第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

一、如图,在凸四边形ABCD中,AB与CD不平行.圆O_1过A,B且与边CD相切于P,圆O_2过C,D且与边AB相切于Q,圆O_1与圆O_2相交于E,F.求证:EF平分线段PQ的充分必要条件是BC∥AD.     

折弦定理及其应用

1.概念 从圆上一点出发的两条弦所组成的折线叫做该圆的一条折弦。与圆的弦一样,圆的一条折弦也对应两条弧。 2.定理及其证明 折弦定理 若弦AB、BC组成⊙O的一条折弦,BC>AB,D是ABC之中点,DE⊥BC,垂足为E,则E是折弦ABC之中点,即CE=BE AB。 证明:在CE上取点P,使CP=AB,连结PD、DC、DB、DA,因D是ABC的中点,故AD=CD,故AD=CD,∠A=∠C,又CP=AB,     

初三第一学期期末平面几何质量检测题

一、填空题(每题3分,共30分) 1.在Rt△ABC中,么C=90。,BC=4,sinA=吾.则AB=——. 2.如图1,已知△ABC中,BC=4,么A=60。,么B=45。.则AC的 c长为 . 3.一圆中两弦相交,一弦长为2n且被交点平一分,另一弦被交点分成l:4两部分.则另一弦的长为一 4.如图2,00’内含于00,00的弦AB、AC分别切00’于D、E,^E的度数是140。.则砬的度数是 . 5.已知两圆半径分别 图2为1.5 cn'l和2.5 CITI,一条外公切线长为4 cIll.则两圆的位置关系是—— 6.如图3,AB是00的直径,CD是 .00的弦,AB、CD的延长线交于E点,已知AB:2DE,么E=18。.则么AOC的度数是图…     

巧用中线长定理解题

中线长定理又称Apollonius定理,关于此定理的一些基本应用可见1995年《中等数学》第1期,现再举一例: 直线上有四个点A、B、C、D,AB:BC:CD=2:1:3,分别以AC、BD为直径作⊙O_1、⊙O_2,两圆     

例题与联想

初中《几何》第三册第144页例题,给我们展示了一个广阔的联想空间。学会联想,善于联想,对于数学的学习无疑能起到举一反三、触类旁通的作用。例题如图,⊙O_1、和⊙O_2外切于点A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。求证:AB⊥AC。简证过点A作两圆的内公切线交BC于D。易证: BD=AD=DC ∴∠BAC=90°,即AB⊥AC。     

例析直线与圆锥曲线的位置关系

<正>一、直线与椭圆例1已知长方形ABCD,AB=22^(1/2),BC=3(1/2),BC=3^(1/2)/3。以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图1所示。(1)求以A、B为焦点,过C、D两点的椭圆Q的标准方程;(2)已知定点E(-1,0),直线y=kx+m与椭圆交于M、N两点,求证:对任意的m>0,都存在实数k,使以线段MN为直径的圆过E点。     

第31届IMO试题与解答

1.在一圆中,两条弦AB、CD相交于点。M为弦AB上严格在E、B之间的点。过D、E,M的圆在E点的切线分别交直线AC.BC于F,G.已知AM/AB=t,求GE/EF.(用t表示) 解法1:如图(1),∵GF是△DEM外接圆的切线,     

化归法简解一道中考题

试题 如图1,AD是圆的直径.BC切圆于D,AB、AC与圆相交于点EF,那么显然有结论:AE·AB=AF·AC.(*) 在图1中,如果把直线BC向上平移,使它与圆相交于两点,而AB、AC与圆的交点仍分别是E和F,便得图2.在此条件下,结论(*)是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。     

2006年中考数学模拟冲刺题（1）

一、选择题(每小题4分，共28分) 1.下列运算中正确的是(). A .2az一3a=一B.(一ab)2二一矿护C.口七刁=rD一汾于(一2a)=一护 2.A，B，C是平面内互不重合的三点，AB二3，BC二3，AC=6，下列说法中正确 的是(). A.可以画一个圆，使A，B，C都在圆上 B.可以画一个圆，使A，B在圆上，C在圆外 C.可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆外 D.可以画一个圆，使B，C在圆上，A在圆内 3.用两个完全相同的直角三角板(如图l)，不能拼成下列图形的是(). A.平行四边形B.矩形C.等腰三角形D.梯形 4.如图2，AB// CD，乙B=230，乙D=420，则乙E等于(). …     

一道2012年兰州市初中毕业考试题解法探究

题目:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC的中点,连结DE、OE.(1)判断DE与圆O的位置关系系并说明理由;(2)求证:BC2=2CD·OE;(3)若tanC=52,DE=2,求AD的长.     

