用不等式证明等式

我们往往习惯于用等式来证明不等式，而忽视了不等式在证明等式中的“反作用”．其实对于许多等式，包括用常规方法难以证明的竞赛题，倘若恰当地选择以不等式作为证题手段，便可出奇制胜．同时，通过这种证法，还可使我们进一步明确“等”与“不等”的辩证关系，深化对数学问题的理解．本文举例说明用不等式证明等式的三种常见思路．一、证明不等式A≥B与A≤B同时成立，得A=B.n(a β),求证(第十七届全苏中学生奥林匹克赛题）α-β可构成某△ABC的三个内角,由正弦定由余弦定理得cos(-综上两方面结果，必有例2已知实数x、y、z同时满足条…     

三元轮换对称不等式的证明方法

一个含三个变数字母A、B、C的不等式,若将A、B、C顺次换成B、C、A,所得不等式与原不等式完全一样,则称此不等式为三元轮换对称不等式。如:a~3+b~3+c~3≥3abc;a~ab~bc~c≥a~(b+c/2)b~(c+a/2)c~(a+b/2)。一、用减元法证轮换不等式——原不等式去掉某个字母,先证二元不等式;类似地易证另外两个二元不等式,综合三式即得。     

G—B不等式的一个证明

在△ABC中:tg~2A/2 tg~2B/2 tg~2C/2≥2—8sinA/2·sinB/2·sinC/2,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 上述不等式就是所谓的“Garfunkel—Bankoff”不等式(以下简称“G—B”不等式)。下面给出“G—B”不等式的一个新的证法。     

对证明一个不等式的原理的讨论

在《漫谈一道国际数学竞赛题的证明》(见本刊1989年第4期,以下简称《漫谈》)一文中提出了以下证明不等式的原理:“如果我们确认A≥B和C≥D同为真、假命题,为了证明A≥B,则只须证明A+C≥B+D成立就够了。”为更明确,我们把这一原理表述为     

不等式的证明

关于不等式的证明,不少学生感到无从下手,其原因是证明思路没有一定的程序可循。各种类型不等式的证明,虽然涉及的范围广泛,技巧多样,方法灵活,但常用的有下面几种方法。一、比较法这是证明不等式的基本方法。如要证A＞B,可证A－B＞0或B－A＜0——求差比较法;如A＞0．B＞0．要证A＞B．可证＞1或求商比较法。例1、求证：a2＋b2＋c2＋4＞ab+3b+2c二、综合法利用题没和某些已知不等式作为基础,运用不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的思路是“由因导果”。例2（见上倒入I小口H：“．’a“＋b“＋c“＋4＝ta“＋＿r）＋〕t…     

配置对偶式证明不等式

在证明一些不等式时,针对题中式子A的结构特点,配上一个与A有内在联系的式子B(称为A的对偶式),利用A、B之间的运算作为桥梁,可促使问题的转化和解决.这种方法证明不等式,思路独特,事半功倍,其关键是如何确定式子A的对偶式B.现举例说明常用的配偶手段.     

放缩应适度 证明就有路

放缩法证明不等式的思路是：要证明A≥B，关键是找到C，使C满足A≥C且C≥B．而为了找到相应的C，我们往往会碰到一些棘手的问题： （1）认准了某个C，虽然已证明A≥C，但怎么也证不到C≥B．事实上，C≥B根本就不成立，这说明放缩过了头；     

利用不等式A kB≥(k 1)B证明不等式A≥B

不等式证明是高中数学教学的难点。对一类A≥B的不等式我们用它的等价不等式A kB≥(k 1)B并结合等号成立的条件来证明,往往会事半功倍,现举几例供读者参考。在下面不等式中左边记为A,右边记为     

巧用均值凑数证明一类不等式

高中教材中的基本不等式(a b)/2≥ab~(1/ab)(a≥0,b≥0)是证明不等式时经常要用到的,取等号的条件是“a=b”,我们称之为“元等”。若对于a b＝p(定值)当且仅当a=b＝p/2(定值)时,ab~(1/ab)才取得最大值。利用这一结论,我们可以证明一类不等式:     

轮换对称不等式的证明技巧

轮换对称不等式的证明技巧很多 ,但规律难寻 ,本文介绍四种具有规律性、程序化、易操作的方法供读者参考 .1　均衡配平法即从不等式左、右两边的“次数”、“项数”、“运算”入手 ,分析其结构上的差异 ,采取“配平的方法” ,使不等式两边达到“均衡” ,进而转化为“同类式”比较 .1 .1　次数均衡配平法例 1　已知ａ +ｂ+ｃ=1 .求证 :ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 13 .分析 :待证式的左边各项都是二次 ,而右边常数13 是零次的 .因此认为待证式两边的次数在结构上不均衡 ,所以将右边变为二次式尤为重要 ,而已知条件ａ+ｂ +ｃ =1 ,于是待证式可化为ａ2 +…     

