三角形中线的一个性质--兼擂题(56-2)的解答

陈胜利先生在本刊 2 0 0 2年第 4期有奖解题擂题台 (5 6)中提出问题如下 :问题　如右图所示 ,求证 :Ａ1Ａ4 平分Ａ2 Ａ3的充要条件是ＲＡ1·ＲＡ3+ＲＡ2 ·ＲＡ4 =ＰＡ1·ＰＡ2 +ＰＡ3·ＰＡ4 ①本文给出上述问题的证明。证明　延长Ａ3Ｐ和Ａ2 Ｒ分别交△Ａ1Ａ2 Ａ3的外接圆于Ｐ′、Ｒ′ ,连结Ｐ′Ｒ′、ＰＲ ,则ＲＡ1·ＲＡ3=ＲＡ2 ·ＲＲ′,ＰＡ1·ＰＡ2 =ＰＡ3·ＰＰ′。于是①式 ＲＡ2 ·ＲＲ′ +ＲＡ2 ·ＲＡ4 =ＰＡ3·ＰＰ′ +ＰＡ3·ＰＡ4 ＲＡ2 ·Ｒ′Ａ4 =ＰＡ3·Ｐ′Ａ4 Ｒ′Ａ4 Ｐ′Ａ4=ＰＡ3ＲＡ2②又△Ｐ′Ｒ′Ａ4 ∽△Ａ2 …     

两个不等式猜想的解决--兼擂题(58)解答

《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以　 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。…     

直角三角形的一个有趣性质--兼擂题(62)第1题的解答

<中学数学教学>2003年第4期擂题(62)第1题是: △ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD、△ABC的内切圆分别切AC、BC、AB于E、F、G.证明或否定:∠EGF为直角的充要条件是∠ACB为直角.     

一个多项式的序列性质--兼擂题(72)的解答

贵刊2005年第2期王勇先生提供的擂题(72)如下: 题设多项式序列{fn(x)}满足:     

一个猜想的否定--兼擂题(56-1)的解答

孙文彩先生在本刊 2 0 0 2年第 4期有奖解题擂台(5 6)中提出如下命题 :命题　在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ +1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) ( )(2 )上面的不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 :ｍ =(1 +ｔ) 1 -ｔ2 ,ｎ =ｔ(1 -ｔ) (ｔ=ｓｉｎ Ａ2 ,Ｂ =Ｃ)后 ,不等式 ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 )对任意ｔ∈ (0 ,1 )成立 ,当且仅当ｔ=12 时取等号。则三角不等式Ⅰ必对任意三角形成立 ,当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时取等号。这个命题是一个假命…     

两条抛物线的交点--兼擂题(59-2)解答

本刊2003年第1期有奖解题擂台(59)第2题是: 题试求出两条抛物线y2=25-6x与x2=25-8y的所有的交点的坐标(不要使用一元四次方程求根公式)(吴伟朝提供).     

布洛卡点的一个性质——兼擂题(111)的解答

<正>1问题的提出2017年第3期《中学数学教学》刊登了由光文武华数学工作室褚小光老师等提供的有奖解题擂台(111),它是布洛卡点的一个性质,问题如下:题设Q是△ABC内一点,满足∠QBC=∠QCA=∠QAB=a,P是△ABC所在平面上任意一点,记BC=a,CA=b,AB=c,求证:     

一个三角形不等式的证明--兼擂题(69)的解答

本刊2004年第5期有奖解题擂台(69)中,孙文彩和万家练老师提出了如下不等式问题:     

一个猜想不等式的研讨--兼擂题(77)的解答

本刊2006年第1期有奖解题擂台（77）（贺斌提供）是：     

有奖解题擂台(56)

1 (孙文彩供题 )　在△ＡＢＣ中 ,任何关于其内角的不等式Ⅰ满足如下条件 :(1 )经代换Ｔ1:∑ｃｏｓＡ =2ｎ 1 ,∑ｓｉｎＡ =2ｍ后 ,Ⅰ能等价化为关于ｍ、ｎ的二元实不等式形式　　ｆ(ｍ ,ｎ)≥ 0 (≤ 0 ) (其中ｎ∈ (0 ,14],ｍ∈ (0 ,3 34]) ( )(2 )不等式 ( )经等腰代换Ｔ2 :     

"绝对挑战"

动量守恒定律在高考中是很重要的考点，所以为了系统的学习这部分知识，笔者在课堂教学中安排一节动量守恒定律的应用——碰撞专题课，作为动量守恒定律课的延续，具体内容如下，仅供读者参考。     

绝对连续的一些性质

以绝对连续函数的意义为基础，研究了绝对连续函数的性质，绝对连续函数的四则运算、复合运算以及极限函数的绝对连续性等，并由此导出了绝对连续函数Lebesgue积分的分部积分与换元积分公式。     

绝对连续函数的几个性质

本文通过绝对连续函数的讨论,得出下列结论:绝对连续函数映闭集为可测集:映可测集为可测集.     

一个猜想不等式的肯定--兼擂台题(54)的证明

擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理　若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明　 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ…     

一个条件不等式的证明--兼擂题(63-1)解答

本刊2003年第5期有奖解题擂台(63)中,邵剑波老师提出了如下一个条件不等式问题: