排序法解题漫谈

如果一个数学问题 ,涉及到一批可以比较大小的对象 (如实数、线段、角、面积等等 ) ,它们之间事前并未规定顺序 ,在解题时 ,若能按照某种顺序关系 (如实数的大小、线段的长短等 )把它们依次排列起来 ,对问题的解决常常是有益的 .这种通过把所讨论的对象依某种顺序排列起来以达到解题目的的方法 ,我们称之为排序法 ,本文举列说明排序法在解题方面的应用 .1　解方程 (组 )例 1　求方程 ω!=x!+y!+z!的所有正整数解 .解　不妨设 x≤ y≤ z,显然有 w≥ z+1.所以有 (z+1) !≤w!=x!+y!+z!≤ 3z!,即 z+1≤ 3,z≤ 2 ,只能 x=y=z=2 ,w=3.例 2　已知方…     

运用旋转变换解题

旋转变换是指将某一图形(或图形的一部分)在同一平面内绕某定点旋转定角,得到与原图形全等的图形的数学思想方法.通过图形的旋转,使某些元素(线段或角)相对集中,以利于问题获解.实施旋转变换的前提条件是有公共端点的两等长线段.因此,凡涉及等腰三角形、等边三角形、正方形、菱形及中心对称等线段问题,解题时常可考虑旋转变换,而旋转角的大小,常需具体情况具体分析.     

数形结合的思想在高中数学解题中的应用

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含"以形助数"和"以数解形"两个方面.利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.一、利用数形结合思想解决集合的问题1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合,两圆相交则表示两个集合有公共元素,两圆相离则表示两个集合没有公共元素.若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题.例如:     

妙用排序法速解题

对于含有多个元素的数学问题,在解题时如果能够按照某种顺序关系把它们排列起来,从而可以使问题容易求解.下面举例说明,相信会对同学们有所启发,有利于开发大家从创造性思维,提高创新能力与技巧.     

运动图形的面积问题举例

正运动问题是以三角形、四边形或圆为背景,用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题。这类题的特点是:图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化过程中相互依存,相互制约,考查学生的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法。解决这类题的基本思路是"以静制动":即将运动的元素看成静止的元素;解题时,要对几何元素     

巧用“平移”“旋转”解平面几何

在平面几何题中所要证明的线段或角有时分布的过于分散．有时分布的过于集中,给解题带来了较大的困难。这时就需要把过于集中的线段或角分散开．把过于分散的线段或角集中起来．以便查找他们之间的关系。为此可以把题中部分已知图形大小不变地变换到新的有利的位置。借以沟通已知和未知的关系,化繁为简,化难为易,从而找到解题的途径．     

例说代数方程在几何计算题中的应用

几何计算题,是在给定已知条件下,求某些线段的长度、角的度数、两条线段的比值、图形的面积等等,它的基本问题是求线段的长度和角的大小．利用方程思想解答几何计算题,一般先把要求线段的长度或角的度数设为未知数,设法把其他有关的量用含未知数的代数式表示,然后通过解方程（组）得到所要求的结果．     

面积法在数学解题中的应用

<正>所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系,运用代数手段完成几何中的推理过程的方法.用面积法一般可不添或少添辅助线,证法简洁,易于接受和掌握.可以用来证明线段的数量关系、图形的分割、求线段的比和面积等.在数学解题过程中,面积法有着广泛的应用.应用面积法解题的理论依据:1等积定理:两个全等图形的面积相等;等底等高的两个三角形的面积相等;整个图形的面积等于其各部分面积之和.2面积比定理:两个三角形面积     

运用面积与等积变换解题初探

<正>面积与等积变换,主要是利用面积公式或等积变换求解或证明有关面积、面积比、面积恒等式,以及有关线段长、线段比等几何问题,是数学解题的重要方法,也是研究几何学的有力的工具,在平面几何问题中,虽然没有直接涉及面积,然而灵活运用面积与等积变换解决问题,往往会出奇制胜,事半功倍.一、若把给定的图形分成若干部分,则被分成的各部分面积之和等于给定图形的面积(一)等量关系的证明例1:求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和     

巧用旋转求解线段及角的不等问题

<正>旋转变换是指将某一图形(或图形的一部分)在同一平面内绕某一点旋转一个角度,得到与原图形全等的一种图形变换,是一种重要的解题思想和方法.通过图形的旋转,能使某些元素(线段或角)相对集中,以利于问题获解.实施旋转变换的前提条件是有公共     

不变性(量)思想的运用

含有某种变化过程的数学问题 ,变化过程中的“不变性”或“不变量”对问题的解决往往起着举足轻重的作用。我们把利用不变性 (量 )解决变化问题的思想方法称为“不变性 (量 )思想。”运用不变性 (量 )思想解题 ,思路新颖独特、收效立竿见影 ,可培养学生的解题能力和辩证唯物主义思想。运用不变性 (量 )思想解题的关键在于揭示题中隐含的不变性 (量 ) ,本文从以下几个方面挖掘不变性 (量 )。1　某一数量的不变性 (量 )在一种变化过程中 ,某个数量为不变量 (性 )。如角、距离、面积、体积、时间、速度和问题的答案等。例 1　设复数ｚ满足关系…     

