应用向量工具解决立体几何中距离问题

1.知识要点 ①点M0到直线l的距离 设M0M⊥l ,且l的方向向量为a,M1为l上的一 点,并记M0到直线l的距离为d. 方法一:由平行四边形的面积 公式可得距离d=|a×|Ma|1M0| 方法二:若已知垂线M0M上 的某一向量n,则距离d就是M1M0在n上的射影长 度,即d=|n×|Mn|1M0| ②点M到平面α的距离 设P是平面α内一点,n是平面α的一个法向量, 则点M到平面α的距离 d=MN=|P|Mn·|n|. 证明:PM在n方向的射影的长度即M到平面α的 距离d. ∴d=|PM||cos |. 又cos…     

法向量在立体几何中的运用

在高中立体几何中引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度,法向量的引入,对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助.下面简单介绍法向量在立体几何中运用.一、点到平面的距离.(先确定平面的法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长.设n是平面α的一个法向量,P0是平面α外一点,P是平面α内一点,则点P0到平面α的距     

垂足定位的若干方法

在立体几何中,解决线面成角、空间距离(点与面、线与面、面与面)、体积等问题时,同学们苦于找不到相应的平面角和相应的距离而陷入困境,觉得无从下手.其实,这些问题的解决都与垂足定位有关.1辅助垂面法面面垂直的性质定理说明:如果2个平面垂直,那么,其中一个平面内的任意一点(或任意一条直线)在另一平面内的射影在两平面的交线上.为此欲找一点P(或者一条直线l)在平面α内的射影,只需过点P(或者过直线l)找一个平面β与α垂直,则点P(或者直线l)在α内的射影在两平面的交线上.例1如右图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,D为AB中点,将△…     

寻找点在平面内射影的一种方法

立体几何中求夹角和距离的问题是历年高考的热点和焦点．而用几何方法求夹角和距离时，往往离不开射影，尤其是涉及到平面外一点在平面内的射影的问题．例如，求点P到平面α的距离就要找出点P在平面α内的射影；求OP与平面α所成的线面角，就要找出OP在平面α内的射影；求二面角α—l-β，若知P∈α，可找出P在β内的射影，等等．     

解立体几何综合题的关键及突破口——点在面上的射影位置的确定

高考立体几何综合题设计 ,大多以多面体和旋转体为载体 ,考查角和距离问题 .而角和距离的定义都和点在面上的射影有关 .线面角为斜线和斜线在平面上的射影所成的角 .二面角的平面角常常采用“三垂线法”作或找 ,关键是寻找面的垂线 .至于线面距离 ,面面距离 ,异面直线的距离 ,通过定义和结论均可转化为点到平面的距离 .而点到面的距离往往通过点有一个平面和已知平面垂直 ,利用面面垂直性质 ,转化为平面内一点到交线的距离 ,即点在已知平面上的射影在两平面的交线上 ,把握住这一点就寻找到解立体几何综合题的关键和突破口 .于是在立体几何总…     

法向量在立体几何中的妙用

立体几何中经常需要计算有关距离和空间角 ,在解决这一问题时 ,也常常需要作出垂线段和角 ,这是解决问题的难点 ,应用法向量可以解决这一难点 .《人教版高中数学第二册 (下Ｂ)》第 42页对平面的法向量是这样定义的 :如果向量ｎ⊥α ,那么向量ｎ叫做平面α的一个法向量 .课本还给出射影的定义 :已知向量ＡＢ =ａ和轴ｌ,ｅ是与ｌ同方向的单位向量 (图 1 ) .作点Ａ在ｌ上的射影Ａ′,作点Ｂ在ｌ上的射影Ｂ′,则Ａ′Ｂ′叫做向量ＡＢ在轴ｌ上或在ｅ方向上的正射影 ,简称射影 .可以证明Ａ′Ｂ′=ＡＢｃｏｓ〈ａ ,ｅ〉=ａ·ｅ.同样 ,设ｎ是与ｌ同方…     

