一道IMO试题的另解

第49届IMO试题的第6题为：在凸四边形ABCD中,BA≠BC．圆ω1和ω2分别是△ABC和△ADC的内切圆．假设存在一个圆ω与射线BA相切（切点不在线段BA上）,与射线BC相切（切点不在线段BC上）,且与直线AD和CD都相切．证明：圆ω1,ω2的两条外公切线的交点在圆ω上．     

解析法巧证一道MO试题

题目在△月BC,AAI为中线,从:为角平分线,K为从1上一点,使MZ// AC.证明从2上入C. 这是第58届莫斯科数学奥林匹克第21题,《中等数学)1997年第3期31页上,用向量法给出的“巧证”,对中学生理解很困难.其实,通过建则AC:y=一kZx十a,AB{轰{轰得c(厂孚二一 左1丫左2:y二k Zx十a ak1,kl kZ得B(厂卫下, 左l一左2 ak1ki一kZ所以BC中点Al(立直角坐标系,利用求直线交点可巧妙解决问题. 证明如图1,设BC:y=k一工,AZK:少=一kZx(kZ>O),从2=a. ak lak圣心一砖’对一砖 了2所以从1方程为:y=k主瓦x十“_}从,_ak,用牛l__1苛典=石一下丫万=共.”‘’}…     

几何法简解一道IMO试题

近日笔者查看一本奥赛辅导书,偶遇如下问题：设实数a,b使方程x^4＋ax^3＋ax＋1=0有实根,求a^＋b^2的最小值（第15届IMO试题）.文[1]P75-76页给出了此题的两种纯代数证法,均较复杂.笔者经研究发现,此题变形后,若从线性规划角度思考,则有形象、直观、简洁的几何新解法,现介绍如下,供参考．     

一道试题的巧解

我省今年中专、高中招生考试数学试题第七题:“已知二次函数y＝x~2-mx+4的图象与x轴交于A、B两点,且A、B两点间的距离为2,〔1〕求此二次函数的解析式;〔2〕求此二次函数的最小值.该题除已由1993年中专、高中招生考试数学试题参考答案及评分标准给出了解答(略)外,还有下面几种更为简便的解法:     

巧解一道解几试题

91年全国高考湖南、海南、云南三省的数学试题第29题是: 已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为3~(1/2),C的两个焦点为F_1,F_2,直线l过F_2且与直线F_1F_2的夹角为φ,tgφ=(21)~(1/2),l与线段F_1F_2的垂直平分线的交点是P,线段PF_2与双曲线C的交点为Q,且|PQ|:|QF_2|=2:1。     

用解析法巧解三角形

我们所熟知的解三角形重要工具余弦定理：在△ABC中,a^2=b^2＋c^2-bccosA.高中数学老教材里,该定理的证法如下：     

用图象法巧解一道高考题

在带领高一学生学习《匀变速直线运动的研究》一章时,在各种教辅材料中经常遇到一道高考题,高一学生作为初学者一般不容易做出来,提供的解答也较为繁琐.刚好本章学到了v-t图象,结合高考中也有用图象法解决问题方面能力的要求,尝试着用v-t图象做了一下,方法还相对简单,与大家分享.     

从方差的角度解析一道IMO试题

方差具有明显的直观意义：衡量一组随机变量是如何围绕平均值变化的,即偏离平均值的程度．方差越小,即是离散程度越小,这组随机变量愈稳定．我们从这个角度解析IMO-27—3．     

从方差的角度解析一道IMO试题

方差具有明显的直观意义：衡量一组随机变量是如何围绕平均值变化的,即偏离平均值的程度．方差越小,即是离散程度越小,这组随机变量愈稳定．我们从这个角度解析IMO-27—3．     

一道30届IMO试题的别解

第30届IMO试题中有这样一道试题： 设n和k是正整数,S是平面上n个点的集合,满足（i）S中任何三点不共线：（ii）对s中的每一点P,5中至少有k个点与P的距离相等．     

