欢庆2003

1 .已知ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =0 ,求ｘ2 0 0 3 1ｘ2 0 0 3 的值 .解 :由ｘ2 0 0 3 =ｘ2 0 0 3 0 =ｘ2 0 0 3 ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =ｘ(ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 ) 1 =ｘ·0 1 =1得 1ｘ2 0 0 3 =1 ,故原式 =1 1 =2 .2 .已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ满足ａ ｂ=ｃ ｄ ,ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 ,求证 :ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =ｃ2 0 0 3 ｄ2 0 0 3 .证明 :因为ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 所以 (ａ ｂ) (ａ2 -ａｂ ｂ2 ) =(ｃ ｄ) (ｃ2 -ｃｄ ｄ2 )因为ａ ｂ=ｃ ｄ ,故若ａ ｂ=ｃ ｄ =0 ,则ａ=-ｂ,ｃ=-ｄ ,从而ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =(-…     

一个猜想的证明

由计算知 :1 4 4 =1 2 2 ,2 1 2 =4 41 ,1 0 4 0 4 =1 0 2 2 ,2 0 1 2 =4 0 4 0 1 ,1 0 0 4 0 0 4 =1 0 0 2 2 ,2 0 0 1 2 =4 0 0 4 0 0 1 ,1 0 0 0 4 0 0 0 4 =1 0 0 0 2 2 ,2 0 0 0 1 2 =4 0 0 0 4 0 0 0 1 ,　　……　　……1 0 0… 0ｋ个 04 0 0… 0ｋ个 04=1 0 0… 0ｋ个 02 2 .2 0 0… 0ｋ个 01 2=4 0 0… 0ｋ个 04 0 0… 0ｋ个 01 .　　这是多么美妙、有趣且对称的形式 ,令人惊叹 !设 1 0 ｔ- 1≤Ａ <1 0 ｔ,Ａ2 =ａ1ａ2 ａ3 …ａｔ 2 =ｃ1ｃ2 ｃ3 …ｃ2ｔ,且Ｂ2 =ａｔ…ａ3 ａ2 ａ12 =ｃ2ｔ…ｃ3 ｃ2 ｃ1,或Ａ2 =ａ1ａ2 ａ3 …ａｔ …     

求圆的切线方程的几种方法的比较

基本问题 :已知圆的方程为 x2 + y2 =r2 ,求过圆上一点 P0 (x0 ,y0 )的圆的切线方程。解法 1:若 y0 ≠ 0 ,则所求切线斜率存在 ,设所求方程为 y- y0 =k(x- x0 ) ,代入 x2 + y2 =r2 得 :(1+ k2 ) x2 + (2 ky0 - 2 k2 x0 ) x+ y0 2 + k2 x0 2 -2 kx0 y0 - r2 =0 ,由判别式△ =0得 :(r2 - x0 2 ) k2 + 2 x0 y0 k+ r2 -y0 2 =0。又 x0 2 + y0 2 =r2 ,∴ y0 2 k0 2 + 2 x0 y0 k+ x0 2 =0。即 (y0 k+ x0 ) 2 =0 ,解得 k=- x0 / y0 。故所求切线方程为 y- y0 =- x0 / y0 (x- x0 ) ,即 x0 x+ y0 y=x0 2 + y0 2 亦即 x0 x+ y0 y=r2 。 1当 y0 =0时 ,…     

关于数的两个结论

我是一名学数学教育的大学生 ,学习中有两点小小发现 ,可能不是新的 .1 一类数平方的算法设ａ =9… 9ｎ 1个ｍ ,ｍ >5为数码 ,则ａ2 =9… 9ｎ 1个ｂ 0… 0ｃｎ 2个,其中 1 0ｂ ｃ=ｍ2 .证明 :设ｍ ｄ =1 0 ,则ａ2 =( 1 0 ｎ 2 -ｄ) 2 =1 0 2ｎ 4 -2ｄ·1 0 ｎ 2 ｄ2 .又ｍ2 =( 1 0 -ｄ) 2 =1 0 0 -2 0ｄ ｄ2 =1 0ｂ ｃ,　ｄ2 =ｃ,1 0 0 -2 0ｄ =1 0ｂ,ｂ =1 0 -2ｄ .∴ａ2 1 0 ｎ 2 ( 1 0 ｎ 2 -2ｄ) ｄ2 =9… 9ｎ 1个ｂ0… 0ｃｎ 2个.例如 ,9982 =996 0 0 4 ,9996 2 =9992 0 0 1 6 .2 关于平方数的倒排 .设ｔ…     

