无字证明阿基米德平方求和公式亮相安徽中考试题——从安徽2017年中考第19题说起

1 原题呈现 阅读理解: 我们知道,1 + 2 + 3 + … + n ＝ n(n + 1)2 ,那么12 + 22+ 32 + … + n2 结果等于多少呢? 在图1 所示三角形数阵中,第一行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2 + 2,即22;……;第n 行n 个圆圈中的数的和为n + n + … +nn个n ,即n2.这样,该三角形数阵中共有n(n + 1)2 个圆圈,所有圆圈中数的和为12 + 22 + 32 +… + n2.     

数列的递推关系在图形中应用

1数阵中的递推关系 例1将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律,数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为——．     

代数式(之七)

代数式之3:练习 1.三位自然数的百位上的数字是x,十位上的数字是O,个位上的数字是5. (l)用a的代数式表示这个三位数; (z)根据公式(a+b)2,写出这个三位数的平方的表达式; (3)现察(2)的结果有什么规律?然后根据这个规律直接写出以下三个平方数的结果: 2052;3052;8052. 2.各设计一个图形,分别说明以下的等式: (l)(m+。)(a十b)=、+赫+、+动; (2)(m+n)(m一n)=mZ一nZ; 3.计算(a一b)“一(a3一b3)+3ab(a一b). 4.当m~854,n一848时,求下面代数式的值: m3一3mZn+2n2(m一n)+mnZ十n3. 5.将下面的代数式写成最简单的形式: (l)9一6a+aZ=; (2)l+3x+3x2+x3…     

有理数规律探索性试题解析

新的课程标准要求体现同学们主动学习的过程,让同学们亲自参与数学活动,进行探索和发现,从而提高自己的创新能力.现从各省市中考数学试题中精选部分有理数规律性试题进行探索,供初学者借鉴.一、数阵规律探索问题例1:(2005年济南市)把数字按如图所示排列起来,从上开始,依次为第一行、第二行、第三行……中间用虚线围一列,从上至下依次为1、5、13、…,则第10个数为___________.解析:观察数阵中用虚线围成的数,不难发现:第2个数5比第1个数1多4,第3个数13比第2个数5多8,第4个数25比第3个数13多12,…,第n个数比它的前一个数多了4的(n-1)倍数,所以…     

两类Stirling数和一个自然数阵

文[1]提出一个自然数阵,并证明了所有偶完全数均在该数阵的第1行,这里我们证明-S_1(n 1,n)和 S_2(n 2,n)(S_1和 S_2分别为第1类和第2类Stirling 数)也有类似性质.(1)我们知道,将阶乘函数展开     

杨辉三角形的推广和应用(续)

三牛顿多项式定理和杨辉多棱锥数阵。如前所述,杨辉三角形数阵是牛顿二项式(a+b)~m展开式的系数数阵;杨辉三棱锥数阵是牛顿三项式(a+b+c)~n展开式的系数数阵,而且后一个数阵又是前一个数阵的拓广。由此类推,我们不难设想可以构造出一个m项n次幂多项式展开式的系数数阵。其构造方法如下: (1) 由空间一点O,引出m条射线OA_1、OA_2、OA_3…、OA_m,并且使∠A_1OA_2=∠A_2OA_3=…∠A_(m-1)OA_m=∠A_MOA_1 (2) 由点O起,用等长的线段在m条射线上截取若干个等分点。过各条射线上的各个分点,作其它任意两条射线所在平面的平行平面。这些平面在空间的交线便构成了一个网络,网络的结点称为格点。     

《恒定电流》单元检测题

一、选择题(有的小题不只一个答案) 1、电阻R,与电阻R:并联在电路中时,通过 Rl的电流是通过R:的电流,‘倍,则当R、与R:串 联在电路中间时,R;两端的电压u、与R:两端的 电压姚之比Ul/仇为: A .n;B.nZ尸:C.l/n;n.l/nZ。 2、一个标有“220V,60W”白炽灯,当用多用 电表的欧姆档去侧量它的电阻时,其阻值 A.近于smn B.接近于3.7n C.明显大于807n D.明显小于807n一 A.尸l>凡>尸3 B.尸3>尸1>尸2 C.尸4>尸3>尸2 D.尸4>尸1>尸3 6、四个小灯连 接成如图所示电路, 合上电键S,各灯均 正常发光。若小灯级 灯丝突然烧断,则其 余各灯亮度的变化 情…     