一道IMO试题的另解与探究

<正>一、试题呈现设P是△ABC内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC=SP,证明:MK=ML[1].(第51届IMO)证明:如下图,设AC>BC,由切割线定理知SC2=     

简解一道IMO试题

第34届IMO第5题是一道函数方程问题,标准答案提供的解法为构造法,其思路来得突然,使人不易理解其构造的缘由。这里提供一种解法,思路显得自然,且解题过程简捷。     

巧解一道力学竞赛试题

题目:如图1所示,光滑均匀直杆AB以匀速v搁在半径为r的固定圆环上作平动,试求图1所示位置,杆与环的交点M的速度和加速度. 原解:交点M的速度方向为沿M点的切线方向,故可将直杆的速度沿杆AB方向及圆M点的切线方向分解,如图2.     

巧解一道全国联赛试题

众所周知 ,若ａ≥ｂ且ａ≤ｂ ,则ａ=ｂ .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,ｆ( 1 ) =1 ,且对任意ｘ∈Ｒ都有ｆ(ｘ+ 5 )≥ ｆ(ｘ) + 5 ,ｆ(ｘ+ 1 )≤ ｆ(ｘ) + 1 .若 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,则ｇ( 2 0 0 2 ) =.解　由 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 1 -ｘ ,得ｇ(ｘ+ 5 ) =ｆ(ｘ + 5 ) + 1 -ｘ-5=ｆ(ｘ + 5 ) -ｘ-4≥ ｆ(ｘ) + 5 -ｘ -4=ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) ,ｇ(ｘ + 1 ) =ｆ(ｘ+ 1 ) + 1 -ｘ -1=ｆ(ｘ+ 1 ) -ｘ≤ｆ(ｘ) + 1 -ｘ =ｇ(ｘ) .∴ｇ(ｘ) ≤ｇ(ｘ+ 5 )≤ ｇ(ｘ + 4)…     

用同余法巧解一道竞赛题

<正>题目(2010年全国初中数学联赛试题)对于自然数n,将其各位数字之和记为a_n,如a_(2009)=2+0+0+9=11,a_(2010)=2+0+1+0=3,则a_1+a_2+a_3+…+a_(2009)+a_(2010)=().(A)28062(B)28065(C)28067(D)28068分析把1到2010之间的所有自然数均     

用图像法巧解一道物理竞赛题

原题.(第20届物理竞赛预赛第7题)图1中,A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板,加上周期为T的交流电压,在两板间产生交变的匀强电场.已知B板电势为0,A板电势UA随时间变化的规律如图2所示,其中UA的最大值为U0,最小值为一2U.在图1中,虚线MN表示与A、B板平行等距的一个较小的面,此面到A和B的距离皆为l.在此平面所在处,不断地产生电荷量为q、质量为m的带负电的微粒,各个时刻产生带电微粒的机会均等.这种微粒产生后,从静止出发在电场力的作用下运动.设微粒一旦碰到金属板,它就附在板上不再运动.且其电荷量同时消失,不影响A、B板的电压.已知上述的T、U0、l、q和m等各量的值正好满足等式l2=3/16U0q/2m(T/2)2.若在交流电压变化的每个周期T内,平均产生320个上述微粒,试论证在t=0到t=T/2这段时间内产生的微粒中,有多少可到达A板(不计重力和微粒之间的相互作用).     

用控制变量法巧解一道电功率题

例 如果加在某定值电阻两端的电压从6V升高到8V，通过该定值电阻的电流变化了0．1A，则该电阻的功率变了( )     

一道美国邀请赛试题的巧解

1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）试题第13题：在三角形ABC中，AB=9，且B0:CA＝40：41。这个三角形的最大面积是多少？本刊93年第9期P38给出了该题的一种解答，但较复杂．现巧解如下：解设BC=40k，CA=41k，AB=9．由海伦公式，可得等号当且仅当81K2-1=812-81k2，即时成立，此时这个三角形有最大面积820．一道美国邀请赛试题的巧解@黎建平$四川武胜县沿口镇小学