利用几何画板解决动点问题

<正>本文以一道中考试题为例,说明如何利用几何画板突破难点,解决一类动点问题.题目(2014年烟台中考题)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连结AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由;     

由一道高考题探究解析几何中的探索性问题

引题:(2003全国卷21题)已知常数 a>0,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=4a,O 为 AB 的中点。点 E、F、G 分别在 BC、CD、DA 上移动,且(BE)/(Bc)=(CF)/(CD)=(DG)/(DA),P 为 GE 与 OF 的交点(如图)。问是否存在两点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由。     

再谈一题多解 培育发散思维

<正>本文探究一道二次函数动点问题的多种解法,旨在给大家以一些启迪.题目已知二次函数y=1/4x²+1的图象如图1,点F(0,2),点A在抛物线上移动,其横坐标为t(其中t≠0),直线AF交抛物线于另一点B,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是C、D,(1)求证:AC=AF.(2)试用t表示点B的坐标.(3)当点A在抛物线上移动时,∠CFD的大小是否发生变化?如果不变,请求出度数;如果变化,请说明理由.     

特殊四边形的性质与判定

例1(2010贵州贵阳)已知,如图1所示,E,F是四边形ABCD对角线AC上的两点,且AF=CE,DF=BE,DF∥BE.(1)求证:△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.     

化归法简解一道中考题

试题 如图1,AD是圆的直径.BC切圆于D,AB、AC与圆相交于点EF,那么显然有结论:AE·AB=AF·AC.(*) 在图1中,如果把直线BC向上平移,使它与圆相交于两点,而AB、AC与圆的交点仍分别是E和F,便得图2.在此条件下,结论(*)是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。     

一道压轴题的研讨

正1、背景呈现在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.试探索以下问题:(1)当点E为AB的中点时,如图1,请判断线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE_DB(填""、""、"=")(2)当点E为AB上任意一点时,如图2,AE与DB的大小关系会改变吗?请说明理由.     

从一道高考题谈起

2012年福建理科卷19题为: 如图,椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e =1/2.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.     

全国卷第（21）题别解

试题　已知常数 a(a>0 ) ,在矩形ABCD中 ,AB=4 ,BC=4 a,O为 AB的中点 ,点 E,F,G分别在 BC,CD,DA上移动 ,且 BEBC=CFCD=DGDA,P为 GE与 OF交点 ,问是否存在两个定点 ,使 P到这两点的距离和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 .解　由已知 ,易知 GE必过点 (0 ,2 a) ,凤OF的方程为 y=k1 x　 1,GE的方程为 y=k2 x+2 a　 2 .由 1,得 F点的横坐标为 4 ak1,由 2 ,得 E点的纵坐标为 2 k2 +2 a,于是 CF=2 - 4 ak1.由已知 2 k2 +2 a4 a =2 - 4 ak1 4 ,化简得 k2=- 2 a2k1 ,代入　 2 ,有 y=- 2 a2k1 x…     

一道中考题的多证与思考

<正>原题(2014年临沂中考题)问题情境如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.探究展示(1)证明:AM=AD+MC;(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.拓展延伸(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.证明(1)方法一(补短法)如图1,延长MC到F,使CF=AD,连结     

由一道高考题探究解析几何中的探索性问题

引题 :( 2 0 0 3年全国卷理 2 1题 )已知常数 a>0 ,在矩形 ABCD中 ,AB =4,BC =4a,O为AB的中点 .点 E、F、G分别在 BC、CD、DA上移动 ,且 BEBC=CFCD=DGDA,P为 GE与 OF的交点(如图 1) .问是否存在两点 ,使 P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 .图 1这是一道典型的探索性问题 ,它是由椭圆的规尺作图法 (教材中有抛物线线的矩形作法 )改编而成 .该题条件、结论可塑性强 ,对培养学生各种能力提供了很大的空间 .笔者想通过对这道题的探求 ,谈谈解析几何中探索性问题的 4种类型及…     

为什么这样做——一道中考定值问题解题策略赏析

正请看2010年广东省广州市中考第24题及其问题(2)的解法:如图1,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC的面积为S,若,求△ABC的周长.略解:∠ACB是定值.理由:     

数学奥林匹克问题

本期问题初203设△ABC为任意三角形,AE、AF是∠A的两条三等分线(E、F在BC上).求证:EF·BC<3BE·CF.(李先品江苏省新沂市教师进修学校,221400)初204如图1,O是单位正方形ABCD图1的中心,点P在边BC上(P不与顶点B、C重合),直线DP交边AB的延长线于点Q,DP交对角线AC于点E,直线QO交边AD于点F.(1)比较AF+BP与AB的大小,请说明理由;(2)比较AF+BP与23AB的大小,请说明理由;(3)若EF∥AB,求CP的长度;(4)若EF∥OP,求CP的长度.(吴伟朝广州大学数学与信息科学学院,510006)高203试证明:存在无穷多个由1,2,3,4这四个数码构成的完全…     