一道不等式习题的构造法证明

本文给出高中《代数》下册中一道不等式习题的一种构造法证明 .原题如下 :求证 :a - a- 1相似文献   

费恩斯列尔——哈德维格尔不等式的简化证明

《数学通讯》一九八三年第十一期刊登了王玉怀同志编译的“费恩斯列尔——哈德维格尔不等式”(以下简称不等式)证明过程相当烦锁,不易读者理解和掌握。本文直接用余弦定理就可使证明,大为简化,并得到不等式两端之差的表示式 “不等式”是说,对任意边长为a、b,c的三角形,有a~2+b_2十C~2≥4 S3~(1/3)+Q其中S为三角形的面积,Q=(a-b)~2+(b-c)~2+(c- 我们的结论是如下等式     

Euler不等式与三角形不等式的证明

平面几何中有一个著名的Euler定理:“已知R是△ABC外接国半径,r是内切圆半径,d是两圆的圆心距,则d=√R(R-2r)。”由定理我们很快得到一个几何不等式R-2 r≥0即R≥2 r,它被称为Euler不等式。Euler不等式R≥2r,反映了三角形外接圆半径与内切圆半径之间的关系,简洁明快,这个不等式曾引起众多数学名家的浓厚兴趣,足见其重要性。事实上,在处理三角形不等式的问题时,常常将三角形的三边和三角用半周长s、外接圆半径R和内切圆半径r来表示,     

一个不等式的改进和证明

本文证明了如下不等式(B~n-A~n)/(B-A)≥n(A B/2)~(n-1)其中B>A≥0为实数,n≥1为正整数。它改进了有关文献中相应的结果。本文还指出了其几何意义,给出了一个待解的猜测。     

记号“≥”、“≤”表示什么?

记号“≥”我们将它读成“大于或等于”即“不小于”,记号“≤”读成“小于或等于”即“不大于”,表达式 f(x)≥0(或 f(x)≤0)一般称为非严格不等式.我们以记号“≥”为例说明非严格不等式 f(x)≥0的意义.设命题 A 表示 f(x)>0,命题 B 表示 f(x)=0,命题 c 表示 f(x)≥0(xR).则命题 C 即为命题 A、B 的“或”(逻辑和),C=A+B.据逻辑和的意义,只要命题 A、B 中的任一方为真,或双方为真,     

分析特征明确思路，强化基本不等式应用

不等式是高中数学的重要内容之一,而基本不等式√ab≤a＋b/2（a≥O,b≥O）的应用则是重中之重,它具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,同时也是证明不等式及求函数最值的重要工具．明确基本不等式的应用条件,灵活使用基本不等式是成功解题的关键,使用时要注意“一正、二定、三相等”的条件限制．     

浅谈不等式的几种常用证明方法

证明不等式,就是要证明给定不等式对于其定义域中一切数都能成立,即要证明它是一个绝对不等式,证明不等式的关键,在于抓住“条件”与“求证”之间的内在联系和结构特征,联系有关的基础知识,进行适当的变换。证明不等式的主要依据是不等式的性质,以及一些熟知的基本不等式,如ａ2 ｂ2≥2ａｂ(并且仅当ａ=ｂ时,等式成立)。ｂａ ａｂ≥2(ａ,ｂ同号,当且仅当ａ=ｂ时等式成立)。ａ ｂ2≥ａｂ(ａ,ｂ∈Ｒ 同号,当且仅当ａ=ｂ时等式成立)。ｔｇα ｃｔｇα≥2ｓｉｎα ｃｏｓα≥1　　(0≤α≤π2)不等的证明方法多种多样,下面例举几种常见思考方法,…     

杨乐不等式的又一初等证明

对杨乐不等式: 设A>0,B>0,A B≤π,0≤λ≤1,则 cos~2λA cos~2λB-2cosλA·cosλB·cosλπ ≥sin~2λπ (1)《中学数学》(苏州)93年第4期及《中学数学》(湖北)95年第1期分别给出了两种初等证明,本文用配方法给出它的又一初等证明。     

巧用定比λ>0证明不等式

读贵刊1995年第3期“巧用一个充要条件证明不等式”一文,感到该文中所列例题若用定比λ＞0证明,思路会更加自然、明快、简洁．证明设,要证题中不等式成立,只要证以B点为分点去分AC,所得定比λ＞0即可．要证题中不等式,只要证明以B点为分点去分AC的定比A＞0即可．由定比分点的坐标公式有N3证明设A（6,0）,B（IOg。105,0）,C（7,0）．要证题中不等式,只要证明以B点为分点去分AC的定比A＞0即可．巧用定比λ>0证明不等式@郭燕$甘肃省兰州市兰钢中学!730020     

利用切线方程证明不等式

笔者经过研究发现,对满足条件∑n i=1xi=A（≥A,≤A）,形如∑n i=1xif（xi）≥M（≤M）（A、M为常数）的不等式,利用切线方程证明是一个很好的方法．