求空间距离的统一公式

向量的引入,为我们解决几何问题提供了强有力的工具,空间点、线、面之间的所有距离,都可用以下一个公式简便求出。定理空间非零向量E!F在向量"n上的射影长为d=E!F·"n/n".下称该公式为影长公式,并称E!F为联系向量。该公式的来路是,由课本高中第二册(下B)第33面向量射影的定义,对向量EF在轴L上或在与L同方向的单位向量e#上的射影E1F1$%,有E1F1=E!F·e&其中点E1、F1分别是点E、F在L上的射影。令n"是与e&同方向的任一非零向量,则e&="n/"n,这时,d=E1F1=%EF·e&=%EF·n"/"n=E%F·"n/"n。1.点到直线的距离为求点E到直线L的距离,如图2…     

向量──求空间距离的有力工具

向量除了用来求解有关角度 (包括垂直 )问题 ,还可以用来求各种距离 ,包括两点间的距离 ,点到直线的距离 ,点到平面的距离 ,异面直线之间的距离 ,等等 .具体途径如下 :(1)欲求两点Ｅ、Ｆ之间的距离 ,改为求向量ＥＦ的模 ;(2 )欲求点Ｅ到直线ＡＢ的距离 ,在ＡＢ上取一点Ｆ ,令ＡＦ =λＦＢ ,由ＥＦ⊥ＡＢ或求｜ＥＦ｜的最小值 ,求得参数λ值 ,以确定Ｆ的位置 ,则ＥＦ的模｜ ＥＦ｜即为点Ｅ到直线ＡＢ的距离 .(3 )欲求点Ｅ到平面ＡＢＣ的距离 ,可设ｎ为平面ＡＢＣ的法向量 ,Ｆ为平面上任一点 ,则Ｅ到平面ＡＢＣ的距离ｄ=｜ＥＦ·ｎ｜｜ｎ｜ .(…     

如何确定点或直线在平面上的射影位置

点或直线在平面上的射影位置是立体几何中的基本问题 ,许多立体几何问题往往都需要归结为确定点或直线在平面上的射影 .确定点或直线在平面上的射影没有一个统一的方法 ,主要是根据有关的定理或结论 .下面是几个常用的结论 .1 两平面垂直时 ,一个平面内的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上 ;2 如果平面外一点到平面内一个角的两边距离相等 ,则该点在这个平面上的射影在这个角的平分线上 ;3 平面外一条直线 ,如果经过平面内一个角的顶点 ,而且与这个角两边成等角 ,则这条直线在平面上的射影是这个角的平分线 ;4 若三棱锥的三条…     

巧用射影法解立体几何题

在立体几何中,将某直线或某平面图形垂直投影到某个平面内,或者将某向量投影到一个单位方向向量上,常常可以巧妙地求解二面角、距离、体积等问题.一、面积射影法若二面角的一个半平面内有一个面积为S的多边形,此多边形在另一个半平面内的射影构成的多边形的面积为S',则利用公式cosθ=S'S可求出二面角θ的大小.例1如图1所示,一条长为2的线段AB夹在互相垂直的两平面α、β之间,AB与α成45°角,与β成30°角,过A、B两点分别作两个平面的交线的垂线AC、BD.求平面ABD与平面ABC所成的二面角.分析常规解法是先作出所求二面角的平面角,然后…     

点在平面内的射影

点在平面内射影的位置,是立体几何的基本问题,也是高考的必考内容,许多有关角和距离的问题都与确定点在平面内射影有关,下面是点在平面内射影的重要结论及其应用.一、结论1.过平面α内的∠EAF顶点A的斜线AP与这个     

射影坐标与距离的新公式

1引言在欧氏空间R3中设任一直线与任一平面相交,其交点为O0（x0,y0,z0）。令过此定点的空间直线和平面的方程分别为射影是几何学中的重要概念之一。在解析几何的向量代数一章中只讨论向量在轴上的射影和一些性质[1],[2],在空间解析几何的部分公式的推导过程中只利用了有关射影知识,此外我们未见到关于射影坐标概念,例题和习题。本文利用向量法和矩阵的乘法,给出欧氏空间R3中的射影矩阵和点M到直线L（或Ⅱ）的距离的不同定义,并讨论了相关的性质。最后举例说明新公式的应用。2点在直线上的射影坐标与距离定义1空间中任一点M在直…     

“直线方向向量”的牢骚

人教A版新教材选择性必修1对平面内点到直线距离的推导采取了两种办法,一是利用解方程组求出垂足的坐标,再利用两点之间的距离公式求解;二是利用向量,利用过点的向量在直线法向量上的投影来求解.本文给出了利用向量在直线方向向量上的投影来求解的方法,同时给出了平面内直线方向向量的几种表示和空间直线方向向量的应用.     

