）已知a,b,c∈R^＋,且a＋b＋c=1,求证：     

NO.1 最HIGH拼词

将二个以上的语词组合成一段有创意的文句。例1:[老师]、[手表]我的老师每天盯着我的功课,就像我的手表每天盯着我的时间。例2:[电灯]、[闪光]、[破坏]那如电灯般明亮的爱情,却被他用闪光般的速度破坏了。     

极值填数问题再探

[1]内容精彩，深受数学爱好的欢迎。本对[1]中的例4、例5的解法进一步改进，并作了一般性推广。     

一道不等式恒成立高考题的错解分析

2012年浙江省数学高考理科第17题如下:例1设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0,则a=____.这道试题出来后,立即以其形式的简单性、内容的新颖性、思维的灵活性与广阔性等特征引起关注,本刊曾连续发表文章加以研讨(见文献[1]~[4]),也有作者多次撰文连续研讨(见文献[5]~[6]).从见于各刊的部分文章(见文献[1]~[13])分析显示:作者对本例作为数学题的关注多于作为考试题的关注,对本例正面求解的关注多于     

优美的“数、形、体”

关于数学中美的话题 ,近几年来许多人从多个层次都给过论述 ,但谈起数学中的美 ,黄金分割仍最先使人想到 ,许多与黄金数5 -12 有关的优美数、形、体 ,也都存在美的结论 .现举例如下 :1　优美方程例 1　试求一个正数ｘ(不一定是有理数 ) ,使它的小数部分 {ｘ},整数部分 [ｘ] ,满足 [ｘ] 2 =ｘ{ｘ}.解　由题意 :ｘ =[ｘ] +{ｘ}且 [ｘ] 2 =ｘ[ｘ]即[ｘ]{ｘ}=ｘ[ｘ] .所以 [ｘ]{ｘ}={ｘ}+[ｘ][ｘ] =1+{ｘ}[ｘ] .又易验 [ｘ] ≠ 0 ,从而 [ｘ]≥ 1,所以 [ｘ] <[ｘ]{ｘ}=1+{ｘ}[ｘ] <2 ,所以[ｘ] =1.由 1{ｘ}=1+{ｘ}解得 {ｘ}=5 -12 .故ｘ =5 +12 .…     

一道三角题的隐形误解及正解探究

文[1]中有这样一道例题及解法.例1（文[1]例4）已知sinxcosy=1/2,则cosxsiny的取值范围是（）.A.[-1/2,1/2]B.[-3/2,1/2]C.[-1/2,3/2]D.[-1,1]错解：设cosxsiny=t,sinxcosy＋cosxsiny=sin（x＋y）=1/2＋t,由-1≤     

一例值域问题的再探究

文[1]用数形结合处理了武汉市高中调考题中的一例值域问题,题目如下:求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.标准答案给出的一种解法容易出错,文[1]所用方法甚是巧妙,但文[1]的解法不符常规,     

本刊参考文献规范格式

一、专著类国书[序号]主要责任者．文献题名[M]．出版地：出版者,出版年：页码．例：[1]王策三．教学论稿（第二版）[M]．北京：人民教育出版社,2005：63．     

《用分数表示可能性的大小》教学

[教学内容]义务教育课程标准实验教科书(苏教版)数学六年级上册第94～95页例1、例2及相应的"试一试""练一练",练习十八第1、2题。[教学目标]     

再反思微型案例 试争鸣方程问题

就文[1]中的下述例题（原文例14）,文[2]进行了“再思考”： 例1 已知mn≠0,且n^2＋4m〉0,又 ma^2＋na-1=0, mb^2＋nb-1=0,（a≠b）     

推广不等式成立的条件——再谈√（a^2＋b^2＋k1ab）＋√（b^2＋c^2＋k2bc）≥√（a^2＋c^2＋k3ac）

1背景概述1．1从一个特殊的新解法开始 文[1]在叙述“差异分析法”的应用与不足时，举了一个不等式的例子(见文[1]例5)：     

错用的主谓一致

1．each 名词 and each 名词用作主语时,谓语动词用单数。 [错例]Each boy and each girl have got an apple． [改正]改have为has。 2．当一个兼两种身份的人作主语时,谓语动词用单数。 [错例]Her teacher and friend often help her to paint． [改正)改help为helps。 [归纳]两个名词用and连接用作主语,重复使用     

构造向量证明一类分式不等式

《数学通报》2003(1)文[1]逆用等比数列各项和公式及均值不等式111()nminmiimiaan=-=、《中学数学教学》(安徽)2003(3)文[2]利用均值不等式2(,)xyxyxyR 澄分别巧妙地证明了一类分式不等式,读后颇受启发.笔者发现,如果通过构造向量,利用向量数量积不等式||||||mnmn祝uvvuvv证明这类不等式更加方便快捷. 为应用方便,我们把不等式||||||mnmn祝uvvuvv写成222||||/||(0)mmnnn坠uvuvvvvv(*)证明时只要根据所证不等式的结构特点,构造适当的向量,再利用不等式(*)即可获证.文[1]、[2]中的所有例题及练习都可以用此法证明. 例1 (文[1]例1) 已知12,,,…     

“特征信息”的捕捉与解题的最优化

丁保荣在文 [1 ]中 ,提出了一个十分重要的问题 :通过捕捉题设 (或结论 )中的“特征信息” ,优化解题思路 .罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述 ,尤其是在解题分析中 ,非常重视解题速度、解题的最优化问题 .[2 ] [3]文 [1 ]的例 1、例 2的“特征信息” ,其实都可以联系到一个重要不等式 :定理　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,则 (ａ ｂ) 2 ≥ 4ａｂ .文[1 ]的例 1尽管给出了三种解题思路 ,但是却有美中不足 :尚未揭示出其最优解题思路 ;例 2虽巧妙地构造出二次方程 ,但仍然缺乏最优化思考 .本文旨在展示平凡的定理 (ａ ｂ) 2 ≥ 4ａｂ在“特征信息…     

教学应能够触及知识的灵魂——“小数的初步认识”教学评析

[案例] 例1．教学例1：桌面长5分米,宽4分米。     

古今异义词举隅

亲戚[今]旁系亲属。[古]指亲人,包括直系亲属。[例]寡助之至,亲戚畔之。(《<孟子>三章》)妻子[今]指男子的配偶。[古]妻子和子女。[例]遂率妻子荷担者。(《愚公移山》)所以[今]表示因果关系的连词。[古]用来,表凭借。[例]师者,所以传道授业解惑也。(《师说》)绝境[今]没有出路的境地。[古]与外界隔绝之地。[例]先世避秦时乱,率妻子邑人来此绝境。(《桃花源记》)无论[今]表示条件关系的连词。[古]更不必说。