2003年山东省“KLT快灵通杯”初中数学竞赛试题参考答案

1 A .　 2 D .　 3 B .　 4 C .　 5 A .　 6 C .　 7 B .　 8 B . 9 -2a.　 1 0 1 80° -32 α .　 1 1 甲∶乙 =2 ∶ 1 .　 1 2 3 5 2 0 .　 1 3 (1 )略 . (2 )证Rt△AED ∽Rt△DFB ,∴ AEDF =DEBF,即DE· DF =AE·BF .又 ∵CD =2DE= 2DF ,∴CD2 =2DE· 2DF =2DE·DF =2AE·BF .1 4 由前一方程得x2 -2 0 0 2 2 -12 0 0 2 2 x -12 0 0 2 2 =0 ,∴x2 -1 -12 0 0 2 2 x-12 0 0 2 2 =0 .设方程两根为x1,x2 ,且 x1>x2 ,则 x1+x2 =1 -12 0 0 2 2 ,x1·x2 =-12 0 0 2 2 .则 x1=1 ,x2 =-12 0 0 2 2 .同理 ,后一方程为…     

问题3.1参考答案

设十位数为a_0a_1a_2…a_9,由条件可知:a_0+a_1+a_2+…+a_9=0×a_0+1×a_1+…+9×a_9, ∴a_0=a_2+2a_3+…+(K-1)a_k1+…+8a_9。①若a_0=1,则a_2=1,a_3=a_4=…=a_9=0。此时十位数中0的个数7≠1=a_0,与题意矛盾。同理,当a_0=2时,因为a_2≠0,只能是a_2=2,a_3=a_4=…=a_9=0,此时,十位数中0的个数7≠2=a_0,与题意矛盾。     

一道中考题的多解择优

题目　 (’99安徽 )将一只“ＰＺ2 2 0 - 10 0”的灯泡误接在 110伏的电路中 ,此时灯泡实际消耗的电功率为(　　 ) .Ａ 2 0 0瓦　　　Ｂ 10 0瓦Ｃ 50瓦Ｄ 2 5瓦思路之一　根据Ｐ实 =Ｕ实Ｉ实 进行解题∵　Ｉ额 =Ｐ额Ｕ额=10 0瓦2 2 0伏 =511安 ,Ｒ =Ｕ额Ｉ额=2 2 0伏5/11安 =4 84欧 ,Ｉ实 =Ｕ实Ｒ =110伏4 84欧 =52 2 安 .∴　Ｐ实 =Ｕ实 Ｉ实 =110伏× 52 2 安 =2 5瓦 .思路之二　根据Ｐ实 =Ｕ实2 /Ｒ进行解题∵　Ｉ额 =Ｐ额Ｕ额=10 0瓦2 2 0伏 =511安 ,Ｒ =Ｕ额Ｉ额=2 2 0伏5/11安 =4 84欧 .∴　Ｐ实 =Ｕ实2Ｒ =( 110伏 ) 24 84欧 =2 5瓦 …     

2003年全国高中数学联赛试题解答集锦

一、选择题 (本题满分 3 6分 ,每小题 6分 )1 .删去正整数数列 1 ,2 ,3 ,…中的所有完全平方数 ,得到一个新数列 .这个新数列的第 2 0 0 3项是(　　 ) .A .2 0 46　B .2 0 47　C .2 0 48　D .2 0 49标准答案 :注意到 45 2 =2 0 2 5 ,462 =2 1 1 6,∴ 2 0 2 6=a2 0 2 6 - 45=a1981,2 1 1 5 =a2 115- 45=a2 0 70 .而且在从第 1 981项到第 2 0 70项之间的 90项中没有完全平方数 .又 1 981 + 2 2 =2 0 0 3 ,∴a2 0 0 3=a1981+ 2 2 =2 0 2 6+ 2 2 =2 0 48.故选C .别解 :将所得新数列按照第k组含有 2k个数的规则分组 :( 2 ,3 ) ,( 5 ,6,7,8) ,( …     

有趣的直线x_0x+y_0y=r~2

在高二解析几何教材的圆锥曲线一章中有这样的一个结论 :若P(x0 ,y0 )是圆 :x2 + y2 =r2 上的一点 ,那么过该点的圆的切线方程是x0 x + y0 y =r2 .(证明见教材 ) .问题 :若点P(x0 ,y0 )在圆x2 + y2 =r2 外(或圆内 )时 ,直线l:x0 x + y0 y =r2 是什么样的直线 ?与圆x2 + y2 =r2 有什么关系 ?不妨设点P(x0 ,y0 )不在坐标轴上 .直线l:x0 x + y0 y =r2 的斜率是kl =-x0y0(y0 ≠ 0 ) ,而kOP =y0x0(x0 ≠ 0 ) .∵klkOP =-1,∴直线l⊥OP .圆心O(0 ,0 )到直线x0 x + y0 y=r2 的距离为d =r2x20 + y20=r2｜OP｜.①由①可见 ,直线l与圆的关系由｜…     