一道中考压轴题的多种解法

2006年宁波市中考的压轴题如下已知⊙O过点 D(4,3),点 H 与点 D 关于 y 轴对称,过 H 作⊙O的切线交 y 轴于点 A(如图1).(1)求⊙O的半径;(2)求 sin∠HAO 的值;(3)如图2,设⊙O与 y 轴正半轴交点为 P,点 E,F 是线段 OP 上的动点(与点 P 不重合),连结并延长DE,DF交⊙O于点 B,C,直线 BC 交 y 轴于点 G,若⊿DEF 是以 EF 为底的等腰三角形,试探索 sin∠CGO 的大小怎样变化?请说明理由.     

学生的质疑是老师不断进步的思想源泉

在高三第三轮复习中,有这样一道题:曲线y=f(x)=-1/6x~3 1/2x~2 x,问曲线上是否存在一点P,使得y=f(x)的图像关于点P中心对称?若存在,请求出点P坐标,并给出证明;若不存在,请说明理由.     

一道几何动态型探索题的解析

题目　 ( 2 0 0 3年南通市 )如图 1 ,在菱形ABCD中 ,AB=1 0 ,∠BAD =60°,点M从点A以每秒 1个单位长的速度沿着AD边向点D移动 ;设点M移动的时间为t(秒 ) ( 0 ≤ t≤1 0 ) .( 1 )点N为BC边上任意一点 ,在点M移动过程中 ,线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分 ?并说明理由 ;( 2 )点N从点B(与点M出发的时刻相同 )以每秒 2个单位长的速度沿着BC边向点C移动 ,在什么时刻 ,梯形ABNM的面积最大 ?并求出面积最大值 ;( 3 )点N从点B(与点M出发的时刻相同 )以每秒a(a≥ 2 ) 个单位长的速度沿着射线BC方向 (可以越过C点 )移动…     

从特殊到一般——一类与四边形相关的探索型考题赏析

分析、发现特殊条件下存在的结论,类比探索一般条件下这种结论是否成立,或有何变异,是中考中的一种重要题型,也是解决问题的一种重要探索方法,本文以一类与四边形相关的探索型考题为例,介绍如下.例1(上海市中考题)已知正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN⊥DM交∠CBE的平分线于N(如图1).(1)求证:MD=MN;(2)若将上述条件中的“M为AB中点”改为“M是AB上任一点”.其余条件不变(如图2),则结论MD=MN还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.析解(1)证明:取AD中点F,连结FM.则DF=MB.∵△FAM是等腰直角三角形,…     

教师的经验要顺从学生的思维——一道测试题的解题教学实践与思考

1 试题概况 在一次高二的检测考试中,遇到了这样一道压轴题:已知椭圆C:x/a2+y/b2=1(a＞b＞0),圆O:x2+y2=b2,点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是圆O上的动点. (1)若P(-1,√3),PA是圆O的切线,求椭圆C的方程; (2)若PA/PF是常数,求椭圆C的离心率; (3)当b=1时,过原点且斜率为k的直线交椭圆C于D、E两点(其中点D在第一象限内),它在x轴上的射影为点G,直线EG交椭圆C于另一点H.问是否存在正实数a,使得对于任意k＞0,都有DE上DH?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.     

三角板演绎几何世界

例1(2008山东威海、2009河南)(1)把两个含有45°角的直角三角板如图1放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F.求证:AF⊥BE.(2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置,点D在BC上,连结BE,AD,AD的延长线交BE于点F,则AF与BE是否垂直?说明理由.     

例说线段和角的探索问题

学习了线段和角的知识后,有时会遇到一些有关的探索问题.解答时要注意,无论是线段探索问题,还是角探索问题,都应从计算入手. 一、线段探索问题 例1 如图1,已知点C在AB上,E、F分别是AC、BC的中点. (1)当AC=6,BC=4时,求EF的长; (2)当AB=m时,你能用m的代数式表示EF的长吗?若能,请写出结果及解答过程;若不能,请说明理由.     

向量在解析几何中的应用

向量作为一种工具在数学的许多领域有着广泛的应用,在解析几何中更是如此. 近年来新课程的高考试卷中向量与解析几何的综合问题几乎每年都有,而且考查的方式也由浅层的交汇向深层的融合发展.一、以向量形式出现的解析几何问题1.用于求轨迹方程例1 已知F1(-1,0),F2(1,0),A(12,0),动点P满足3PF1 ·P A PF2 ·P A=0.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;(Ⅱ)是否存在点P,使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)设P(x,y),则PF1 =(-1-x,-y),PF2 =(1-x,-y), P A=(12-x,-y), ∴PF1 ·P A=(x 1)(x-1…