由一道高考题谈三次函数复习

<正>由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点.本文从三次函数的概念、单调性、对称中心、极值和最值谈三次函数的复习.形如y=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0)的函数,称为一元三次函数,简称三次函数.三次函数的导数y'=3ax~2+2bx+c(a≠0)是一个二次函数,它的判别式Δ=4b~2-     

浅谈三次函数f(x)=mx~3 nx

一般三次函数 y=ax~3 bx~2 cx d(a≠0)不在高中数学大纲之内,但我们不时地会利用已学过的知识去研究一些特殊的三次函数的某些性质.例如,1991年全国高考题:求证函数f(x)=-x~3 1在(-∞, ∞)上是减函数;1998年全国高考第(10)题(理)的选项A、B 中,水量 V 都是水深 h 的三次函数;1998年全国高考第(24)题(理)中的 y=x~3-x 也是三次函数.这些高考题虽没有较深涉及三次函数本身的性质,但利用已学过的函数知识对此作一些简单了解,想必有利于高中数学     

关于三次函数的几点思考

<正>三次函数的一般形式为y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(不妨a>0,a、b、c、d∈R),对三次函数的考查主要集中在单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等,现结合相关试题介绍一下对三次函数性态的一些思考。1.对三次函数y=f(x)的图像与x轴交点个数的思考     

三次函数的图象特征

1.三次函数的图象特征设f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a>0),(a<0的情形与a>0时相似),则其导函数为f′(x)=3ax~2+2bx+c.     

关于三次曲线f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）的对称中心的两个结论

结论1三次曲线f(x)=ax~3 bx~2 cx d(a≠0)一定有对称中心,其坐标是(-(b/3a),f(-(b/3a))).引理:若函数y=f(x)对定义域的一切x满     

三次函数的图象、性质及应用

一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的     

三次函数图象性质的研究和应用举例

三次函数的有关问题在近些年的高考中频繁出现,甚至出现在压轴题中,但教材只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅显的探索.为此,本文试图用初等数学方法较为系统地研究它的图象、性质.一、三次函数y=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0)的图象性质1.定义域为R2.值域为R3.单调性     

对一道高考试题的商榷和另解

2007年江苏卷最后一道(第21)题:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d,方程f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围;(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.     

三次函数的对称性及极值的探究

<正>三次函数是一类出现频率较高对它的研究显得尤为重要,况且目前已掌握了导数工具。因此本文拟利用导数对实系数三次函数的性质做些探究。例题(衡中同卷高三复习单元检测)对三次函数f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),     

函数y=ax~3 bx~2 cx十d的极值及应用

在统编教材高中一册书上介绍了幂函数的概念和性质,其中三次函数y=ax~3的图象已熟知是立方抛物线,它不存在极值。形如y=ax~3 bx~2 cx d(a≠0)的三次函数,在什么条件下有极值,有多少个极值?在什么条件下无极值?这些是值得探讨的问题。我们认为:用初等方法找出判别式判断这类三次函数,在自变量x的某部分区间内函数有无极值比高等数学中用求函数的一阶、二阶导数来判断有无极值更为简便。至于怎样求出极值,在实际运算时难易程度仍差不多,特别是三次函数当缺二次项(b=0)或缺一次项(C=0)时求极值很简单。更重要的是:本文推导的方法可讨论一元三次方程有实根的个数及判定实根的范围,当一元三次方程有两等根时可求出它的     

与三次函数切线有关的两个结论

<正>三次函数f (x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0)的图像关于点(-b/3a,f(-b/3a)))对称,如果过三次函数图像上异于对称中心的点做切线,该切线与该三次函数图像是否还有另外的公共点?若有,切点、对称中心、交点之间又有着怎样的数量关系?经过研究发现过三次函数图像上异于对     

有关三次函数的五个考点

三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数.与三次函数有关的文科题与理科题,在知识掌握和思维能力的要求上有较大的区别,同学们在高考复习中要控制难度,不要拔高,要注重实效。     

三次多项式极值的一种初等求法

作者熊曾润.求关于变量 x 的实系数三次多项式 F=ax~3 bx~2 cx d 的极值,通常用“微分法”.这对于不熟悉微积分的人来说,理解和接受起来都是困难的.本文给出三次多项式极值的一种初等求法,方法简洁,新颖,又便于运用.     

求三次函数的切线方程所引出的一个定理

求三次函数y=ax~3 bx~3 cx d(a≠0),过点P(x`0,y`0)的切线方程是一种常见题型,先根据导数的几何意义求切线的斜率,然后由点斜式即可得到所求切线方程.这种题型主要分为两种情况:一是点P在原曲线上;二是点P不在原曲线上.一般情况下,已知点P在原曲线上的情况比较简单,但是也很容易出错.本文针对这种情况作了仔细的剖析,并探究出一个结论,与大家分享.     

第三届澳门数学奥林匹克

第一轮 (1993—02—10) 1.已知若y=sinx,-(π/2)≤x≤π/2,则x=sin~(-1)y。现若y=sinx,(1992 1/2)π≤x≤(1993 1/2)π,试用y表示x。 2.设P(x)=x~4 ax~3 bx~2 cx d,a,b,c,d为常数,P(1)=1993,P(2)=3986,P(3)=5979。试计算1/4[P(11) P(-7)]。     

思考题(十一)

题41.在多项式ax~3 bx~2 cx d中,a、b、c、d都是自然数,又ac b与ab d都是奇数,a d是偶数.问这个多项式能不能分解成自然数系数的因式? 题42.方程组     

函数y=(cx+d)/(ax+b)的性质及应用浅谈

<正>对于函数y=(cx+d)/(ax+b)(其中a≠0,c,d不同时为0),当ad=bc时,y=c/a为常函数;当ad≠bc时,函数y=(cx+d)/(ax+b)为分式函数,这个分式函数有着十分简洁而优美的优质.下面笔者尝试着探讨型如y=(cx+d)/(ax+b)(其中a≠0,c,d不同时为0且ad≠bc)的图象和性质的,并透过例题,给出这些性质的一些应用.     

一元二次方程的图象解法

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),当函数值y=0时,ax~2+bx+c=0就是一个一元二次方程.换句话说,一元二次方程的根即是二次函数.y=ax~2十bx+c的函数值为零时相应的自变量的值.因此,我们可以这样求解一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0):     

三次函数图象对称中心的一条性质

正引理(1)若函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))对称 函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称;(2)三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象Γ关于点A(-b/3a,f(-b/3a))对称     

三次函数图象的对称中心的探究引申和应用

三次函数图象的对称性是高考的热点问题,任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”(-b/3a,f(-b/3a)),且“拐点”就是对称中心;对称中心在导函数y=f′(x)的对称轴上;若三次函数y=f(x)的两个极值点为x1,x2,设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则三次函数f(x)的对称中心是线段PQ的中点;通过引申更得出具有对称中心的单调函数的重要性质.这些性质在高考中广泛的应用.