巧用方程根的定义

在解决与一元二次方程有关的问题时,我们广泛地应用韦达定理,然而有些问题直接运用根的定义解题反显简单方便.下面举例说明. 例1如果。是方程扩一3x+1一O的根,求2口。一sa马+2口J一8口艺 aZ+1的值.分析如果先求出a二‘一3士了5一,、~,,,、、~一一~~廿习1且石,并十夕犷为IJI戈2、夕抓1且工、,j沦共轰 ‘运算量很大.根据方程根的定义知,口是方程尸一3x十1根,即护一3a+1一。,在此基础上求值就简便多了. 解丫a是扩一3x+1~0的根,…矿一3。+1一 又…2a5一504+2a3一802 =(。2一3。+1)(2a3+。2+3。)一3。 =0·(2“3+aZ+3口)一3。=一3“. 而aZ+1=…     

Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

初二“希望杯”训练题

L因式分解: (1)as十a+l; (2)(x+l)(x+3)(x+5)(x+7)+15; (3)2(xZ一sx+4)”+5(xZ十1)(xZ一sx+4)+2(xZ+l)2.2.黑是否一定可以表示成1 998个分母互不相同的真分数的和,并且每个真分数的分母不超过4 00。。。o?34.已知a+b+‘一O,试求 aZ .bZ二,二厂气一下一+二兀飞一下一一一乙a‘十口亡乙口“十aC+二二厂--万的值 乙‘--卜“D有1 998个互不相等的有理数,每1 997的和都是“分母为3 998的既约真分数”,求这1998个有理数的和.今天是星期日,若明天算第一天,问第1’+23+33十…+1 9983天是星期几?已知自然数m、、,在数轴上点登和点号哪个更靠近点…     

分式求值题的类型及其解法

J阵‘?一一钊奋J饱卜写泛;二,拓谈:__蔽共J卜‘a.十 砂画化简习甲价一sa十6 一示军a一二 几‘只一a于注萨:一竖、1其中硬二一3,_- 解原式:.(2002年四川省中考题_伙二qZ_7:_叭八卜b彝污泛一。(a·沁.乍1么居二二渗一1(卜3, 第四种类型:先将已知等武形.林乏亦虎羊干已翎等式亦开a+少二二~‘二-‘‘‘-- 矛.,乙 ;戈牛一、_竺土且二一口红 护一4矿气4{汀色一1‘干一一洛入只一以︸卜,,叶蕊‘=一树,麟、悬代入求伯 应歹沂汾叠杯万沂二卿订于一省’叭则分式竺二翅生互.合 一1,一琴勺{一y (,nn,革关士市中老颧应〕请你先化简,再选取-二,升斗甲 (…     

柯西平均值定理应用

不等式ai aZ十…十a。 ”>。,仅当。1二a:=一二o.均值定理。L》刀瓦不落二(a,aZ,…“。时上式取等号)称柯西平一、直接利用定理证不等式、,‘办、,__,In十1、.节组1口」吃习七几l尧尧、~一一石一一、】 、‘曲证:粼而「=刀不厄污不云《~1 2十3 二 ” 怜二” 1 2 一I” 1 nl尧眨,龟一一蕊~一一 ~、乙(仅当n二1时取等号)例2 .P>o,证明略。例3 .a,,a,,求证1 P PZ … P召”)(Zn 1)P.…,火>。,求证(al a: 一 。·)(一箭 公 … 一井)浏证:。,十。: 一 a’》”刀可云声云石止 止十…十一上》。刀二二二ala,。。一,o盆0.‘,·0.二式相乘即得二…     

利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…     

用运算律简化有理数计算

1.对加法，要注意用交换律和结合律 例1计算: 例5计算: 1/2\.4./1\1 一二二一l十下~1十下~十~l一下丁l一二丁 乙\j/口\乙/j /_2、、__l_1、._ (一勺)宁1一1二二~IXU，匕入1一乙二尸1了了. \l/\住/ 解原式 1 2.4 11 一二万一不丁十下丁一二干一下一 乙j沙乙J /11\./21\，4 ~l万芬一兀干1十I一下下一下丁】十下户 \乙乙/\jj/O 解原式 /7 =(一5)火l一丁 一‘’、火9 一(一5)火0 .8又 _/9\1 U.匕XI一一万!X，二- \4// ︻了一O X l一7 X 9一4 只一 、、‘.口声了了J..飞、 1一5 _一1 音- 佰明2计算: 6。，__，。6 乙3一41.乙乃十乙d;~丁一…     

第五届全国部分省、市初中数学通讯赛试题及解答

(1 989年11月26日上午8:30、11:00)一、填充题(每小题5分,共40分)分母有理化:3十2了丁一了了一了石一i千7言一了万 2.设a、6是整数,方程妒十a二十b=。有一个根是J万二该7一乳则。十b=_. 3,分解因式:妒一(护十qZ)二+P叭P十妇(P一q)=_·‘ 4.已知坛’.4二a,193,5~b,则197一_, 6.左图中,AC二AD二D君~EA=BD,乙BDC=25’,乙月DB=4么。,则艺BEC‘一百 6.把(‘:一二+,)6展开后得a,2,12+a,声11+…+aZ劣2+a:劣+a。,则aiZ+a:。+a。+a6+a;+aZ+a。 7二如图在正方形ABCD中,万在BC上,BE=2,CE二1,尸在BD上,则尸百和尸C的长度之和最小可达到_…     