2004年河北省初中数学创新与知识应用竞赛预赛试卷

一、选择题(共6个小题,每小题5分)一(D)12以1.计算 仪(a一b)(a一c) b二,丁,-戈尸丁二------r十Lb一c八白一改)(C)1000 A(c一a)(c一丽的结果是(2a(a一b)(a一c) 2b(a一b)(b一c) 2c(a一c)(b一e)A) B)C) (D)02.已知四边形四条边的长分别是n;、n、p、q, 且满足mZ+nZ+PZ+92=2。:n+ZPq,则 这个四边形是() (A)平行四边形 (B)对角线互相垂直的四边形 (C)平行四边形或对角线互相垂直的四 边形 (D)对角线相等的四边形3.向高为10cm的容器注水,注满为止.若注水 量V(cnl子)与水深h(cm)之间的函数关系 的图象大致如图,则这个容器是() 第5题图第6题…     

数列与不等式

1.(广东卷,理5)已知数列{a,}的前n项和S,一矛一gn,第k项满足5相似文献   

因式分解应用一例

题目证明四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方. 证设这四个连续整数分别为。,n+1,。+2,。+3(。是整数).则。(。+1)(。十2)(二十3)+1 =”(刀+3)(刀+1)(儿+2)+1 =(”2+3。)(”2+3,+2)+1 =(刀2+3n)2+2(二2十3九)+1 一(nZ+3n+1)2.丫。2十3二十1一,(,十1)十(2二十1),其中,(n十l)是偶数,2。+1是奇数,…。(。+1)+(Zn十1)是奇数.:.原结论成立.因式分解应用一例@李寿金$贵州省威宁县羊街中学~~     

一类海伦数组美妙特征的证明

命题:以公式a.=nZ (” 1).b.=”(”2 艺” 2)e.=(” 1)(”2 ” 1)(1)构成的数沮(a。,b,,〔·,。)是海伦数组,且具有如下特征: (l)半周长S:=(” 1)3:(2)面积△,=”了” 1)2(nZ ” l);(3)e二边上的高h。=2”(” 1);(4)。.在e。上的射影,P二~2” !;b,在e,上的射影叭=价(” 2):(5)a。一h,~1,e,一b,=1.其中”~1,2,‘’‘ 证:而证e.>b.)a.,且a, b,一c,=2”(n l)>。,.’.(a。,久,c.)可作成三角形的三边长标入}冲“(1)(2)丫以(几,证略.△.=J‘(s,一。,)(,一6,)(“万万 ~f:(” l):(护 ,: 1)b.,c.)为边的三角形各边长和面积都是整数,二(a.,b.,c.)是…     

“一元一次方程”自测题

一、填空题 (第 1 3题每小题 8分 ,第 4,5题每题 6分 ,共 3 6分 )1 .运用等式的性质 ,解下列问题 :( 1 )如果两个正方形的边长分别是m ,n ,并且第一个正方形的周长是第二个正方形周长的 4倍 .那么m和n间的关系是　　　　 .( 2 )如果 5 -3a =5 +b ,那么 3a与b间的关系是　　　　 .( 3 )如果s,t两个数的乘积是 -1 ,那么s,t间的关系是　　　　 .2 .合并含有相同字母的项 :( 1 ) 3x +x+2x =　　　　 ;( 2 ) 14y +12 y +13 y =　　　　 .3 .去括号 :( 1 )m +( 1 -3m2 ) =　　　　　　 ;( 2 ) 5n -2 ( 3n2 -1 ) =　　　　　　 .4.百位数是x ,十位…     

2005年全国普通高等学校招生统一考试 上海卷数学试题

理科 一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数f(二)=l咱(x+l)的反函数f一’(x)+(一l)”nain,i=1,2,3…,n!.例如:用1,2,3可得数阵如图2,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以‘+bZ+…占6二一12+2X12一3X12=一24.那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,bl+b:十…bl2() 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题. 2.方程4‘+2一r一2=0的解是 3.直角坐标平面及〔卜中,若定点A(1,2)与动点P(二,妇满足茄·成一4,由点尸的轨迹方程是 4.在(二一a)‘“的展开式中,尸的系数是巧,则实数a…     

第2006个数是多少

问题:按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27……求这串数的第2006个数是多少?这是一道求数列(一串数)中某项(某个数)的巧算题。其特点是已知它的前6项a1、a2、a3、a4、a5、a6,要求第2006项a2006等于多少。解题的关键是先找出第n项an与序数n的数量关系,并熟悉等差数列求和公式。公式:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2可以这样思考,先把前6项从第二题起拆开写成和:a1=2,a2=5=2+3,a3=9=2+3+4,a4=14=2+3+4+5,a5=20=2+3+4+5+6,a6=27=2+3+4+5+6+7。于是找到规律。规律:数列第n项an等于n个连续自然数的和。其中第一个数(首项)是2,最末一个数(末项)…     