一法多用

对形如x~2=y~2 k·z形式的结论的几何题,可把上式变形为k·z=(x y)(x-y),这样就可以应用圆的相交弦定理或圆的割线定理证明.下面就以例题来加以说明:例1:已知在△ABC中,∠B=2∠A,求证:AC~2=BC~2 BC·AB分析:由AC~2=BC~2 BC·AB变形得:BC·AB=AC~2-BC~2=(AC BC)(AC-BC)这样就可以以C为圆心,以BC或AC为半径作圆,利用圆的相交弦定理或圆的割线定理来证明.证明:如图1-(1)示:由于∠B=2∠A,则AC>BC,作以C为圆心,BC为半径的圆,分别交AC及其延长线于D、E,交AB于F点,则:AD=AC-CD=AC-BC,AE=AC CE=AC BC     

问题和解答

1.圆O为锐角三角形ABC的外接圆,AO,BO、CO的延长线分别交于 BC、CA、AB于D、E、F,交圆O于D′、E′、F′。求证 DD′/AD EE′/BE FF′/CF=1 证设圆O的半     

例说求线段的长

例l如图1,D为线段AB的中点,E为线段刀C的中点,C在AB的延长线上,AC一12,EC一4,求AD的长, 解’:E为BC的中点,EC一4,:.BC二ZEC一8. 丫AC~12, .’. AB一AC一BC一4.A D B Ec图1丫D为AB的中点,。.。AD-喜AB一2.乙 例2如图2,已知线段AB~16,C点在线段AB上,D和E分别是AC、CB的中点,那么DE的长为一解题方法一 解‘:D和E分别是AC、CB的中点,‘---日匕--~山~~~~~~A D C EB 1,~:二二-二,且L 艺图2…DC:。DE例3一DC+EC一EC= 1~n十万万七力 乙 X1一2 1,,~.on、一二二L入七十七力少 乙 1,。-二丁J气力- Z16=8如图3,延长线…     

从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

添设辅助线拾遗

在平面几何的学习中,同学们很重视添设辅助线的技巧与方法,但有两个问题容易被忽视,一是图形中有字母的地方,不一定就要在这里作辅助线,但如果题设的图形中有些点未标字母,辅助线是否就不能在这里添设;二是辅助线的位置找对了,但是作法欠妥,或者叙述欠严密。下面结合中考试题谈谈这两个问题.例1如图,已知BC为半圆的直径,AD与半圆相切于点D,在AB上截取AE=AD,过E作EF⊥AB,交AC的延长线于点F,过F作GF∥BC交AB的延长线于点G.求证:⑴AE∶AB=AC∶AF;⑵AB2=AD·AG.评析此为广东省的中考题.因为图中AB与半圆的交点未标字母,不少考…     

第31届IMO试题

第一天(北京·1990.07.12) 1.(印度)设圆内两弦AB,CD交于圆内一点E.在直线段EB的内部取一点M,然后过点D,E,M作圆,再过E作此圆的切线分别交直线BC,AC于点F,G.若AM/AB=t,试用t表出EG/EF. 2.(捷克和斯洛伐克)设n≥3,考虑一圆周上的2n-1个不同的点所成的集合E.如果将E中的一些点染成黑色,使得至少有     

(二十三)圆一章测试卷(A卷)

一、填空题（每空2分，共36分）：1．在的内接△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，E是BC的中点，AE交BC于D，则BD＝；2在中，弦AB经过弦CD的中点P，AB＝16cm，AP：PB—3：l，则CD一；3．在OO中，AB是直径，长为10／了cm的弦CD垂直平分OA于E，则OO的面积为4．在圆内接四边形＊＊CD中，若上B。＊D一4：5，则／B一，／D一；5．在圆内接三角形中，若三内角度数的比是2：3：4，则此三角形最小角所对的弧的度数是6．在00中，AB是直径，AC是弦，OD上AB交AC于D．若AD·AC—32，则AB一．；7在圆外切四边形ABCD中，若AB—2…     

几何不等式证明八法

1.利用三角形的边长关系 例1.AB为半圆直径,AC、AD指为半圆的满足∠BAC=∠CAD。 求证:AB+AD<2·AC。 简证:如图,显然有DC=BC,且知∠ADC与∠ABC互补。将△ABC绕着C旋转至△EDC位置,易证A、D、E共线,DE=AB,EC=AC。     

数学问题与解答

1985年第5期问题解答 81.在圆内接凸四边形ABCD中,⊙O_1、⊙O_2、⊙O_8、⊙O_4分别是△ABD、△BCA、△CDB、△DAC的内切圆.设AB、BC、CD、DA上的切点依次是E、F,M、N,G、H,P、Q.求证: (1)EF=GH,MN=PQ; (2)EF·MN=R_1R_3+R_2R_4(R_1是⊙O_i的半径).     

1981年第三期数学问题

1、已知AD是△ABC外接圆的直径,分别由B、C作AD的垂线,交AC、AB于E、F,求证:AB~3/AC~3=AE/AF。 2、已知两等圆O_1、O_2相互外切于P,且分别和边长为a、b、c的△ABC的∠B、∠C两边相切于D、G和E、F,求圆的半径。(以上两题,合肥八中周远鑫、合肥十五中余成培、合