有奖解题擂台(52)

题　 1 设Ｒ是由全体实数组成的集合 ,试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈Ｒ ,都有ｆ(ｘ ｆ(ｘ)·ｆ( ｙ) ) =ｆ(ｘ) ｘ·ｆ( ｙ)。2 试给出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈Ｒ ,都有 ｆ(ｘ ｆ(ｘ·ｙ) ) =ｆ(ｘ) ｘ·ｆ(ｙ)。　　 (注　供题人对每一个小题的第一位完整且正确的应征解答者各授予奖金 30元 )。有奖解题擂台(52)$广州大学理学院数学系@吴伟朝!邮编:510405     

有奖解题擂台(51)

题　证明或否定若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足ａ≥ｂ≥ｃ,且 3 4ｃ2 ≥ 7ａｂ 1 8(ａ -ｂ) 2 ,则以它的三条内角平分线为边长可构成三角形。　　 (注　第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )。有奖解题擂台(51)$福建资源工业学校@吴善和!龙岩市,364012     

有奖解题擂台(12)

设0正整数n≥4,集合 Z_n={0,l,2,3…,n—1},试求最大的正整数 k,使得下述命题成立:把Z_n中每个元素任意染上k种不同颜色中的某种颜色(允许一些颜色不被使用),但必须满足染色法则:“若任意的 a、b∈Z_n,且 a≠b, a与b同色,则对于 c∈Z_n且 c≡a·b 1(modn),c必与 a、b同色”,按此法则无论怎样染色,Z_n中所有的元素必定全部同色.     

有奖解题擂台(123)

<正>问题设R、s分别是△ABC的外接圆半径、半周长,证明:■其中∑表示循环和.第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com,解答认定时间以电子邮件时间为准.欢迎广大读者踊跃提供擂题.     

有奖解题擂台(52)

题　设ｎ、ｍ∈Ｎ ,并令ａｎ=ｃｏｔ2 ｎπ2ｍ 1 ,试求数列 {ａｎ}的前ｎ项之和Ｓｎ。　　 (注　第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )。有奖解题擂台(52)$安徽师范大学附属中学@阚政平!邮编:241001     

有奖解题擂台(79)

题 已知F1、F2是椭圆（或双曲线）的左右焦点，A、B是椭圆（或双曲线）上任意两点，过点A、B的切线相交于点P。     

有奖解题擂台(46)

题 是否存在ｘ∈（０，０．５），使得　与　　　 同为有理数。（注：第一位解答正确者将获得奖金３０元）有奖解题擂台(46)@张云华$四川泸县一中!邮编:646123     

有奖解题擂台(113)

<正>~~     

有奖解题擂台(139)

<正>~~     

有奖解题擂台(56)

1 (孙文彩供题 )　在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足如下条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ 1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式　　ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) (其中ｎ∈ (0 ,14],ｍ∈ (0 ,3 34]) ( )(2 )不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 :     

有奖解题擂台(63)

题 1　 (邵剑波提供 )　证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2　 (吴善和提供 )　证明或否定 :　若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注　每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖…     

有奖解题擂台(57)

1　考虑ｎ(ｎ≥ 2 )个正圆柱体 ,第ｉ(ｉ =1 ,2 ,3,… ,ｎ)个圆柱的底面半径和高度分别为Ｒｉ 和Ｈｉ。现在把它们按相同的轴线ｌ串联在一起 ,即把第ｉ 1个圆柱放在第ｉ(ｉ=1 ,2 ,3,… ,ｎ -1 )个圆柱的上面 ,且上下两底面合成为一对同心圆面 ,这样就构成一个“圆柱叠罗汉几何     

有奖解题擂台(64)

题 1　给定一个非负整数n及两个实数a和c ,求证 :存在无限多个实系数一元多项式P(x) ,使得对每一个x∈R ,都有P(x) +P( 1 -x) =(a·x2 -a·x +c) n。题 2　确定所有的有序非负整数组 (m ,n ,t) ,使得存在至少一个实系数一元多项式P(x) ,对每一个x∈R ,都有P(x) +xm·P( 1 -x) =(x2 -x +1 ) n·(x2 -x -1 ) t;并确定这样的P(x)是否有无限多个 ,请说明理由。(注　供题人对第一位完整且正确的应征解答者授予奖金 60元 ,每小题各设 3 0元 )有奖解题擂台(64)$广州大学理学院数学系@吴伟朝!邮编:510405…     

有奖解题擂台(54)

题证明或否定 若a、b、c为△ABC的三边长,实数λ≥2,则     

有奖解题擂台(61)

题 1 (严复卓提供 )　在△ABC中 ,求证cosA·cosB·cosC≤ ( 1 -cosA) ( 1 -cosB) ( 1 -cosC) ,等号当且仅当A =B =C =π3 时成立。题 2 (杨拥良 ,荀洋滔提供 )　已知一凸n边形 (n >3 )有外接圆 ,试在圆上找出一点使之至该多边形各顶点的距离和最大 ,求出最值并说明位置。(注　每小题的第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖解题擂台(61)$甘肃省武威市师范学校@严复卓!邮编:733000 $湖南省汩罗市五中!邮编:414411@杨拥良 $湖南省汩罗市五中!邮编:414411@荀洋滔…     

有奖解题擂台(58)

题　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1。证明或否定 :(1 ) 1ｂ ｃ2 1ｃ ａ2 1ａ ｂ2 ≥2 74;　　　 (2 ) ａｂ ｃ2 ｂｃ ａ2 ｃａ ｂ2 ≥ 94。(注　第一个解答正确者将获得奖金 3 0元 )有奖解题擂台(58)$湖北省公安县车胤中学@杨先义!434300