新年趣题

1 题　设以ｒ为半径的圆内接正 2 0 0 2边形Ａ1Ａ2 …Ａ2 0 0 2 ,在圆内取与圆心距离为ａ的一点Ｐ。试证 :ＰＡ21+ＰＡ22 +… +ＰＡ22 0 0 2 =2 0 0 2 (ｒ2 +ａ2 )。证明　设∠ＰＯＡ1=θ,则∠ＰＯＡ2 =θ + 2π2 0 0 2 ,　∠ＰＯＡ3 =θ + 2× 2π2 0 0 2 ,…… ,∠ＰＯＡ2 0 0 2 =θ+ 2 0 0 1× 2π2 0 0 2 。由余弦定理得 :ＰＡ21=ｒ2 +ａ2 -2ｒａｃｏｓθ ,ＰＡ22 =ｒ2 +ａ2 -2ｒａｃｏｓ(θ + 2π2 0 0 2 ) ,……ＰＡ22 0 0 2 =ｒ2 +ａ2 -2ｒａｃｏｓ(θ + 2 0 0 1× 2π2 0 0 2 )。相加得 :ＰＡ21+ＰＡ22 +… +ＰＡ22 0 0 2 =2 0 0 2 …     

对《方程sum from n=1 to x (n~5=y~2)有无穷多个整解》一文的补充与修正

本刊 2 0 0 4年第 2期第 38页上《方程1 5 2 5 … x5=y2 ( * )有无穷多个整解》一文过于浓缩 .将 5换为n,文中提到 ,当 n =1时 ,即方程1 2 … x =y2有无穷多个整解 .但原文没有给出证明 ,也没有指明出处 .为此 ,补充证明如下 :因为　 1 2 … 8=8. 92 =6 2 ,所以 x =8,y =6是其一个整解 .现在假定 ( x0 ,y0 )是其一个整解 ,即1 2 … x0 =x0 ( x0 1 )2 =y0 2 ,则　 1 2 … [( 2 x0 1 ) 2 - 1 ]=[( 2 x0 1 ) 2 - 1 ]( 2 x0 1 ) 22=4 .x0 ( x0 1 )2 . ( 2 x0 1 ) 2=4 .y0 2 .( 2 x0 1 ) 2 =( 4 x0 y0 2 …     

妙解二元二次不定方程

对于二元二次不定方程 ,若能整理成某个字母的一元二次方程 ,应用根的判别式求解 ,有时显得十分简捷 ,下面列举几例 ,供参考 .例 1　求不定方程ｘ ｙ=ｘ2 -ｘｙ ｙ2 的整数解 .解　将方程整理成关于ｘ的一元二次方程　　ｘ2 - (ｙ 1)ｘ (ｙ2 - ｙ) =0 ,判别式Δ =(ｙ 1) 2 - 4(ｙ2 - ｙ)≥ 0 ,即 (ｙ - 1) 2 ≤ 43.因 ｙ为整数 ,∴ｙ =0 ,1,2 .把 ｙ=0代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =1;把 ｙ =1代入原方程中 ,得ｘ =0或ｘ =2 ;把 ｙ=2代入原方程中 ,得ｘ =1或ｘ =2 ;∴原不定方程的整数解为ｘ =0 ,ｙ=0 ;　 ｘ =1,ｙ=0 ;　 ｘ =0 ,ｙ=1;…     

《管理会计》典型计算题举例

1 .某公司2 0 0 1年7～1 2月份各月的维修费和维修工时等资料如下:月份78910 1112合计维修工时(小时) 40 0 0 45 0 0 3 0 0 0 5 0 0 0 43 0 0 480 0 2 5 60 0维修费(元) 2 2 0 0 2 40 0 2 0 0 0 2 60 0 2 3 0 0 2 5 0 0 14 0 0 0　　要求:如果下一年1月份预计发生维修工时4 6 0 0小时,用高低点法预计其维修费是多少?解:在高低点法下:( 1 )单位变动维修费b =最高点成本-最低点成本最高点业务量-最低点业务量=2 6 0 0 - 2 0 0 050 0 0 - 30 0 0 =0 .3元/小时a =y -bx=2 6 0 0 - 0 .3×50 0 0 =1 1 0 0 (元)或:a =2 0 0 0 - 0 .3×30 0 0 =1 1 …     

线性代数重点与练习

1　行列式1 1　重点内容行列式的性质和计算。1 2　例题解析例 1　设行列式D =132- 10 211- 2则D中元素a2 3 =2的代数余子式A2 3 =。分析　依据代数余子式的定义求解。解　A2 3 =(- 1) 2 + 3 1　 31　 1=- (- 2 ) =2例 2　行列式a 0 0 00 0 0 10 0 100 - 110=3,则a =。分析　利用行列式性质求解。解　对于行列式 ,先按第 1列展开 ,得到三阶行列式 ,即 :a 0 0 00 0 0 10 0 100 - 110=a0 0 10 10- 110再按第 1列展开 ,转化为二阶行列式 :原式 =-a 0　 11　 0 =(-a) (- 1) =a =3再计算二阶行列式 ,解得a =3。例 3　设a1a2 a3b1b2 b3c1c2 c3=2…     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.     

