一类分式不等式的统一初等证法

在国内外数学竞赛以及一些数学杂志上出现了一类分式不等式 ,许多专家都曾对这类不等式作过研究 ,指出了较多好的证法 .本文旨在说明这类分式不等式有一种统一初等证法 ,就是都利用一个常见的简单不等式 (a1+a2 +… +an) (1a1+ 1a2 +… +1an)≥n2 (ai >0 ,i=1 ,2 ,3,… ,n)加以证明的 .问题 1　 (英国竞赛题 )设正数a1,a2 ,… ,an 之和为S ,求证 :a1 S -a1+a2S -a2+… +anS -an≥ nn - 1 (n∈N ,n≥ 2 ) .解析　原不等式等价于(a1 S-a1 +1 ) +(a2S-a2 +1 ) +… +(anS-an +1 )≥ nn - 1 +n ,即 SS-a1+ SS-a2 +… + SS-an ≥ n2n- 1 ,即…     

一类分式不等式的一种证法

在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1　已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证　设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2　设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ…     

一类条件不等式的统一证法

先看下面不等式的证明过程:设x、y、z是非负实数,且满足x+y+z=1,求证:4(xy+yz+zx)-9xyz≤1。 证明:由对称性,不妨设x≥y≥z,则0≤z≤1/3,进而知4-9z>0。     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

一类优美代数不等式的统一证法

在初等数学研究里,不等式是人们研讨的一个热门话题．笔者在最近阅读名著文时,发现其中的一类优美代数不等式,均可建立在一个简单的不等式的基础之上,实现统一的证明．现整理成文,供有兴趣的读者教学和研究时参考．     

两类优雅的姊妹不等式统一证法

在文[1]中提出了两个新的无理不等式,其中提出一个定理1和它的猜想,下面给出它们的另一个姊妹不等式,同时用真分式换元法给予证明,供读者参考．     

分式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式　设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则　　　 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ …     

再谈一类分式不等式的统一证明

文[1]、[2]、[3]通过不同方法分别证明了一类分式不等式．笔者研读之余加以探索,发现通过构造函数,利用函数的凸性也能证明这类问题,首先给出两个常见的结论．     

一个分式不等式的应用

本文给出一个分式不等式，利用它可得到一些不等式的简捷证法，并轻松地解决一些较复杂的极值问题．     

利用导数证明不等式

本文试图就全日制普通高级中学教科书 (试验本 ,必修 )第三册 (理 ) ,“导数与微分”一章对导数证明不等式的方法作点归纳。1　用拉格朗日定理证明不等式定理　设 ｆ(ｘ)在 [ａ ,ｂ]上连续 ,在 (ａ ,ｂ)内可导 ,则在 (ａ ,ｂ)中至少存在一点 ζ ,使得 ｆ′ (ζ) =ｆ(ａ) -ｆ(ｂ)ｂ-ａ 。 (教材第 2 3 1页 ,定理 3 )根据这个定理 ,我们可以依据导函数 ｆ′(ζ)的变化范围 (如有界等 )及ａ <ζ <ｂ来证明不等式。利用这个定理证明不等式的一般步骤是 :(1 )选取函数 ｆ(ｘ) ,验证 ｆ(ｘ)在区间 (ａ ,ｂ)内满足拉格朗日定理条件 ;(2 )求 ｆ(ｘ)…     

对两个不等式的证明

就三角形内一个关于余弦的不等式猜想给出了证明 ,并将此结果类比到正弦     

构造凸函数证一类不等式

探究性学习是新课程标准提出的一个教学内容,我们在教学中要努力挖掘值得研究的问题,引导学生探究,完成从"接受性学习"到"研究性学习"的过渡.下面就新教材中的一道习题进行探究.实际教学中,可视学生的实际状况作组织安排与灵活取舍.     

用整数的离散性证不等式

整数的离散性是指:任何两个不同整数x、y之间的距离至少为1,即|x-y|≥1.     

设未知点证一类几何题

ab±cd=ef型几何题的证明历来是同学们学习中的一个难点,或一开始就觉得无从下手,或做了几步便黔驴技穷,最终都不得不遗憾地放弃.现介绍一种方法--设未知点法.     

构造函数证明一类连环和(积)型不等式

一类连环和(a1 a2 ... an＞bn)或积(a1a2...an＞bn)型不等式常出现在高考试题中,常规证明方法是数学归纳法,由于过程繁琐,且由n=k到n=k 1的证明过程灵活多变,不易操作,导致学生的证明过程常常残缺不全,如果构造函数f(n)=a1 a2 ... an-bn或f(n)=a1a2...an/bn,利用函数的单调性,则目标明确、思路单一、操作简单.下面举例说明.     

一组轮换对称不等式猜想的证明

运用不同的方法 ,证明一组轮换对称不等式猜想     

构作长方形数表证一类不等式题

文[1]用贝努利不等式的变式给出一类不等式题的证明方法,事实上这些题目都可以用构作长方形数表来证明,长方形数表也是证明不等式的一种重要途径．     

一类不等式及其证明

文 [1 ]有如下两个不等式 :已知a、b∈R ,a b =1 .则43≤ 1a 1 1b 1 <32 ,①32 <1a2 1 1b2 1 ≤85.②经研究 ,笔者发现式②可推广为命题 1　若a、b∈R ,a b =1 ,n∈N ,n≥2 ,则32 <1an 1 1bn 1 ≤ 2 n 12 n 1 .③证明 :先证明式③左边的不等式 .当n =2时 ,     

重视探究应用提高创新能力--兼谈一类不等式问题的简单解法

从课本一道练习题出发,推出一个有用的结论,由此给出一类不等式问题的简单解法.并举例说明利用该结论在简化解题中的应用,借此也进一步说明如何立足课本,在探究与应用中提高学生的创新能力.