有关自然数的平方剩余和因子积的几个渐近公式

本文的主要目的是研究有关因子积序列和平方剩余的渐近性质。得到有关这两个序列的渐近公式。     

连续自然数的和与积的一些性质

几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数.     

两个复数积的性质及应用

复数中 ,由 | z| 2 =z· z极易推导出两个复数积的性质 :性质 1　设 z1 ,z2 ∈C,| z1 | =r1 ≠ 0 ,| z2 |= r2 ≠ 0 ,且 r2 z1 + r1 z2 =z0 ≠ 0 ,则有 z1 · z2 =r1 · r2 · z20| z0 | 2 .证明　∵ r2 z1 + r1 z2 =1r1 r2( r1 · r22 · z1 +r21 ·r2 ·z2 )= 1r1 r2( r1 ·z2 ·z2 ·z1 + r2 ·z1 ·z1 ·z2 )=z1 · z2r1 · r2( r1 ·z2 + r2 ·z1 )=z1 · z2r1 · r2·r1 ·z2 + r2 · z1 ,∴z1 ·z2 =r1 · r2 ( r2 z1 + r1 z2 )r1 · z2 + r2 · z1=r1 · r2 · z0z0=r1 · r2 · z20| z0 | 2 .推论 1　若 | z1 | =| z2 | =r≠ 0 ,…     

周界中点三角形的两个性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分，则称这一点为三角形的周界中点，并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．     

等差、等比数列中若干个不等式性质探析

我们所接触到的、运用过的等差、等比数列的众多熟悉的性质都是以等式的形式给出的，这些性质给我们解决数列问题带来许多便利。笔在教学过程中发现等差、等比数列还有好几个以不等式形式出现的性质，它们同样给我们解决数列问题提供了方便。现总结如下，供各位同仁参考。     

椭圆与双曲线的一个斜率之积定值性质

文章对椭圆与双曲线中一个角度定值性质进行了变式探究,得出了一个椭圆中两直线斜率之积为定值的结论,并将此结论类比到双曲线中.     

一道椭圆斜率之积定值问题的源与流

文章以一道椭圆定值问题为例,通过将题设条件一般化,对问题进行追根溯源,得到问题的命题背景,最后将其类比联想至其他类型的圆锥曲线中.这种由“源”到“流”的探究方式,纵向上对问题进行深入思考,探究背景,得到圆锥曲线中一系列定值结论,挖掘问题的深度;横向上将其迁移至双曲线以及抛物线中,得出一系列的结论,拓宽问题的广度.     

解读数量积的五个性质

向量的数量积运算有五个基本性质,把握这五个性质及其内涵很重要,本文对此逐一讲解,相信对读者有用．     

对等差、等比数列的一条统一性质的再探究

在研读《数学通讯》上的《等差、等比数列的一条统一性质》后,根据教学过程中等差数列和等比数列的性质的规律,发现这个性质可以进行再次探讨,本文对此进行研究,整理得到5个结论.     

自然数的各位数字之和的几个有趣性质

性质1若自然数a的个位数字不是0,十位数字不是9,则a+9与a的各位数字之和相等.证明a+9=a+10-1,即a的十位数字加上1,个位数字减去1,因为a的个位数字不是0,十位数字不是9,因此,没有进位与借位,所以,a+9与a的各位数字之和相等.     

正多边形的两个优雅性质

自从文[1]、文[2]对正三角形及正四面体的探究之后,笔者也对正多边形的性质进行了思考,在文[3]得出了一个正多边形又一个漂亮定值之后,今又得到了两个定值,现叙述如下．     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分,则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形.     

圆锥曲线中两直线斜率关系定值下的定点的统一性质

本文证明两类性质,从圆锥曲线中一定点P引两条直线与该圆锥曲线分别交于点A、B,一是若直线PA和P B的斜率之和为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,定点G的轨迹是一条与圆锥曲线相切的直线,且切点是点P关于圆锥曲线长轴的对称点.二是若直线PA和P B的斜率之积为定值t (t≠0)时,直线AB过定点G,当t变化时,椭圆和双曲线背景下的定点G的轨迹是一条过原点的直线,而抛物线背景下的定点G的轨迹是一条平行于对称轴的直线.     

n个自然数的积与最小公倍数、最大公约数的关系

我们知道,对于任意两个自然数a₁、a₂,它们的最大公约数（a₁,a₂）、最小公倍数[a₁,a₂]和乘积a₁·a₂之间满足关系式[a₁,a₂]=a₁·a₂/（a₁,a₂）.那么对于任意n个式[a₁,a₂]=a₁·a₂/（a₁,a₂）.那么对于任意n个自然数a₁、a₂、a₃、…、a_n,它们的最大公     

平面闭折线的两个有趣的性质

本文揭示任意平面闭折线的两个非常有趣的性质.为了叙述简便起见,我们约定: (i) 符号()An表示任意一条平面闭折线 1231nAAAAAL; (ii)()An的所有顶点组成的集合,称为()An的顶点全集,记作nV,即 123{,,,,}nnVAAAA=L; (iii) 设1mn?,由()An的任意m个顶点组成的集合,称为()An的顶点子集,记作mV其余()nm-个顶点组成的集合,称为mV的补集,记作mV,即 mmnVVV=U. 定义 在闭折线()An所在的平面内,以任一点P为原点建立直角坐标系xPy,设()An的顶点iA的坐标为(,)(1,2,,)iixyin=L,对任意给定的正整数k, (1) 令11niixxk==,11niiyyk==, ① 则…     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点平分三角形的周长，人们则称这一点为三角形的周界中点，并将以3个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．文[1]、[2]分别给出了周界中点三角形的一些有趣性质，近来经研究，我们又发现了周界中点三角     

N维欧氏空间R~n中n-1个向量的向量积及其性质

本文以 N 维欧氏空间 R~n 的 n-1个向量 a_1,a_2,…a_(n-1)为整体,定义了它们的向量积 a_1×a_2×……×a_(n-1),讨论了向量积的计算方法和若干性质。     

圆锥曲线中关于向量数量积的几个性质

性质1已知点P是椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上的一个动点,M1（-m,0）,M2（m,0）（m〉0）是x轴上的两个定点,则PM1·PM2的最大值为a2-m2,最小值为b2-m2。     

求解数列选择填空题的两个性质

高考对等差、等比数列的基础知识的考查,常以选择题和填空题的形式出现,难度多以中档题为主,主要考查等差、等比数列的概念、性质以及通项公式和前n项求和公式等。求解这类问题,同学们往往先要根据已