对教材中一道例题的补充

对教材中一道例题的补充王志亮《平面解析几何》（必修本）第１１６页例３为：化直线的点斜式方程ｙ—ｙ０＝ｔｇａ·（ｘ—ｘ０）为参数方程。原解为：将直线的点斜式方程变形为设上述比值为ｔ，取ｔ为参数，得这就是过点Ｐ０（ｘ０，ｙ０）、倾斜角为α的直线的参数方程...     

直线的第二参数方程及其应用

直线的第二参数方程及其应用大连开发区第一中学邹楼海陕西合阳黑池中学王民生一、直线的第二参数方程图１已知直线ｌ过二定点Ｍ（ｘ１,ｙ１）、Ｎ（ｘ２,ｙ２）,设Ｐ（ｘ,ｙ）为ｌ上任意一点,它分线段ＭＮ的比ｔ＝ＭＰＰＮ,由定比分点的坐标公式,得ｌ的参数方程为...     

多姿的直线参数方程

多姿的直线参数方程湖北省京山一中梁克强直线参数方程的多样化，给它带来更多的灵活性，为它的运用开拓了多种渠道．一、从两个问题的解答谈起例１直线ｌ的参数方程为ｘ＝４＋２２ｔ，ｙ＝２＋２２ｔ（ｔ为参数），它与圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＝４交于Ａ、Ｂ两点，求弦ＡＢ的长...     

学会用和差代换解题

我们知道，对于任意实数ｘ与ｙ，恒有ｘ＝１／２（ｘ＋ｙ）＋１／２（ｘ－ｙ），ｙ＝１／２（ｘ＋ｙ）－１／２（ｘ－ｙ），若令１／２（ｘ＋ｙ）＝ｓ，１／２（ｘ－ｙ）＝ｔ，则ｘ＝ｓ＋ｔ，ｙ＝ｓ－ｔ，我们不妨称这个简单代换为和差代换．如果ｘ＋ｙ＝２ｋ（常数），我们则可引入参数ｔ，分别用ｋ＋ｔ，ｋ－ｔ代换ｘ和ｙ，用和差代换解决某些数学问题，简捷明快，颇具新意，下面我们就来看看这样几道例题。     

从“巧合”中探寻规律—— 一类对称问题的巧妙解法

从“巧合”中探寻规律——一类对称问题的巧妙解法赵斌（江苏江阴一中２１４４００）陆海泉（江苏射阳县中学２２４３００）引例求直线ｘ－２ｙ＋７＝０关于直线ｘ＋ｙ－１＝０对称的直线方程．解由方程组ｘ－２ｙ＋７＝０ｘ＋ｙ－１＝０｛得两直线的交点Ｐ－５３，８３．...     

用轨迹思想解题

在平面解析几何中,许多问题都与点的轨迹有关,求解此类问题时,若能用轨迹的思想方法去思考,往往会使问题迎刃而解．举例说明如下：１　判断位置关系例１　圆ｘ２＋２ｘ＋ｙ２＋４ｙ－３＝０上到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距离为２的点共有（　　）（Ａ）１个,（Ｂ）２个,（Ｃ）３个,（Ｄ）４个．（１９９１年高考题）分析　（１）先求到直线ｘ＋ｙ＋１＝０的距离等于２的动点的轨迹（两条平行直线）的方程．设与直线ｘ＋ｙ＋１＝０平行且距离等于２的直线方程为ｘ＋ｙ＋ｍ＝０,于是｜ｍ－１｜２＝２,得ｍ＝－１或ｍ＝３,所以ｌ１：ｘ＋…     

参数方程和普通方程互化的两个定理

参数方程和普通方程互化的两个定理张子忠（甘肃省定西教育学院７４３０００）在曲线的参数方程和普通方程的互化过程中，有时会出现改变曲线对应的点集，造成前后两种方程的曲线不完全相同的结果．明显的例子是：弹道曲线的参数方程ｘ＝ｖ０ｔｃｏｓα，ｙ＝ｖ０ｔｓｉｎ...     

错在哪里

题 由圆外一点Ｑ（ａ，ｂ）向圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２作割线交圆于Ａ、Ｂ两点，求ＡＢ中点的轨迹方程。 解 如图，设过Ｑ的割线的方程为ｙ－ｂ＝ｋ（ｘ－ａ），ｋ为参数。过Ｏ点作ＯＭ⊥ＡＢ，由Ｍ为ＡＢ的中点，且ＯＭ所在直线的方程为ｙ＝－ｘ／ｋ。又Ｍ为ＱＢ所在直线与ＯＭ所在     

’99高考数学(理)题24别解

题如图（１）,给出定点Ａ（ａ,Ｏ）（ａ＞Ｏ）和直线Ｌ：ｘ＝－１,Ｂ是直线Ｌ上的动点,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于Ｃ．求点Ｃ的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系．解法１设Ｂ（－１,ｙＢ）,则ＡＢ的方程为ｙｙＢ＝ｘ－ａ－１－ａ．又ｋＯＡ＝０,ｋＯＢ＝－ｙＢ,ｔｇ∠ＢＯＣ＝ｔｇ∠ＣＯＡ,∴－ｙＢ－ｋｏｃ１＋ｋＯＢｋｏｃ＝ｋｏｃ．（１）设Ｃ坐标为（ｘｃ,ｙｃ）,０＜ｘｃ＜ａ,则ｋｏｃ＝ｙｃｘｃ,代入（１）有ｙＢ＋ｙｃｘｃｙＢ·ｙｃｘｃ－１＝ｙｃｘｃ．消去ｙＢ化简得（１＋ａ）ｙ２ｃ＋（１－ａ）ｘ…     

运用一道课本习题的结论确定直线方程

高级中学课本《平面解析几何》（必修）（以下简称课本）２８页习题二第１６题为：设点Ｐ（ｘ０,ｙ０）在直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０上,求证：这条直线的方程可以写成Ａ（ｘ－ｘ０）＋Ｂ（ｙ－ｙ０）＝０（其中Ａ、Ｂ不全为零）．这一结论的证明并不难,但值得注意的是直线...     