第十五届江苏省初中数学竞赛试卷(初三年级)

一、选择题(每小题6分,共36分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内. 1.多项式尸一x+1的最小值是().(A)15一4 B2.式子10一10}Zx一3!(1簇二镇2)的不同整数值的个数是().(A)9(B)10(C)11(D)123.自然数、满足(nZ一2。一2)·2十”,一(n“一2,,一2),6一,6,这样的,的个数是( (A)2(B)(C)3(D)44.△ABC中,匕ABC一3。。,边AB二10,边AC可以取值5、7、9、n之满足这些条件的互不全等三角形的个数是(). (A)3(B)4(C)5(D)65.A、B、C、D4个人参加某一期的体育彩票兑奖活动.现已知:如果A中奖,那么B也中…     

sin~2α cos~2α=1的运用

“,“2“斗一cOSZ“一1是一个十分重要的公式,灵活运用它解三角题,可以沟通已知与未知的内在联系,达到化繁为简、化难为易的月的.下而介绍它在四个方面的运用. 5 insa十eossa 5 insa(5 inZaeosgaeosZa)‘ 一 C/万走), 小/万走)”(2k2十3k2)‘(2电十3今)ks(2 3)4k8丝625一用s:n,a eos‘。一1转化条件用a~(sinZa eos,a)a化三角式例1(1994年高考)已知sin6 eoso~冬,。任(。,O例4(第16届哈尔滨市高中数学竞赛试题)已知二),贝。tgo的值是:将已知等式两边平方,得tgx-丫下一,求eos4x一eosZrsin23工的位.如解S‘nZ“一十2·‘no·o·夕 一“一矗…     

一九八○年合肥市、淮南市中学生数学竞赛试题及参考解答

一、证明等式:ina。inZa。in3a=0.8对a为任何值都不成立 证明:‘.’。ina。in3q=士(eo、Za一eo、4a) 则。ina,inZ a oin3a=含、inZa(eo公Za一eo;4a) =去。云n4a一士。inZ a eoo4a<十+士=0.75 .’.,iu a oinZ a oin3a== 0.8对a为任何值都不成立1)一l)二、求证:(23一1)(23+1)(33一1)(3”+1)(43(4“+(n3一1)(刀3+1) 2:二一. 3”2+n+1刀(n+1)其中。是大于1的自然数证明:,.’(n+l),一(n+1)+1二nZ+儿+1.’.左式_(2一1)(3一1)(4一1)··一(n一1)(22+2+i)(32+3+z)一(2+1)(3+i)(4+i)……(n+l)(22一2+1)(3“一3+i)_]·2·3……(n一1)(2:+2+1)(32+3…     

一类新颖的数列问题

近年来 ,与数阵 (表 )有关的高考试题频频出现 ,如 2 0 0 3年全国理科数学第 2 2题 ,2 0 0 4年春季北京卷第 2 0题 ,2 0 0 4年春季上海卷第 11题等等 .此类问题对大多数学生来说由于背景较新 ,所牵涉到的知识为数列综合知识 ,故具有一定的难度 .本文就这一类问题分类解析 ,供大家参考 .1　给出数阵 (表 ) ,求解问题例 1　下表给出一个“等差数阵” :4 7(　 ) (　 ) (　 )……a1j ……712 (　 ) (　 ) (　 )…… a2j ……(　 ) (　 ) (　 ) (　 ) (　 )……a3j ……(　 ) (　 ) (　 ) (　 ) (　 )…… a4j ……………………………………………     

这个数列的通项公式是什么?

六年制重点中学高中代数第二册第44页的练习第3题为:a_1=3,a_2=6,a_(n+2)=a_(n+1)-a_n,求出这个数列的前5项。做完之后,自然会提出这样的问题:怎样求出这个数列的通项公式? 下面给出两种解法。解法一:由递推式可求出这个数列的前几项:3,6,3,-3,-6,-3,3,6,3,-3,-6,-3,……。     

2002年全国初中数学联合竞赛试题第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 。0 本题共有6个小题,每题均给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且仅有一个是正确的.将正确答案的代号字母填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分. 1.已知仁、/虿一1,b=2、/虿一、/百,c:、/6一一2,那么0、6、c的大小关系是( ). A.a相似文献