一个不等式的推广

_~‘___.2匕知a、O、‘夕U,则下〔万二~十 口,~‘ 2c+Q.三卜a+b气击、.这是一个常见的不等式·本文将证明它的推广形式‘’‘· 引理设a‘>o(s二1,2,…,n),二(N,S二ai+a:+…+a.,则有不等式(”一1)s用》(s一a1)m十O一aZ).+…+(s一a。)二 证:对。用数学归纳法.当。=1时,左边二(ft一1)s,右边=(s一a,)+(卜aZ)+…十(卜a.)二(移一1):.命题成立.假设二=权>1)时命题戍立,即(。一1)s‘)(s一a,)‘+(:一a:)‘+…+(S‘u。)“.那么(。一1)s为+i=[(:一a:)而+…+(s一a.)‘]·,‘》(s一a,)寿+,+(S一a:)人+‘+…+(卜a,)k+1.故命题对任意自然数。都成立. …     

一道高考数学题的四种解法

112 .目是1十2b与仲，一’(2007年高考t庆券理科数学第7趁)若a (sin奴动)2--1 sin沙 c 058 =奋[(sine Cose，一漏溢一‘而1一2b的等比中项，则2a6 }a卜2}bI的最大值为A.等8.平c.乎D.乎sino eose=V丁。*。(e 粤)‘勺厄-，.一瓜粤一‘斗.In口 CO吕口_V厄~.2ab 2’‘’}川 2}bI鉴，空1.当且仅当ain(e十琴)二1.即44 .解由题愈可知.当2砧}aI 2}bI取得最大值时，a，b同号，不妨设a>0，b>0，则有2ab }a卜2!bI e:晋，也就是a=平，‘二平时，2ob }al 2}bl取得最大1 .2几~-宁—b口值义率.选B. 4一一挂组一二订丁.当李二鱼时.原式有最大值.一‘厂…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

绝对值的一组练习(初一、初二)

已知三个数a,b,。满足a{+a=O,lab卜ab,{‘l一。=则}b{一}〔一bl一{a+b{+la一‘ b_.~__十下一二下小能寺丁一乙,U,1, }口{a一a,2.若ab并O,则2这四个数中的( (A)一2.(B)0.(C)(D)2.1镇二(2,则y的最大值与最小值之差是() (A)4.(B)3.(C)2.(D)1. 6.已知y一{2二+6】十】二一11一4}、十1{,求y的最大值. 7.二为任意有理数,则一x+1}+}二+21+}二+3!十}二+4}+}二十5}的最小值是_. 8.设a+b+‘一O,ab。>O,则3.若工一220042005,则{二}+1二一1}十}二一2一+b+c .c+aa十b,二,小二,—十甲万一下十下一一下四t巨,毛气一a}一o}}c}二一3{+},一41+}二一5}~ 4.…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

巧求轮换对称式的值

例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕…     

对鲜花

甲速夕。下尸吧二~;-一-一十—一1一一-一一一~一一~厂一一~俘卜1哎‘念一一十一~月眨一_工一工一-二二J二二工二习二刃〔三二习口二工二二二二习二口亘二二二二习竺二工习硬二二二二J二二工J二二巨二竺巨习口耳习不1)左一一口一L一月，一牛‘卜一一一~斗一，4一口‘一一钾L-仁望宁一~一--一斗斗一~一—，粉匕于斗—一~一里~」州1~一长一口.里州」矿一~于一‘‘一-一、讨一一一一一一一理乡一灭少尸你说一个一，你对一个一，什么开花在水口L一月一月一}目l!「一刁~二可，!，勺{{一l一叫}{一l)口，1一二l 1日.卜尸1日. }l}一i一{}十-叮户…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

怎样用a+b+c=0?(初一、初二、初三)

夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0…     

数学单元测试题（二）

~曰夸尹一、填空题 ,卜~~_______,sa一gb_,.,一‘~~。 1.1弋狱工、:乙UUj,乙x一jy,一匕mn“,一一下歹一,lx一十4工一1甲,毕现工气丈己 O项式;舰咐﹃2.单项式一单的系数是 ‘—,次数是3.请你写出一个是四次三项式的多项式4.多项式ab3一3a2b2一a’b一3,按a的升幕排列是介N冈冈自侧口一一一,,n、.矛.多项式3x2犷一xy‘十护一4少,按y的降幂排列是_.如果单项式一3x“犷与IOx一’‘犷的和是单项式,则m-.一aZ一3ab十2b3十2=一()二一aZ+2一(8·单项式:一5。,一告xy,一合XZ的和是—;9·当*-一时,、式XZ一3kxy一3y2号xy一8中。xy。 10.浓度为。%…     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

一类二元函数最值的求法

(3)得C办r军{\恻口 bZ扩二\,,,~万两一一二万爪-刀,pJ丫a‘十b‘/一浓一b/才一一+ 本文介绍形如:f(x,沪=(t7召万二牙十b心不二百)(乙了万不万十。了石万歹的二元函数最值的求法.(a、乙、c、d、。、了任尸且e+。=d十f)。 解:显然f(x,妙的最小值为。,下而给出厂(x,砂的最大值的求法. 设x,二。功刃无,xZ一西而马,,,=b石不妥,,:二a甲不es云,c+。一J+f一二,则得(2)、(3)得二(十b乙2丫 这说明(4)给出的P(爪D的中点,因此当(x:,万,)=心,碧十豁一。+。,即黯+黯一1(万:,aZ十石2,吸1)只px=f(x,92)=b Ze一aZ(筑嘿王(烹兴号 aZ、/,打\丫a‘十b一/.沪…