一类直线与圆锥曲线的关系

讨论了直线XOXa2-yoyb2=1与双曲线x2a2-y2b2=1;直线x0xa2+y0yb2=1与椭圆x2a2+y2b2=1;直线y0y=p(x+x0)与抛物线y2=2px的位置关系。     

“2004”趣题四则

1 设f(x) =asin(πx +α) +bcos(πx +β) +4 ,其中a、b、α、β都是非零实数 ,若f( 1991) =5 ,求f( 1992 ) +f( 1993 ) +…+f( 2 0 0 4) 的值 .2 已知y1 =2x ,y2 =2y1 ,y3 =2y2 ,… ,y2 0 0 4=2y2 0 0 3 ,求 y1 ·y2 0 0 4.3 求证 :log2 0 0 3 2 0 0 4>log2 0 0 42 0 0 5 .4 求证 :1+12 2 +13 2 +14 2 +… +12 0 0 3 2 +12 0 0 42 <2 .参考答案1 ∵f( 1991) =5 ,∴asin( 1991π+α) +bcos( 1991π+β) +4 =-asinα -bcosα+4 =5 ,∴ -asinα-bcosβ=1,即asinα+bcosβ =-1.∴f( 1992 ) =asin( 1992π+α) +　bcos( 1992π +β) +4=asinα…     

数学证明的作用

本文通过解题分析来说明数学证明的作用 ,反过来 ,又通过数学证明作用的提炼过程来说明解题分析的作用 .首先看一组例题 .一、解题案例例 1　已知 2 ｘ=5 ｙ=1 0 ,求证1ｘ 1ｙ=1 .证明 :由 2 ｘ=1 0 1 0 1ｘ=2 ,5 ｙ=1 0 1 0 1ｙ=5 .相乘　 1 0 1ｘ·1 0 1ｙ=2·5 ,即　 1 0 1ｘ 1ｙ=1 0 .得　 1ｘ 1ｙ=1 .例 2已知 3ｘ=4ｙ=36 ,求证2ｘ 1ｙ=1 .证明 :由 3ｘ=36 36 2 ｘ=9,4ｙ=36 36 1ｙ=4.相乘　 36 2 ｘ·36 1ｙ=9·4,即　 36 2 ｘ 1ｙ=36 .同底比较 ,得　 2ｘ 1ｙ=1 .例 3　已知 1 7ｘ=1 7ｙ=1 0 0 ,求证1ｘ-1ｙ=12 .证明 :由…     

颠倒思维解题例谈

颠倒思维是指将思考对象的整体、部分或有关的因素颠倒过来 ,以求得新思维产物的思维方法。当用常规法解题受阻时 ,运用颠倒思维方法来解 ,往往能收到出奇制胜的功效。一、上下颠倒例 1.若 a=199919992 0 0 0 2 0 0 0 ,b=2 0 0 0 2 0 0 02 0 0 12 0 0 1,c=2 0 0 12 0 0 12 0 0 2 2 0 0 2 ,试比较a、b、c的大小。分析 :直接比较三数的大小有一定困难 ,观察发现 ,把它们的分子、分母颠倒后 ,可得到分子相同的分数 ,这样比较就十分方便。解 :1a =2 0 0 0 2 0 0 019991999=1 10 0 0 119991999,1b =2 0 0 12 0 0 12 0 0 0 2 0 0 0 =1 10 0 0 12 0…     

巧用方程根的定义解题

若ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根 ,则有ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0。若ａｘ1 2 +ｂｘ1 +ｃ=0 ,ａｘ2 2 +ｂｘ2 +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,则当ｘ1 ≠ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2是方程的两不等实根 ;当ｘ1 =ｘ2 时 ,ｘ1 ,ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0的两个相等实根。灵活运用上述结论解涉及一元二次方程的有关问题 ,常能化繁为简 ,化难为易 ,举例如下 :例 1　若α ,β是方程ｘ2 + 2ｘ - 2 0 0 1 =0的两个实数根 ,则α2 + 3α +β等于 (　　 ) ( 2 0 0 1年山东省威海市中考题 )Ａ .- 2 0 0 0 ;　　Ｂ .2 0 0 0 ;　　Ｃ…