2007中考热点专题（三） 运动型问题

以运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称之为运动型问题．这类问题的显著特点是：图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存．这类命题与一般试题有所区别,可能条件不够完备,也可能结论需要探究,且问题所呈现的形式具有一定的开放性．解答这类问题时,在观察几何图形运动变化的过程中要善于探索并发现一些几何性质、相互关系及规律．特别地,当中考命题者把这类试题以综合考查类知识的深度与难度作为中考压轴题呈现在中考试卷中时,学生要解答此类问题就必须具有扎实的基础知识和灵活的解题能力．解答这类问题时往往需要综合运用转化思想、数形结合思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想．     

巧数线段 妙解习题(初一、初二、初三)

有一类数学问题,需要数一数某种图形(如线段、角、三角形、长方形……)的个数.怎样才能做到即快又准计数呢?下面先提出一个问题:如图1,直线l上有n个点P1、P2、…、Pn,这n个点可以确定多少条线段?解直线上两个点可以唯一确定一条线段,所以     

分解思想在化学解题中的应用

分解思想:把原问题分解为若干便于解决的子问题、分解出若干便于求解的范围、分解出若干便于层层推进的解题步骤、……逐个给予解决,然后再把分解后讨论所得综合起来,从而得到整个问题(原问题)的解;它是解决复杂化学问题的捷径之一. “分解思想”在解题中的应用是多方面的,本文就其在解决化学问题时应用的几种形式介     

用配对思想解题

(本讲适合高中) 求解某些数学问题时,针对问题中一个式子(或集合)F的结构特征,配一个与F具有内在联系的式子(或集合)F′,即F的配对式(或配对集合),然后借助F＊F′(＊表示某种数学运算,如加、减、乘、除等),促进问题的转化和解决。我们把这种解决数学问题的思想称为配对思想。 运用配对思想解题的一般操作程序是:     

几何计数问题(上)

(本讲适合初中 )常规几何计算主要指与度量有关的线段长短、角度大小、面积多少等问题 .此处说的几何计数虽然不完全排除度量 ,但主要考虑超越度量的下述问题 :( 1 )具有某种性质的几何图形有多少个 ,如点的个数、线段的条数、三角形的个数及图形或区域的个数等 .( 2 )对几何图形作某种性质的处理时 ,其方法有多少种 ,如区域剖分、图形染色 (点染色、边染色、区域染色 )等的方法数 .1　基本思路处理这类问题通常要经历两步 :第一步 ,进行几何结构的分析 .几何结构分析 ,包括所给定的几何图形的结构分析和所进行的几何性质的结构分析 .比如 ,…     

巧用排序解赛题

对一些数学题中含有多个元素，它们之间事前未规定次序，在解题时若能按照某种次序关系把它们依次排列起来，使问题易解，这样的解题方法称之为排序．其解题的思维过程是：     

如何解排列组合问题

排列组合问题是数学教学中的一个难点 ,造成难点的主要原因有二 :一是当总的元素个数及抽取的元素个数相当大时 ,排列组合数很大 ,不可能用穷举法把所有的排列组合一一列出来 ,只能借助于分析、计算的方法解决 ;二是没有固定的解题模式 ,尤其是某些元素有一定的限制条件时 ,其计算往往难以下手。通过多年的教学 ,我们将有限制条件的排列组合问题 ,归纳出九种常用的解法。一、集合法把满足条件的元素或位置分成若干个集合 ,再分别计算各个集合的排列组合数 ,然后按集合的运算方法求之。例 1:5位男生和 5位女生排成一行 ,要求某男生在排头或某…     

浅谈面积法解题教学

所谓面积法,就是通过图形面积揭示几何元素之间关系的解题方法。三角形面积是一个数量,通过三角形面积公式把面积、边、角之间关系互相沟通,以恰当的转换求解。应用面积法解题简捷、明了,是解几何题的常用方法。下面就如何利用图形面积,实现转化,提高学生的解题能力,谈三点体会。１揭示图形面积的表达形式,认识面积与线段间的转换关系１．１图形面积与线段的几种转换关系在西ＡＢＣ中,约定ａ、ｂ、ｃ为各边之长,ｈａ为边ａ上的高线,Ｒ为三角形外接日半径,Ｓ△ＡＢＣ为三角形面积,则有Ｓ利用这个关系,可以推得特定条件下三角形…     

初等变换在解题中的应用

变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一一映射.它是数学中的一种重要思想,有助于我们深刻认识数学对象的内部联系.恰当地利用变换的观点和方法研究几何问题,常常能以简驭繁,给出灵活巧妙的解答方法.在中学数学中,常用的初等变换有对称、平移、旋转、压缩等.本文试图通过若干实例,探讨初等变换在解题中的应用.