对三垂线定理及其逆定理的一点认识

【例题】(课本P23)如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上·已知:如图1,∠BAC在平面α内,点Pα,PE⊥AB、PE⊥AC、PO⊥α,垂足分别为E、F、O、PE=PF·求证:∠BAO=∠CAO·分析:文字证明题要求写出已知,求证,并画好图形·∵PE⊥     

巧用法向量妙解立几问题

历年高考中,关于空间距离,空间角问题,是考察的重点和热点。以法向量为工具求空间角,距离,可以避免纷繁复杂的几何推理和运算,从而使解答过程顺畅、简捷。下面以2006年高考立体几何题为例,说明法向量在求解立体几何问题时的妙用。1.用法向量求点到平面的距离如图1,设A是平面α外一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n!是平面α的法向量,那么向量B"#A在n!方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h,∴h=｜"B#A｜·｜cos〈B"#A,n!〉｜=｜B"#A·n!｜｜n!｜例1(06年福建卷、理18)如图2,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点CA=CB=C…     

立体几何解题例器——法向量

《数学考试大纲(新课程版)》对“平面的法向量”的要求是“理解”,课本也只是介绍了其定义,而没有介绍其应用.其实,法向量可以用来解决几何里许多棘手的难题:点到面的距离、二面角的平面角等.下面举例来说明其应用.?《中学生数理化》(高中版)/2004.11解题思想方法点到面的距离、二面角的平面角等.下面举例来说明其应用.?一、利用法向量求点到面的距离?图1定理1如图1,设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条射线,其中A∈α,则点B到平面α的距离为|AB·n||n|.证明:过点B作平面α的垂线BC,垂足为C,则∠BAC就是斜线AB与平面α所成的角,…     

向量的射影与平面法向量的学习

<正> 用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角,为学生增加一种理想的可操作的代数工具,在研究空间角、空间距离等问题时十分有效。以下笔者从向量射影与平面法向量的定义出发对其作用作一点尝试性的探讨     

点在平面上的射影位置及其应用

确定点在平面上的射影位置,对于确定空间中的角和距离以及判断线、面垂直都有非常重要的作用,而这正是立体几何教学的重点内容.我们在归纳、总结平时教学的基础上整理出点在平面上的射影四种常用位置关系:1 斜线上一点到平面上的射影,必在这斜线在平面内的射影上2.1 过一个角的顶点引这个角所在平面的一条斜线,若斜线与角的两边夹角相等,则这斜线上的点在平面内     

点到平面距离问题的转化策略

求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题,是近几年高考的一个热点.这类问题是立体几何中最为灵活与典型的一类题型,其中渗透着许多数学思想与方法.常见的求解方法有直接法、转化法等,本文遴选典型一例,通过对其多种解法的探讨,借以说明此类问题探求途径.图1例题如图1所示,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求B到平面EFG的距离.1平行转移法理论依据1直线m∥平面α,则直线m上所有点到平面α的距离相等.分析由于BD∥平面GEF,将B点到GEF的距离转化为BD上另一点(…     

利用公式d=|·|/||求距离

“距离”是立体几何中的两大度量(即角与距离)之一,传统的解题思路是“一作、二证、三计算”.立体几何中的“八大距离”,除球面距离及两点间的距离外,其余六种距离都与垂直有关,即与点在直线或点在平面上的射影有关.但有时点的射影的位置难以确定,这给求距离时的作图带来了很大困难.在学习了空间向量后,利用向量的方法求距离可以大大简化解题过程.公式d=｜a粌·n粓｜｜n粓｜表示a在n上的投影的长度,可利用其求“八大距离”中的三个基本距离:点到直线的距离,点到平面的距离,异面直线间的距离。一、求点到直线的距离求点P到直线b的距离:设A是…