直线划分平面区域的应用

直线划分平面区域的应用西安铁路成人中专谢日勤陕建第一子弟中学吴明霞定理在平面直角坐标系中，直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０（不妨设Ａ＞０，Ｂ＞０为直线ｌ；Ａ＞０，Ｂ＜０为直线ｌ′）上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）使得Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ＝０；直线上方的点Ｐ（ｘ０，ｙ０），...     

化归直线方程求解例说

设ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０,ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０,利用两直线方程的不同组合形式,化归为不同性质的方程,从而可使一些问题巧妙解决．１Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＋λ（Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２）＝０这种组合形式的方程,是大家熟知的经过两条直线交点的直...     

化简二元二次方程的新方法

化简二元二次方程的新方法●福建闽清一中刘贤强郑元魁传统的化简二元二次方程一般有两种方法：一是利用坐标平移，旋转公式；二是利用不变量。这两种方法学生难以掌握，而现有教材（必修本）也无坐标旋转及不变量知识。本文利用直线的参数方程：ｘ＝ｘ０＋ｔｃｏｓθｙ＝...     

抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

例谈解题中隐含条件的利用

例谈解题中隐含条件的利用□景泰县职业技术学校黄国杰例题：设直线Ｌ：ｙ＝ｋｘ与曲线Ｃ：ｘ＝１＋ｔｙ＝１＋ｔ２｛（ｔ为参数,ｔ∈Ｒ）有两个交点,求ｋ的取值范围．解一：将ｘ＝１＋ｔ①ｙ＝１＋ｔ２②｛代入ｙ＝ｋｘ得１＋ｔ２＝ｋ（１＋ｔ）,两边平方,合并得（ｋ...     

浅析根轴在中学数学解题中的应用

设圆Ｃ１：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０；Ｃ２：ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０。记Ｃ：Ｃ１＋Ｃ２＝０（为参数），则我们知道≠－１时，Ｃ的全体称为圆束。而＝－１时，Ｃ为一直线，它也就是圆Ｃ１、Ｃ２的根轴，其方程为：（ＤｌＤｚ）ｘ＋（Ｅ；Ｅ。）ｙ＋Ｆ；Ｆ。＝０显然，若两圆Ｃ１、Ｃ２有两公共点（相交），则其根轴就是公共弦所在直线；若两圆Ｃ１、Ｃ２仅有一公共点（相切），则其根轴就是过切点的公切线；若两圆Ｃ１、Ｃ２无公共点（相离或内含），则其根轴是一条垂直于连心线的直线（此线与Ｃ１、Ｃ２无公共…     

一类二阶非齐次微分方程属于极限圆型的充要条件

研究了一阶方程（ｒ（ｔ）ｘ’）’＋ａ（ｔ）ｘ＝０（＊）和（ｒ（ｔ）ｘ’）’＋（ａ（ｔ）＋ｂ（ｔ）ｘ＝ｆ（ｔ）（＊）按极限圆型分类问题，给出了方程（＊）是极限圆型的充要条件，另外还给出了方程（＊）和方程（＊）是Ｌ·ｂ的一些判别准则．））ｔｏｂｅｌｏｎｙＬ．ｃ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｉｎｓ；ｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒ；ｌｉｍｉｔｃｉｒｃｌｅｃａｓｅ；ｎｅｃｅｓｓａｒｙａｎｄｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ     

双曲线中点弦性质的应用

性质　设Ｐ１、Ｐ２是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上两点,Ｐ（ｘｐ,ｙｐ）是弦Ｐ１Ｐ２的中点,直线Ｐ１Ｐ２的斜率为ｋ,则有　ｙｐｘｐ·ｋ＝ｂ２ａ２．证明较简单,此处从略．应用此性质来解决有关双曲线中点弦的问题,有简捷明快、出奇制胜之感．本文拟谈谈该性质的应用．１　求中点弦例１　直线ｘ＋ｙ－２＝０被双曲线ｘ２３－ｙ２＝１所截得的弦的中点是．解　设弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,则由性质可得ｙ０ｘ０·（－１）＝１３,　∴　ｘ０＋３ｙ０＝０．（１）又点（ｘ０,ｙ０）在直线ｘ＋ｙ－２＝０上,∴　ｘ０＋ｙ０－２＝…     

变形Bessel函数与高阶双转点的方程

本文运用变形Ｂｅｓｓｅｌ函数这一工具，研究一类带双转点的方程εｙ″＋ （ｘ－ ａ）ｍ （ｂ－ ｘ）ｎｆ（ｘ）ｙ′＋ （ｘ－ ａ）（ｍ－ １）（ｂ－ ｘ）（ｎ－ １）ｇ（ｘ）ｙ＝ ０，０＜ ｘ＜ １，０＜ ａ＜ ｂ＜ １ 的解的渐近性态；并用匹配方法求得解的渐近展开。     

不定方程1/x 1/y=s/t正整数解的确定

推导并证明了不定方程１／ｘ＋１／ｙ＝ｓ／ｔ（ｘ，ｙ，ｔ，ｓ Ｎ，（ｔ，ｓ）＝１）正整数解的一般公式和几个结论，解决了这一形式的不定方程求正整数解的问题．